Soluciones de las actividades. d) 2x 2 3x + 1 = 0 Δ = 9 8 = 1 > 0 Dos soluciones distintas. 6. Las soluciones son: a) z = b) z = c) z = d) z = e) z =

Transcripción

1 Soluciones de las actividades Página 7. Si a 0 y b 0, no tiene solución. Si a 0 y b 0, tiene infinitas soluciones. Si a 0, tiene una única solución, -b / a.. Las soluciones son a) 0 + 8; ; / b) + 8 ; ; /. Las soluciones son: a) mcm (, ) ( ) + ( ) ; 7 / 9 b) mcm (7, ) 8 ( ) 7 ( + ) 8 (9 ) 8; 8 / Página 8. Resolvemos: 0 ± ± 0 ± a) ± + 7, b) + 0; ± 0 ± 9 No tiene solución 9 ± ± 9 ± c) , , ± 0, 0, 0, ± 0,0 d) 0, ± 0, 0, + 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,. El número de soluciones en cada caso es: a) Δ 0 Dos soluciones iguales b) Δ + 00 > 0 Dos soluciones distintas c) Δ < 0 No tiene ninguna solución real d) + 0 Δ 9 8 > 0 Dos soluciones distintas. Las soluciones son: ± 7 00 ± 7 ± a) z + 0 z, z, 9 ± ± 9 9 ± b) z 9 + z, 9 z, ± 7 ± 9 ± 7 c) z + 7 z, 7 8 z 9, ± + ± 89 ± 7 d) z + 7 z, 7 z No hay más soluciones ± + 8 ± 9 ± 7 e) z z, 7 z No hay más soluciones f) + 0 ± 9 80 ± ± z + 8 z 9, 0 z, -

2 Página 9 7. La resolución es: 7 ± 89 7 ± 7 ± a) z 7 + z, 7 z, ± ± 9 ± b) z + z z ± + 8 ± 7089 c) z ±7 + 7 z 7 7 z / 8 7 ± ± 9 7 ± 7 d) z z no hay más solu- 7 7 z ciones. 8. Las soluciones son: a),, 7, b), c), d) 7, 0,, 9. Las soluciones son: a) Es equivalente a: ( - )( + )( + )0, por tanto las soluciones son:,, y b) c) Es equivalente a: ( + )( + )( - )0, por tanto las soluciones son:,, Es equivalente a: ( - )( + )( - 8)0, por tanto las soluciones son:,, 8 d) 9 e) ( ) 0 f) +, así que una solución es 0., y la ecuación que queda: Es equivalente a: ( ) ( ) 0, por lo tanto las soluciones son: 0,, /, / Página Es equivalente a: ( + )( - )( - )0, por tanto las soluciones son:, /, 0. Resolvemos: a) mcm (8,, ) 8 8 ; 8 + 0; 8 ± 8 ± 0 / / / / / 8 es solución doble de la ecuación -

3 b) 0 ( + ) + 7 ( + ); ; ; ± +.00 ± / + es solución de la ecuación / / 0 es solución de la ecuación c) mcm (, ) ; ; 0; ± ± 7 ± / / / / es solución de la ecuación / / ( / ) / + / / / es solución de la ecuación d) mcm (, + ) ( ) ( + ) ; 9 ( ) + 7 ( + ) 0 ( ) ± + 0 ± ± , es solución de la ecuación ( / ) ( / ) / / + 0 / es solución de la ecuación.. + mcm (, ) ; + ; + 0; ± ± 9 ± + 8, Las dos soluciones son en realidad la misma pues el inverso de es / y viceversa. + + El número que buscamos es o bien /.. ; mcm (, ) ; / / /. Las soluciones son: a) Multiplicamos por : ; 0; 0 ± + 8 ±, Las dos soluciones son válidas. b) Multiplicamos por 9: ( + ) + ( ) ; + 8 ; ; ± Las soluciones son válidas. c) Multiplicamos por : ( + ) + ( + ) ( ) ; ; ± 0 Las dos soluciones son válidas. d) Multiplicamos por : + ( + ) ( + ) ( ); + + ; ; / -

