4º ESO ACADÉMICAS INECUACIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa INECUACIONES

Transcripción

1 INECUACIONES.- DESIGUALDADES E INECUACIONES Mientras que en una ecuación se trata de buscar el valor que hace que sean iguales dos epresiones algebraicas, en las inecuaciones intentamos localizar los valores (puede que sea uno o que no haya, pero lo normal es que lo cumplan un conjunto de valores que se epresaran en forma de intervalos (ver unidad.3)) que hacen que se cumpla una desigualdad (en lugar de aparecer el signo =, aparece uno de estos cuatro >, <, y ). ECUACIÓN _ + 5 = 7 INECUACIÓN _ + 5 > 7 A la hora de trabajar con desigualdades hay que tener en cuenta los siguientes resultados: ~ Si se suma o resta la misma cantidad a ambos miembros de la desigualdad esta no cambia su sentido. EJEMPLO_ Si 0 > > > 5? Sí, se sigue cumpliendo que el número de la izquierda es mayor que el número de la derecha, si 0 es mayor que 0, al sumar 5 a ambos números se cumple que con los nuevos números, 5 sigue siendo mayor que 5. EJEMPLO_ Si 0 > > > 5? Sí, se sigue cumpliendo que el número de la izquierda es mayor que el número de la derecha, si 0 es mayor que 0, al restar 5 a ambos números se cumple que con los nuevos números, 5 sigue siendo mayor que 5. ~ Si se multiplica o divide por un número positivo a ambos miembros de la desigualdad esta no cambia su sentido. EJEMPLO_ Si 0 > > > 50? Sí, se sigue cumpliendo que el número de la izquierda es mayor que el número de la derecha, si 0 es mayor que 0, al multiplicar por 5 a ambos números se cumple que con los nuevos números 00 sigue siendo mayor que 50. EJEMPLO_ Si 0 > 0 0 : 5 > 0 : 5 4 >? Sí, se sigue cumpliendo que el número de la izquierda es mayor que el número de la derecha, si 0 es mayor que 0, al dividir por 5 a ambos números se cumple que con los nuevos números 4 sigue siendo mayor que. ~ Si se multiplica o divide por un número negativo a ambos miembros de la desigualdad esta cambia su sentido. EJEMPLO_ Si 0 > 0 0 ( )? 0 ( ) 40 < 0? Sí, se cumple que el número de la izquierda ahora es menor que el número de la derecha, si 0 es mayor que 0, al multiplicar por ( ) a ambos números se cumple que con los nuevos números, ahora 40 es menor que 0, y por lo tanto ha cambiado el sentido de la inecuación. EJEMPLO_ Si 0 > 0 0 : ( )? 0 : ( ) 0 < 5? Sí, se cumple que el número de la izquierda ahora es menor que el número de la derecha, si 0 es mayor que 0, al dividir por ( ) a ambos números se cumple que con los nuevos números, ahora 0 es menor que 5, y por lo tanto ha cambiado el sentido de la inecuación. CONCLUSIÓN: Al multiplicar o dividir una desigualdad por un número negativo, el sentido de la misma cambia. Esto supone que al trabajar con inecuaciones, siempre que se multiplique o divida una inecuación por un número negativo deberemos acordarnos de cambiar el sentido de la misma..- RESOLUCIÓN DE INECUACIONES. Inecuaciones polinómicas de primer grado Para resolver inecuaciones de primer grado se procede como con las ecuaciones de primer grado, teniendo en cuenta que si en algún momento se multiplica o divide por un número negativo deberemos cambiar el sentido de la inecuación, esto suele ocurrir al despejar en el último paso de la resolución. EJEMPLO_ Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado: a) ( ) 4 + ( + ) Solución: 3 [3, + ) La solución obtenida en forma algebraica, debe presentarse en intervalo y pintada en la recta real.

2 b) Se cambia el sentido de la inecuación pues hay que dividir por ( 3) La solución es: [, + ) 3. Inecuaciones polinómicas de segundo grado o superior Para resolver inecuaciones de segundo grado o superior se deben aplicar los siguientes pasos: ) Factorizamos el polinomio calculando sus raíces. ) Representamos las raíces sobre la recta real. 3) Evaluamos en cada zona para ver el signo de la epresión (si está factorizada aplicar regla de los signos). 4) Damos la solución en forma de intervalo y pintada en la recta real. EJEMPLO_ Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado o superior: a) ) 3 ) ( ) ( + 5) ) Podemos evaluar sustituyendo en la ecuación original o en la ecuación factorizada, teniendo en cuenta que lo que no interesa conseguir es el signo de la epresión no el valor, que no es necesario. = 6 ( 6) + 3 ( 6) 0 = = 8 > 0 ~ Evaluando el valor en la ecuación original = 6 ( 6 ) ( 6 + 5) = 8 ( ) = 8 > 0 ~ Evaluando el valor en la ecuación factorizada Aunque en la práctica tan solo buscamos el signo y procedemos de la siguiente forma: = 6 ( 6 ) ( 6 + 5) = = + ~ Evaluando el signo en la ecuación factorizada = 0 (0 ) (0 + 5) = + = ~ Evaluando el signo en la ecuación factorizada = + 3 (3 ) (3 + 5) = + + = + ~ Evaluando el signo en la ecuación factorizada 4) Sol: En forma de intervalo es: [ 5, 3] En forma algebraica es: 5 3 Pintada sobre la recta: Para resolver ecuaciones de segundo grado (y solo de segundo grado) hay un método alternativo, es el Método de la Parábola, consiste en dibujar la parábola (convea o cóncava ) pasando por los raíces que se han obtenido y pintado sobre la recta, y ver directamente el signo sobre el dibujo. Como se puede observar la solución sigue siendo [ 5, 3].

