matemáticas 4º ESO exponenciales y logaritmos

Transcripción

1 coleio martín códa departamento de matemáticas matemáticas º ESO eponenciales logaritmos eponenciales una eponencial es cualquier epresión de la forma: a donde a (que se denomina base) es un número distinto de cero (eponente) un número cualquiera; este curso sólo trabajaremos con eponenciales en las cuales la base sea positiva diferente de uno; -ejemplos:,, 7 -, 8, etc. [nota: el eponente puede ser un polinomio en o una fracción algebraica] propiedades son las correspondientes a la potencias que a vimos en un tema anterior; recordemos las más importantes: a m a n a m+n a a a m :a n a m-n a 0 (a m ) n a m n a -n /a n Ejercicio Calcula el valor de estas eponenciales para los valores de que se indican: ) para,, 0 ) para, -, ) 9 para,, ) - para,, ) 0 para 0, /, 0 6) 6 para -,,

2 coleio martín códa departamento de matemáticas ecuaciones eponenciales son aquellas que verifican que la incógnita o incógnitas aparecen formando parte de un eponente; resolveremos dos tipos: a) ecuaciones eponenciales monómicas son aquellas que se pueden epresar como una igualdad entre dos epresiones monómicas; - ejemplos: resolución: se trata de epresar los dos miembros de la igualdad como potencias de la misma base; si ésto no fuera posible ha dos posibilidades: o la ecuación no tiene solución o debe resolverse mediante el uso de logaritmos; veamos algunos ejemplos: ) + ponemos como potencia de, con lo cual: + de la igualdad anterior se deduce que los eponentes son iguales; esta + operación es equivalente a tachar las bases: / / por ello: +; obtenemos una ecuación de º grado cua resolución es inmediata: - / ) 6-6 ponemos 6 como potencia de 6, con lo cual: 6-6 tal como hicimos antes, tachamos las bases: 6 / 6/ así nos queda la ecuación: - cua resolución es sencilla: + /

3 coleio martín códa departamento de matemáticas 6 ) + aquí el problema parece más complicado: cómo epresamos como potencia de base? si recordamos las propiedades de las potencias: a 0, con lo cual, es cierto que 0 ; ésto nos conduce a lo siguiente: gracias a lo cual a podemos resolver la ecuación: + 6 tachamos las bases: / / 0, obtenemos: + 6 0, ecuación de º grado que se resuelve utilizando la fórmula que aprendimos en º de ESO cuo resultado es:, b) ecuaciones eponenciales trinómicas son aquellas que, mediante una operación que denominamos cambio de variable, se pueden convertir en una ecuación de º grado (que sí sabemos resolver) - ejemplos [observemos que se denominan trinómicas porque aparecen términos sumándose o restándose] - resolución: ) lo primero que debemos hacer es aislar los términos que llevan utilizando las propiedades de las potencias: a continuación hacemos lo que se denomina un cambio de variable : a a le llamamos le llamamos, a que : ( ) con lo cual la ecuación anterior queda de la siguiente manera: + 0, que es una ecuación de º grado de resolución inmediata:

4 coleio martín códa departamento de matemáticas ( ) ± ( ) ± 9 8 ± ± calculada debemos deshacer el cambio de variable para hallar : 0 0 ) primer paso: aislar las incógnitas aplicando las propiedades de las potencias: en este caso, al haber eponentes negativos, por las propiedades de las potencias, podemos escribir así la ecuación: 8 0 sacando el mcm, ésta queda: ahora hacemos el cambio de variable: a le llamamos a le llamamos, a que : ( ) con lo cual la ecuación anterior queda de la siguiente manera: resolvemos: ( 8) ± ( 8) ( 9) 8 ± ± 00 8 ± 0 9 calculada debemos deshacer el cambio de variable para hallar : - imposible 9 [las soluciones negativas no valen, a que es imposible que al elevar un número positivo a otro obtengamos un resultado negativo]

5 coleio martín códa departamento de matemáticas Ejercicios: ) Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales monómicas: a) b) c) d) e) f) 7 g) 7 h) 6 i) ) Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales trinómicas: a) b) 7 c) d) + ( + ) ) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones eponenciales: a) b) 7 c) d)