4 Página.Resolviendo: a) + 9; ; 7 ± ± 9 7 ± , es solución no es solución b) 9 ( 0) / ;.880 ; ; ± ± 9. ±9 7 ± / 0 es solución 0 es solución / c) 9 ; ; ± 89 7 ± 7 ± 7 + 7, no es solución es solución d) ( + )( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ,, ( + )( + ) + es solución. ( + )( + ) 0 + es solución. ( + )( + ) + es solución.. Las soluciones quedan: a) es solución b) 7 ( 7) ± 9 ± ± / es válida 7 / es válida c) (0 00) 9 ; ; ,8 -

5 9 + es solución,8,8 9,,79 0,7,8 + 7,,,8 no es solución d) ( ) ( + ) ; 00 ± ± ± , Página es solución 0 / 9 / / 0 / / + / 0 / 9 no es solución. Resolvemos: a) log log ( / 8) ± no es solución pues no eiste log ( ) b) log ( ) log c) log log ( ) 0 0, / 0 no es solución porque log 0 no eiste d) log 00 log ( 00) 0 0, 0, 0 0 y 0 no son válidas ya que para estos valores log y log no eisten. e) ; ; / f) 00; 00 0; 0, 00 0 no es válida porque no eiste log. 00 es una solución válida. 7. Las soluciones son: a) log [( )( ) ] log8 + ( + ) ( ) ± + 9 ± 00 ± ; no es solución porque log ( ) no eiste b) (. )( + ) 8 ( ) ( + ) 8; ± ± 0 ± 0 ± ± +,80,70 La solución válida es c) ( ) / ( ) / ; Página ; + 0; ± 8. Resolviendo: a) 0 ; 0; ( ) 00 + b) ; ; ( + ) / c) / / Comprobación 8 es solu- -7

6 ción d) + ; + ; e) ± Comprobación ( ± ) / ± son soluciones 9. Las soluciones son: a) Comprobación es solución b) Hacemos ahora un cambio de variable t t + t t t t + 0 ± 80 ± ± 9 t t t 0 0, log(/ ) log() log() log() es solución, + +, + +, 0,8 + 0, + 0, es solución c) Si t : t + t + 8t ; t ; t / La resolución de cada apartado es: a) e / ln ( / ) ln,7 b) ln ; 0 c) log + log ; ( + ) log log log log + log d) log(9 ) log(/ 00) ( ) log 9 log ( / 00);,099; 0,90 ±0,908 Las soluciones anteriores son válidas en todos los apartados.. La solución de cada apartado es: a) ; ± / b) ; / / + / 0 /, / + c) ( ) Página + ; + ; + ; + 0, Las soluciones de todos los apartados son válidas.. Despejamos la en cada caso: a) > / b) < / c) d) < e) > / f). Las soluciones son: a) ª ecuación ª ecuación Son equivalentes. b) ª ecuación ª ecuación Son equivalentes. -8

7 Página. Resolvemos: a) mcm (, ) ; 7 / b) mcm (, 0) 0 ( ) + 0 > + > ; > c) mcm (,, ) 8 0 7; / 7 d) mcm (, ) ( ) ( 7) + 8; 80 9; 80 / 9. Las resoluciones son: a) + 8 < + 7; < 0 / 0 < b) 8 89 ; / c) / 7 / 7; / / / d) 7 < ; < < /. Las soluciones quedan: a) / ; 0 Semirrecta cerrada a la izquierda de 0. b) / 9 / ; / / Semirrecta cerrada a la derecha de /. c) / / + / ; 9 / / 7 Semirrecta cerrada a la derecha de 7. d) 7 / 7 / / / / / Semirrecta cerrada a la derecha de e) / 0 / + / 7 / / ; 7 / 8 Semirrecta cerrada a la derecha de 7 / 8. Página 7. Las soluciones son: a), f(0) 8 < 0 Solución: [, ] b) < 0, f(0) < 0 Solución: (, ) c) + 0 0;, f(0) 0 Solución: [, ] d), 7 f() < 0 Solución: (, ] [7, + ) -9