3 b ) ( + ) ( + ) 0 En este caso solo hay una raíz y por lo tanto al representarla en la recta solo hay dos zonas para evaluar, en las cuales el signo será el mismo: = 3 ( 3 + ) ( 3 + ) = = + = + 3 (3 + ) (3 + ) = + + = + Sol: (, ] U [, + ) = R Є R Aplicando el método de la parábola: b ) > 0 Hay que proceder como en el caso anterior pero al dar la solución debemos tener en cuenta que el valor = hay que omitirlo, pues en ese caso la epresión vale cero y solo podemos tomar los valores que hacen positiva la epresión. Sol: (, ) U (, + ) = R \ {} b 3) La solución será: Sol: {} Únicamente vale es negativa o vale cero la epresión en =. b 4) < 0 La solución será: Sol: {} La epresión nunca puede ser negativa. c) No hay solución, es decir, no hay ningún valor de que haga cero la epresión, por tanto será o siempre positiva o siempre negativa, para saberlo basta con evaluar en un punto. En este caso no hay raíz, por lo tanto se representa la recta sin marcas: Evaluamos en un número: = 0 (0) = = 5 > 0 Luego la epresión será siempre positiva y la solución es: Sol: (,+ ) = R Є R Aplicando el método de la parábola: 3

4 d) Podemos optar por tres formas de resolución: ~.ª FORMA: La forma general, factorizamos (recordar poner el signo menos delante de la epresión factorizada), pintamos en la recta y evaluamos: Factorizamos: 3 Pintamos: Evaluamos: = 6 ( 6 ) ( 6 + 5) = = = 0 (0 ) (0 + 5) = + = + = + 3 (3 ) (3 + 5) = + + = Sol: (, 5] U [, + ) ( ) ( + 5) ~.ª FORMA: Método de la parábola, en este caso se trata de una parábola cóncava : ~ 3.ª FORMA: No se utiliza mucho, pero hay quien la prefiere, se trata de multiplicar la inecuación por ( ), con el fin de conseguir tener el coeficiente principal positivo, pero al hacer esto afecta al sentido de la inecuación que debe cambiar (esta operación en ecuaciones se puede hacer tranquilamente pues no influye en la consecución de la raíces, pero en funciones supondrá convertir una parábola convea en cóncava o una cóncava en convea). Así que multiplicando por ( ) toda la inecuación queda: ( ) ( ) (Tomaremos las zonas con valores positivos al evaluar) Ahora se procede como en el caso general, factorizamos, pintamos en la recta y evaluamos: Factorizamos: 3 Pintamos: Evaluamos: = 6 ( 6 ) ( 6 + 5) = = + = 0 (0 ) (0 + 5) = + = = + 3 (3 ) (3 + 5) = + + = + Sol: (, 5] U [, + ) e) ( ) ( + 5) ~ Buscamos las raíces, como no hay término independiente, sacamos factor común a, esto supone que una raíz es =0, y tendremos: = ( + 3 0) ~ Ahora factorizamos el polinomio de segundo grado utilizando la ecuación de segundo grado: ~ Tenemos tres raíces (= 5, =0 y =) que pintamos en la recta: ( ) ( + 5)

5 ~ Evaluamos las cuatro zonas para calcular el signo de la epresión: = 6 ( 6) ( 6 ) ( 6 + 5) = = = ( ) ( ) ( + 5) = + = + = + (+) ( ) ( + 5) = + + = = +3 (+3) (3 ) (3 + 5) = = + Sol: (, 5] U [0, ] -5 0 NOTA: Aquí no se puede aplicar el método de la parábola, solo en inecuaciones de segundo grado..3 Inecuaciones racionales Para resolver inecuaciones racionales (fracción algebraica) se deben aplicar los siguientes pasos: ) Factorizamos el polinomio que aparece en el numerador (si es un número no hay raíces) y el polinomio que aparece en el denominador, calculando sus raíces. ) Representamos las raíces sobre la recta real. 3) Evaluamos en cada zona para ver el signo de la epresión cociente (regla de los signos). 4) Damos la solución en forma de intervalo y pintada en la recta real. 4 EJEMPLO_ Resuelve la siguiente inecuación racional: 0 Las raíces del numerador: + 4 = 0 = 4 Las raíces del denominador: = 0 = Pintamos: Evaluamos: 5 4 = 5 5 Sol: (, 4] U (, + ) = = 4 No podemos coger el valor = porque hace cero el denominador, si tenemos dudas lo mejor es evaluar directamente en los valores etremos: = , vale cero y por tanto el valor = 4, sí debemos tomarlo. 4 5 = 4 5, no se puede dividir por cero y por tanto el valor =, no debemos tomarlo RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO 3. Sistemas de inecuaciones con una incógnita Son sistemas donde aparece una sola letra, la normalmente y donde suele haber dos ecuaciones. Para resolverlos se soluciona cada sistema por separado, se pintan ambas soluciones independientes, y para obtener la solución del sistema se toma la intersección (lo que tienen en común) de ambas. EJEMPLO_ Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita: 4 + > ( +3) 4 + > + 6 > 4 > Sol: (, 4] < 4 5