6 coleio martín códa departamento de matemáticas logaritmos - Introducción supongamos que tenemos un número cualquiera, por ejemplo, el, que queremos averiguar a cuanto debemos elevarlo para conseguir otro, por ejemplo el 6; ésto lo escribiríamos así: 6 ese número desconocido,, se denomina logaritmo en base del número 6, la manera de escribirlo es la siguiente: log 6 - Definición se denomina logaritmo en base a de un número b a otro número al que ha que elevar a para obtener b; ésto se puede escribir de la siguiente manera: loga b a b a se denomina base del logaritmo; debe ser un número distinto de cero,, en este curso, positivo; - Ejemplos ) Hallar el logaritmo en base de 7. Este problema consiste en calcular el número al que ha que elevar para obtener 7; ésto lo podemos escribir así: log 7 7, a que 7 ) Hallar el logaritmo en base de 6. Aquí se trata de calcular a qué número ha que elevar para que nos de 6; lo escribimos de la siguiente manera: log 6 6 6, a que 6 6 ) Hallar el logaritmo en base 0 de 000. A qué número ha que elevar 0 para obtener 000? log , a que

7 coleio martín códa departamento de matemáticas Ejercicio: Calcula los siguientes logaritmos: log log 9 log log 6 log log 8 log 6 log 7 9 log log log 6 6 log propiedades de los logaritmos ) No se pueden calcular los logaritmos de números negativos (a que antes dijimos que este curso sólo estudiaríamos logaritmos de base positiva); Imaginemos que queremos hallar log ( 6) ; ésto supone buscar un número que cumpla que elevado a él de -6; sin pensar mucho podríamos decir: el -; pero es ésto correcto? comprobémoslo: log( 6) 6, pero por las propiedades de las potencias sabemos que 0, 06, que, claramente, no es -6; 6 en general, es imposible conseguir un número negativo a partir de uno positivo elevándolo a otro, por ello no se pueden calcular los logaritmos de los números negativos; ) El logaritmo de en cualquier base vale 0: log a 0 a que, en las condiciones que establecimos al principio, se cumple a 0 ; loga 0 a - Ejemplos: log 0 a que 0 log 0 0 a que b ) loga a b esta propiedad es mu simple: a qué número debemos elevar a para obtener a b? a b - Ejemplos: log ; a qué número debemos elevar para obtener? a 7 log 7; a qué número debemos elevar para obtener 7? a 7 7

8 coleio martín códa departamento de matemáticas observemos que esta propiedad nos permite también convertir un número cualquiera en un logaritmo: ejemplos: convierte en un logaritmo de base : log 7 convierte 7 en un logaritmo de base 0: 7 log 0 0 convierte - en un logaritmo de base : log ) El logaritmo de cero es: si a es maor que + si a es un número comprendido entre cero uno -Ejemplos: log 0 log 0 log 0 en cualquier caso, como infinito no es un número real, también podemos decir que el logaritmo de cero no tiene solución real, lo que, para nosotros, equivale a que no se puede calcular; Ejercicios ) Calcula el valor de los siguientes logaritmos: log log ( ) log log ( ) log log 7 7 log log 0 0 log 0 log 6 ( ) log log 8 ) Convierte los siguientes números en logaritmos: en logaritmo de base 7 en logaritmo de base 6 en logaritmo de base 0-9 en logaritmo de base -6 en logaritmo de base 7 en logaritmo de base en logaritmo de base 6 8

9 coleio martín códa departamento de matemáticas operaciones con logaritmos ) loga ( ) loga + loga ) loga loga loga ) loga loga.. loga loga loga z.. loga loga z (las propiedades.. se deducen de la propiedad ) - Ejemplos: ) log( 0) log + log 0 ) log(7 : ) log 7 log ) log 7 log 7 ( ).. log.. log7 log log7 El uso de estas operaciones es necesario para la resolución de ecuaciones logarítmicas de los problemas relacionados con ellas; junto con las propiedades anteriores podemos hacer una tabla resumen con las características fundamentales de los logaritmos. tabla resumen de propiedades operaciones no eisten logaritmos de números negativos log a b 0 loga a b loga ( ) loga + loga loga( : ) loga loga loga loga loga loga loga z loga loga z 9