8 e) + 0 > 0, f(0) 0 < 0 Solución: (, ) (, + ) f) + 0;, f(0) < 0 9. / + / + / / / ; / + 7 / + / 0; 9,; 0,8 f(0) / > 0 Solución: [ 9,; 0,8] Solución: [, ] 0. Actividad personal, por ejemplo: 8.Las resoluciones son: a) + ; 7 0; 0,8;,88 f(0) < 0 Solución: (, 0,8] [,88, + ) a) < 0 d) b) + 0 e) + 0 c) 0 f) > 0 Página 7. Resolviendo obtenemos: a) 0 < 0 < No hay solución. 0 > 0 > (, ] La solución es (, ]. b) ; + 0 0;,08;,08 8 b) 0 ; f(0) 0 > 0; Solución: (,,08] [,08, + ) 0 + < 0 8 No hay solución < -0

9 p Solución: (, 0,8] 8 (,,7) (, 8] + > 0 > 9 e) Solución: (, ] 9 0 9/ + 7 < 0 < / / c) > 0 0 ; 0 > / 7 + Solución: [9 /, / 7) + 0 / 7 ( / 7, + ) + > 0 > / 9 f) < / 7 (, / ) 9 + < 0< 0 < 9 < / / > 0 > / Solución: (, / ) ( / 7, + ) 9 > 0 > 9 / < 0 < / Solución: ( /, / 9) + > 0 > Página d) 70 (, + ) > 0 > P. Es la que se puede transformar en otra equivalente + < 0 < que tiene en el primer miembro (, un ) polinomio y en el otro miembro, < 0 el 0. < Un ejemplo es: ( + )( ) 0, pues puede Solución: (, ) escribirse como (, + ) + 0 P. Es aquella de la cual, si le aplicamos las reglas de transformación, obtenemos la forma: a + b + c 0 La epresión 9 que nos proporciona + las soluciones es: e) 0 ; 0 b ± b ac + 0 a,, < 0 < P. Una ecuación de segundo grado puede tener 0, ó soluciones. No hay solución. Si Δ b ac > 0 tiene dos soluciones reales diferentes. + 0,,, Si Δ 0 tiene > 0 dos soluciones > reales iguales. Si Δ < 0 no tiene soluciones reales. (,,) [,, ) P. Se conocen como ecuaciones bicuadradas. Un ejemplo Solución: sería: (,,) [,, ) + 0 Definimos z z z + 0 ± ± z f) z + 0 ; 0 ;, y z,,, y 0 0 cualquier > 0 < / P. Son las ecuaciones en las que la incógnita se encuentra bajo el signo radical. (, / ) Para solucionarlas:. Se aísla un radical. 0 0 sin solución. Se elevan < 0ambos miembros al cuadrado.. Se repite el proceso hasta eliminar todos los Solución: (, / ) radicales.. Se resuelve la ecuación resultante.. Se comprueban las soluciones. Un ejemplo de ecuación irracional es: + P. Una ecuación es eponencial cuando tiene la incógnita en el eponente y es logarítmica cuando se. La encuentra solución detrás en cada del caso símbolo es: de la operación logaritmo. + a) Un ejemplo < 0 de ecuación eponencial sería: < 0 > 8 / 0 > 0 > 0 + > 0 < 8 / < 0 < Y un ejemplo de ecuación logarítmica: log Solución: + log(, 8 / ) (, + ) log( + ) 0000 b) / P7. Una inecuación + 7 > 0 es una desigualdad > / 7 entre dos epresiones algebraicas. Por ejemplo: / Dos inecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Una inecuación equivalente a la ante- + 7 < 0 < / 7 rior Solución: sería, por ( ejemplo: / 7, / ] P8. Se invierte el sentido de la desigualdad. ( )( + ) 0 c) P9. El ejemplo > 0en cada caso es: > a) ( )( < + + ) 0 < 9, b) < 0 > 0 < Resolvemos: 0 Solución: [, ) [, + ) ± + ± d) 0, y ,8;,7 Intervalo (-, -) - > 0, cierto. < 0 < Intervalo (-, ) 0 - > 0, falso. Intervalo + 9 (, ) 0 0,8 > 0, cierto.,7 Solución: > 0 (, ) (, ) > -