6 3. Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas Son sistemas donde aparecen dos letras, la y la y normalmente y donde hay dos ecuaciones. Para su resolución damos los siguientes pasos: ) Escribimos las dos inecuaciones cambiando el signo de la desigualdad ( >, <, o ) por el signo = y representamos las dos rectas así obtenidas, dando una tabla de valores de cada una (si se quiere epresar la recta en la forma y = m + n, se puede hacer pero no es necesario). ) Las rectas representan los puntos del plano que cumplen cada una de ellas (la igualdad), pero nos interesa la zona de puntos que cumple cada desigualdad, para determinarla basta probar con un punto (normalmente el punto O(0,0), salvo que pertenezca a la recta) y si ese punto cumple la desigualdad se toma la zona donde está el punto (pintamos o rayamos esa zona) y si no la cumple se toma la zona en la que no está el punto (se pinta o se raya esa zona). 3) En cuanto a las propias rectas, se pintan con trazo grueso continuo si la desigualdad es de los tipos o y se pintan con trazo discontinuo si son de los tipos > o <. El punto de corte siempre se pinta hueco salvo que las dos rectas se hayan pintado con trazo grueso (las dos inecuaciones serán de los tipos o ). 4) La solución solo se puede dar pintada en el plano y viene dada por el conjunto de puntos que aparezcan en la zona que ha sido pintada o rayada de los dos colores, junto con el trozo de recta que aparezca con trazo grueso limitando dicha zona. EJEMPLO_ Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de primer grado con dos incógnitas: - y -4 y 7 Escribimos las ecuaciones como si fueran rectas y damos las tablas de valores (solemos dar los puntos de corte con los ejes, es decir, si =0 se obtiene y, o si y=0 se obtiene ). () y = 4 () + y = 7 y y Para determinar la zona que hay que pintar en la primera inecuación probamos con el punto O(0,0) y se obtiene 0 0 > 4 0 > 4, que es cierto, por tanto se pinta la zona donde se encuentra el punto O(0,0), en cuanto a la recta se traza de forma discontinua indicando que esos puntos no cumplen la inecuación. Para determinar la zona que hay que pintar en la segunda inecuación probamos con el punto O(0,0) y se obtiene , que es falso, por tanto se pinta la zona donde no se encuentra el punto O(0,0), en cuanto a la recta se pinta con trazo grueso continuo indicando que esos puntos sí cumplen la inecuación. El punto de corte (,6), se deja hueco pues no cumple la primera inecuación. La solución gráfica es la intersección de ambas zonas, parte derecha en tono gris: 6

7 NOTAS_ INECUACIONES * SÍMBOLOS: _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de izquierda a derecha. _ Implica ó quiere decir ó supone que, la relación es cierta de derecha a izquierda. _ Doble implica, la relación es cierta en ambos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ Aproimado _ Pertenece _ No pertenece / _ Tal que Π _ Tal que _ Eiste _ No eiste α _ Alfa β _ Beta _ Gamma > _ Mayor que _ Mayor o igual que < _ Menor que _ Menor o igual que \ _ Menos de conjuntos _ Conjunto vacío * NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Dada la ecuación: a + b + c = 0 se tiene: b b 4ac, puede tener dos, una o cero soluciones a dependiendo del valor del discriminante = b 4ac de la ecuación: - Si >0 b 4ac > 0 Dos soluciones. - Si =0 b 4ac = 0 Una solución (solución doble). - Si <0 b 4ac < 0 Ninguna solución. * ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO Dada la ecuación a + b + c = 0 se dice incompleta cuando: - a=0 b + c = 0, no es una ecuación de segundo grado, es una ecuación de primer grado. - c=0 a + b = 0, se puede resolver aplicando factor común: (a + b) = 0 y el siguiente resultado: A 0 A B 0 ó B 0 Si, supone que a b 0 0 ó - b a b 0 c - b=0 a + c = 0, se puede resolver despejando c a - b=0 y c=0 a = 0, se puede resolver despejando = 0 * EXPRESIONES NOTABLES: a) (a+b) = a + ab + b El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo b) (a b) = a ab + b El cuadrado de una resta es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo c) (a+b) (a b) = a b Suma por diferencia, diferencia de cuadrados 7