10 + c) 0 + 0, > 0, > > + 0, < 0, < Solución. (, ] [, ). Resolvemos: a) 0 ; 0 0 / 8 / 7 b) ; / / 7 c) mcm (, 8) 8 + ; d) mcm (,, ) Las soluciones que se obtienen son: a) mcm (, 0) 0 0 ( ) + ( ) ; 8; b) mcm (, ) ( ) ( + ) 9 0 ; 7 c) 8 ( ) ( 9); ; d) mcm (, 9, 0) 90 0 ( + ) 0 0 ; 0;. Resolviendo: a) ; 00; 00 / / 8 b) ; / 8 8 / 9 c) + 0; ; /. El número de soluciones en cada caso es: a) Δ + > 0 soluciones reales. b) Δ 9 > 0 soluciones reales. c) Δ > 0 soluciones reales. d) Δ > 0 soluciones reales. 7.Resolvemos: a), b) , 7 c) / + 0, d) + 0 No tiene solución. e) , f) ; No tiene solución. g) 0,; 0, h) / / , i) No tiene solución. j) ,89,,0 8. Resolviendo: a) ± / ± ± b) ± / ± / c) ± d) ± / ± / 9. Actividad personal, por ejemplo: a) ( ) ( ) + 0 b) (8 + ) ( + ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) Las respuesta a cada caso eso: a) k + k 0 k, k b) k k, k k c) + (k k ) 0 k, k. + b + 0 Se verifica: b + 0 b ( ) / ( ) 7 -

11 La ecuación es La otra solución es. Resolvemos, y queda: a) 8 /, b) /, / c), 7 d) e) f) 9 /, 7 /. Las soluciones son: a) 0,, b) / - c) /,, d) 8 9, 9, 98 / 7, 7. Las soluciones son: 9 ± 8 9 ± 9 ± a) t 9 + t 7 7, 7 9 t, ± + ± 9 ± b) t + 8 t, 8 t 9 No hay más soluciones. 7 ± 9 7 ± 7 ± c) t t 9, t /, / 8 7 ± ± 7 ± d) t t t 8 e) t ± 0 ± ± + t 7 7, 7 0 t f) 9 + 0; ± 80 ± 9 ± t t, 8 8 t /, / 8 9 g) ±, ± h) ; 7 ± 89 7 ± 7 ± t 7 + t, 7 t,. Las soluciones son: a) b) Por lo tanto, esta ecuación es equivalente a: ( + )( - )( + )0, así que las soluciones son: -,, La ecuación es equivalente a: ( + )( - )( - )0, por tanto las soluciones son: -,, c)

12 d) Página 7 Ahora la ecuación es equivalente a: ( - )( + )( + )0, por tanto las soluciones son:,, Es equivalente a: ( - )( + )( - )0, por tanto las soluciones son:,,. Las soluciones son: a) c) solución doble b) Es equivalente pues escribir la ecuación de la siguiente forma: ( + )( )( + )( + ) 0, así que sus soluciones son:,,, siendo esta última una solución doble Con lo que tenemos que la ecuación dada es equivalente a: ( + )( )( + )( + ) 0, por lo tanto sus soluciones son las siguientes:,,, siendo esta última una d) -9-0 Por lo tanto la ecuación es equivalente a la siguiente: ( )( + )( + )( )( ) 0 de lo cual se deduce que sus soluciones son:,,, y Nótese que la última solución es doble

13 Por lo tanto la ecuación es equivalente a: ( )( )( )( + )( + ) 0 de donde se puede deducir que sus soluciones son las siguientes:,,,, y 7. Resolvemos apartado por apartado: a) b) c) Es equivalente pues escribir la ecuación de la siguiente forma: ( + )( )( + )( + ) 0, así que sus soluciones son:,,, y Es equivalente escribir esta ecuación de la forma: ( )( + )( )( + ) 0, así que sus soluciones son:,,, y d) e) Tenemos pues: ( )( + )( + )( ) 0, por lo que sus soluciones son: (solución doble),, y La ecuación es: ( + )( )( )( + ) 0, con lo cual las soluciones son:,,, y / Así que la ecuación se puede epresar como: ( )( + )( )( + )( )( + )( + ) 0 con lo cual tiene por soluciones:,,,,, y (solución doble). 8. Con las soluciones que se dan, y teniendo en cuenta que tiene que haber cinco soluciones en total (al ser de quinto grado), la ecuación es: ( )( + )( )( )( ) 0 ( + )( 7 + 0)( ) 0 -

14 ( )( ) , por ejemplo: /, /, / 0, y / 0. Así que la ecuación buscada es: Grado. Resolviendo: a) ( + ) , 0,,, Las tres soluciones son válidas. b) ( + ) ( + ); + ; , 9 Las dos soluciones son válidas. c) mcm ( +, 7) ( + ) ( 7) + 8 ( 7) ( + ) ( + ) ( 8); ; La solución es válida ya que los dos miembros de la ecuación evaluados en valen /. d) mcm (, ) ( + ) ( ) + 8 ( + ) ( ); ; 8 0, 7 / Las dos soluciones son válidas.. Resolvemos: a) mcm (, +, ) 7 ; + 7 0; No tiene solución. b) mcm (,,, ) ,;,0 Las dos soluciones son válidas. c) mcm (, +, ) ( ) ( ) ( + ); + 0,888;,888 Las dos soluciones son válidas.. Las soluciones son: a) + ; + + 0; ( ) 0; 0, La solución 0 no es válida ya que b) + ; c) ( + ) , / 7 es válida ya que los dos miembros de la ecuación valen 7 evaluados en. / 7 no es válida ya que el primer miembro vale / 7 y el segundo vale / ; ; 0; 0, Ambas soluciones son válidas. d) + ; , 7 Si, ambos términos de la ecuación valen 0 y si 7, valen, por lo tanto, las dos soluciones son válidas.. Las soluciones son: a) ; 8 + ; , Si 8, el primer miembro de la ecuación vale y, por lo tanto, no es una solución válida. Si, el primer miembro vale 8 7 y, por lo tanto, es solución válida. -

15 b) ; ;, Las dos soluciones son válidas. c) Una solución es 0, y las demás: ± + 0 ±, Todas son válidas salvo d) + 7 ; ; 9 e) , no es válida. 0, sí lo es. f) 9 ( + ) ± () ± 08,,0 La primera solución es válida, la segunda no, por la presencia de un número negativo en un radicando.. Las soluciones son: a) + ; ( )( + ) ; 0 0, solución no válida. 8, solución válida. b) mcm (, + ) ( + ) + ( ) ; 0 0, solución no válida., solución válida. c) mcm (, ) ( ) ( ) ( ) + 0 0; / ; ; ; / 7. Resolviendo: a) log log ; + 0; + b) log log ; + ; + 0, Si los dos miembros de la ecuación valen log la solución es válida. Si, log no eiste y, por lo tanto, la solución no es válida. c) log log( 000) ; ; ( 0) 0 0, 0 Si 0, log y log no eisten. 0 es una solución válida. ( + ) d) log log( 000) ( + ) ; ; Los dos miembros de la ecuación valen cuando evaluamos en, por lo tanto, es ésta una solución válida. -7

16 Cuando evaluamos en, el primer miembro vale, y el segundo vale, por lo tanto, no es una solución válida. e) log log00 ; ( + ); , 0 Si, log ( + ) no está definido no es válida Si 0, 00 es válida f) log( 8 ) log( ( ) ) 8 ( ) ; 0 ( ) 0; 0, Si 0, los dos miembros de la ecuación valen log 8 la solución es válida. Si, log (8 ) y log ( ) no eisten la solución no es válida. 8. Las soluciones son: a) log (log ) ; log ; b) ln ln + 0 ± 9 8 ±, La primera es una solución válida, pero la segunda no, pues da lugar al logaritmo de 0, que no está definido. 9. Resolvemos: a) ; ± b) 9 + t 9t t + t 7t t / 7 9 c) ( ) / ; + 0 / + 0; + 0 0, Si los dos miembros de la ecuación valen y si valen / las dos soluciones son válidas. d) + ( ); 0 0 Si 0 ambos lados de la ecuación valen la solución es válida. e) + / + / f) t t + t / + t / t + t + t 77 t 77 t 9 ; 9 9 / Si 9 / los dos miembros de la ecuación valen 8 0. Las soluciones resultan ser: log a) +, 809 0,809 log8 ( 7 / ) b) log 7 / log (, + ) /,8 c) ln 7; (ln 7 + ) /, d) ; log 0, 8 ; log log 7 e), 9 (,9) / log 7 0,97 8 f) e 7 ; 8 ln 7 ± ln 7 + 8,,, -8

17 . Resolvemos: a) Multiplico todo por : ( ) log( ) log(7) + b) Multiplico todo por : + + ( ) 8 log( ) log(8) Se puede comprobar que es una solución válida.. Las soluciones son: a) No son equivalentes, la solución de la primera es (, 8 / 7] y la de la segunda es (, ] b) Son equivalentes, la solución es [, + ) Página 7. La solución de la inecuación dada es: 0 + > Multiplico todo por : 0 + > > 0 0 > Así que una inecuación equivalente podría ser: + 9 < 9. Resolvemos: a) Semirrecta abierta a la izquierda de. b) Semirrecta cerrada a la derecha de. c) Semirrecta abierta a la derecha de 0,. d) Semirrecta cerrada a la derecha de. e) Semirrecta abierta a la izquierda de. f) Semirrecta cerrada a la izquierda de. g) Semirrecta abierta a la izquierda de,. h) Semirrecta cerrada a la izquierda de.. Se obtiene, para cada caso: a) > c) > 7 b) 7 < d) > 0. Resolvemos: a) mcm (,, 0) ; 0 7 / b) 8 0 c) 7 > 9 > d) + 0 0; 0 e) < + + ; < / < f) mcm (, ) + ; Resolviendo: a) + 8 ; / b) 8 + ; 7 ; 7 / 8. Las soluciones son: a) < < ; / < b) 8 + > ( ) 8 + > > 8; > 8 / 9 9.No, será siempre una semirrecta. Al despejar la siempre queda una epresión de la forma a, a o las correspondientes con las desigualdades estrictas. En los casos en los que las incógnitas se anulan, la inecuación no es de primer grado. Por ejemplo: + 0 No tiene solución pero no es una inecuación de primer grado. -9

18 70. Resolvemos: a), 7 f(0) < 0 Solución: [, 7] e) /, / f(0) > 0 Solución: ( ; / ) ( / ; + ) b) > 0 ; 0 f(-) < 0 Solución: ( ; ) (0; + ) f) ; 9 f() < 0 Solución: ( ; ] [9, + ) g) < 0;, f(0) 0 < 0 Solución: (, ) c) , f(0) 0 > 0 Solución: ( ; ] [ ; + ) h) , f(0) 8 < 0 d) / + / 0, / f(0) < 0 Solución: [, / ] Solución: ( ; 7] [; + ) i) La parábola no tiene puntos de corte con el eje OX y está en el semiplano superior porque, por -0

19 ejemplo, f(0) > 0. La inecuación no tiene solución. j) / / 0,8,,8 f(0) / < 0 Solución: [,8;,8] Multiplicando todo por /: 8 8 ±, Intervalo, 8 : 8 ± , falso. Intervalo, 8 : 0 0, cierto. Intervalo, :, falso. 7. Una inecuación en cada caso será: a) Una ecuación de soluciones y es, por ejemplo: + 0, así que la inecuación de soluciones < < es: La solución es:, 8 7. Las soluciones quedan: a), + < 0 b) Una ecuación de soluciones -7 y - es, por ejemplo: + + 0, así que la inecuación de soluciones 7 es: c) Una ecuación de soluciones ± es 0, así que la inecuación de soluciones es: 0 d) La ecuación de soluciones y 7 es, por ejemplo: 0 + 0, así que la inecuación de soluciones y 7 es: e) La ecuación de soluciones - y es, por ejemplo: 0, así que una inecuación de soluciones < y > es: Solución: (, ) (, + ) b) > 0 f) Una ecuación de solución ± sería: 0, así que la inecuación de soluciones y es: Resolvemos. 0 Solución: (, + ) -

20 c) 0, 7. Resolvemos: a) > 0 > (, ] Solución: (0, ) d) 8, Solución: (, 8) (, + ) e) 0, Solución: [0, ] f), b) 8 0 No hay solución + < 0 < La solución es (, ] La representación es un intervalo semiabierto por cuyo otro etremo es. 0 / [ /, + ) + > 0 > 0 / (, ) + < 0 < Solución: (, ) [ /, + ) La semirrecta abierta a la izquierda de y la semirrecta cerrada a la derecha de /,. + c) 0 ; (, + ) > 0 > + 0 (, ) < 0 > Solución: (, ) (, + ) Todos los puntos de la recta real pertenecen a la solución ecepto. 0 + d) 0 ; / (, + ) > 0 > + 0 / (, / ] < 0 < Solución: (, / ] (, + ) La semirrecta cerrada a la izquierda de / 0, y la semirrecta abierta a la derecha de. 7.Resolviendo, obtenemos: a) + 0 < > 0 ( ], (, ] (,) [ ), + (, + ) (, ) (, + ) Solución: (, ] (, + ) b) 0 > 0 (, ] [ 0,] (, + ) Sin solución. -

21 [ ] [ ) 0,0, + [, 0] [, ) < 0 (,) (,0] 0 c) (, 0] 9 < 0 (,) [ 0, + ) > 0 9 > 0 (, ) (, + ) Solución: (, 0] (, + ) d) 0 ( ) [,;,] ( ) < 0 (0,) (, + ) [,; ) ( ;,] [,; + ) ( ) > 0 (,0) (, + ),0) ( [,; ) [,;+ ) + + e) 0 [ ] + + 0,8; 0,7 > 0 (, ) (, + ) [,8; ) < 0 [ 0,7;) ( ;,8] [ 0,7; + ) (,) Solución: [,8; ) [ 0,7;) ( )( + )( + ) f) 0 9 ( )( + )( 9 > 0 (, ] [, + ) + ) 0 (, ) (, + ) (, ) (, + ) ( )( + )( 9 < 0 [,] (,) [,] + ) 0 Solución: (, ) [,] (, + ) 7. Resolvemos: ( )( + )( ) + ( )( ) ( )( + )( ) ( ( )( + ) 0 )( + )( ) Ahora tengamos en cuenta las raíces de numerador y denominador: Tres soluciones reales:, 0, 79, y, Tres soluciones reales: 0,, y Representamos los puntos y estudiamos el signo de la fracción en cada intervalo (recordemos que tiene que ser < 0): Solución: (, ] [ 0,79, 0] [,,0] b) > 0 + ( )( ) ( + )( ( + )( )( ) ( + )( ) > 0 ( + )( )( ) > 0 ) Veamos las raíces de numerador y denominador: Cuatro soluciones reales: 0, /,, y + 0 Tres soluciones reales: 0,, y Representamos los puntos y estudiamos el signo de la fracción en cada intervalo (recordemos que tiene que ser > 0): a) + 0 ( + )( ) + ( ) -

22 Solución:, (0,) 77. / + / ; 7 / 0 : Si k es un número entero: k + + k + + k + + k k + 8; k Los números son 9,,,. 79. Si es la medida del cateto más corto: + ( + 7) 8 ; ,0,,0 Los catetos del rectángulo son,0 y, Multiplico todo por : Ahora multiplico por : 7 ( )( ) 0 Una solución es ; las demás: ± 0 0 Estas dos soluciones no nos sirven, porque buscamos un número entero. Con lo cual, Multiplico todo por : 0 ± + 0 ±, ; ; + 9; ;, solución no válida porque 9 es el número que buscábamos. 8. Número de unidades vendidas:., 00 +,0 0, Con 900 unidades vendidas se equipara el beneficio al coste, así que se recibe beneficio neto a partir de 90 unidades. Página 7 8. Las respuestas son: meses a) Tiempo: años meses año b) 7, N () +, 70 visitas. (,),8 7, N( ) 7, +, 7, 7, 7, log (,) +, 7,, (,) 7, 7,,987,8,8 7,,8 (,),8 log(,), Tras meses, tendrá más de 7 visitas. 8. Las respuestas son: a) b) e 0,9 e 7k ln( 0,9) k 0, 7k e 0, e ln( 0,), 0, k 7 0, 0, Debe transcurrir año para que las ventas sean inferiores a Si a y b son las raíces: a + b ; a b a b a + b b + b; b / a / Por lo tanto, el polinomio es: ( + / ) ( + / ) / -

23 87. Las soluciones son: a) ( 8) ( + 8) < ( 8) ( + 8) Solución: (, 8) (0, 8) b) + > 0 ( ) ( + + 9) > 0 ( ) ( + + 9) < ( ) ( + + 9) 0 + Solución: (, ) c) ( )( )( + ) ( ) ( + ) Solución: [,] [, ) d) ( ) ( + ) Solución: (, ) (0, ) e) ( ) ( + ) ( ) ( + ) Solución: [, 0] [, ) f) < 0 ( + )( )( + )( ) < ( + )( )( + )( ) + 0 / ( + )( )( + )( ) ( + )( )( + )( ) Solución: (, ), 88.Si d y e son las soluciones de la ecuación: e d + e de d e Se cumple entonces: e a ( e) a e Por lo tanto, b c. ae ae + e e 0 + Para que la suma y el producto sean opuestos: e d + e de d e + Se cumple: e ae ae a ( e) + a e + e + e + En este caso, b c. 89. Los valores de en cada caso son: a) Buscamos los valores tales que + > 0:, -

24 Si evaluamos el polinomio en, obtenemos 0, < 0 + > 0 en (, ) (, + ) b) Análogamente, buscamos tal que: + > 0 > 0 ya que + > 0 para todo El logaritmo tiene sentido en (, + ). 90. Las soluciones son: a) Buscamos + > 0 y > 0 + > 0 > Pero como además necesito que > 0, sólo me vale esto último. Resolvemos: ( + ) log0 log ( + ) ± ( 0) ±, y solución positiva. 0 b) Buscamos + > 0 y > > 0 > > 0 > Es decir, que. Sin embargo, sólo vale la >. Resolvemos: log + log0 ( ) 00 0,, que cumple > Viendo la serie paso a paso: Resolvemos: a) + es siempre positivo, así que el valor absoluto sólo tiene una posibilidad: + < < < No tiene solución real. b) Veamos los signos de numerador y denominador: es positivo si 7 + es positivo si <. 7 >, y negativo si <. >, y negativo si 7 Entonces, el signo de la ecuación fraccionaria en cada caso queda: -/7 / Según el signo en cada caso, el valor absoluto tendrá un resultado diferente: Si < > La solución es., 9 7 Si < < < La solución es. 7, Finalmente, si > > Ya resuelto antes:. Pero como estamos 9 bajo la condición de que >, es > 9 9. Si I : + I I Y, por lo tanto, como la ecuación original dice que I: 0, -

25 Trabajamos con raíces positivas, por lo tanto no es solución, sin embargo, sí que lo es. Evaluación de estándares. Resolviendo: a) mcm (, ) 0 ( + ) 0 ( ) 0 0; 7 b) ; + 0 ± + 8 ± 9 ± ,. Las soluciones son: a) Es una ecuación bicuadrada, así que definimos: z z + 7z ± ± z 9 z, z, pero sólo nos vale la primera solución, pues no puede ser negativo, y así: ± 9 ± b) Usamos la regla de Ruffini: La ecuación queda por tanto: ( + )( )( + ) 0 Así que las soluciones son:,, y. ( + ) + ( ) ( ) ; 0 0. Resolvemos: a) log (log ) log ; log ; 0 b) log log La solución queda descartada, pues implicaría el logaritmo de un número negativo.. Resolvemos: a) u u + u 80 u + u 80 0; u 0, u 8 La solución negativa no es válida. Si u 8. b) La solución es: a) + < + ; < 7 < ( /, + ) b), Por ejemplo, (,) 0, + 0, 0, pertenece a la solución La solución es [, ]. ; + ; 8. Resolvemos: + 0;, 9 / La única solución válida es 9 /. a) 0 + > 0 ( /, ] > / -7

26 0 No hay solución + < 0 < / La solución es ( /, ]. b) Operamos a partir de la epresión original: Calculamos las raíces del numerador y del denominador: 0 ± ( ) + ± 8 ± Solución: (, +, + ) 9. / /, El número que buscamos es el. 0. B() 7 > 0 > 7 /, A partir de las unidades vendidas. DIRECCIONES DE INTERNET TICHING WEBS 0/item_.htm df