10 coleio martín códa departamento de matemáticas Veamos un ejemplo de aplicación simultánea de varias propiedades: - Desarrollar al máimo la siguiente epresión: log ( z) en primer lugar, la potencia del logaritmo (el número ) puede bajarse de manera que multiplique al logaritmo: log( z) ; a continuación, como tenemos el logaritmo de un producto, podemos convertirlo en suma de varios logaritmos: log ( z) (log + log + log z) ; con lo cual hemos desarrollado al máimo la epresión inicial -Ejercicio: empleando las propiedades operaciones de los logaritmos, desarrolla al máimo las siguientes epresiones: ) log ( : z) ) log ) log( a )log (a : b) 7 [ + ) ( ) ] b 7 c ) log ( : z) -Ejercicio: empleando las propiedades operaciones de los logaritmos, comprime al máimo las siguientes epresiones: ) log + log + logz ) (loga logb) + (logb logc) ) log + log log z ) (log log ) + (log log ) ) (log + log ) + (log log ) 0

11 coleio martín códa departamento de matemáticas Logaritmos decimales. Logaritmos neperianos. Antiguamente se utilizaban las llamadas tablas de logaritmos para hallar el logaritmo de un número cualquiera. Ho día las calculadoras reducen significativamente el tiempo que debemos emplear para hacer tal cálculo. Sin embargo, con ellas sólo podemos hallar dos tipos de logaritmos: los decimales (los que tienen por base el número 0) los neperianos (los que tienen por base el número e), llamados así en honor del matemático escocés John Napier (apellido latinizado como Neper o Neperius). Logaritmos decimales Como a hemos dicho, son aquellos que tienen por base el número diez. Notación: log 0 b logb. Observemos que la base desaparece. Ésto a lo hemos visto con otras operaciones: a a a Por lo tanto, cuando nos encontremos con un logaritmo en el que no está indicada la base, automáticamente debemos pensar logaritmo en base diez. a - ejemplos: log 00 a que 0 00 log a que log 0,00- a que 0-0,00 La calculadora permite hallar estos valores utilizando simplemente la tecla log Como a sabemos ha dos tipos de calculadoras: en unas se pone primero el número después la función con la que queremos trabajar, en otras se escribe en primer lugar la función luego el número (las que conocemos de este estilo son las Casio SVPAM). -ejemplos: log 0, log,886 log(/)-0,77 (para las operaciones que haremos nos bastará con tomar los dos decimales habituales)

12 coleio martín códa departamento de matemáticas Logaritmos neperianos (también llamados naturales) Son aquellos que tienen por base el número e. Es éste un número semejante a π: irracional, con infinitos decimales no periódicos con una etraña capacidad para aparecer asociado a multitud de fenómenos naturales. Se puede hallar de varias maneras, una de ellas es la siguiente: Otra, que puede probarse de manera sencilla empleando la calculadora, es darle valores a la sucesión n + : n n + n + n + ( + ) ( + 0,) ) ( + 0,),,,70707 A medida que n va aumentando nos vamos aproimando al valor real de e: n 0 + n n n ( + 0,) 00 ( + 0,0) , ( + 0,00) , ,7699 ( + 0,00000) , de manera que cuando n tiende a infinito obtenemos el valor real de e; con la auda de un ordenador uno puede obtener de forma simple sus 6 primeros decimales: e Notación: log e b lnb.

13 coleio martín códa departamento de matemáticas - ejemplos: ln,60979 ln 00, ln 706, Estos resultados se han hallado con la calculadora utilizando la tecla ln - más ejemplos: ln 0 ln (0,6)-0, ln 78, (para las operaciones que haremos nos bastará con tomar los dos decimales habituales) Cambio de base Como a hemos dicho, la calculadora permite hallar logaritmos decimales logaritmos neperianos. Cómo hacemos para calcular todos los demás? Empleando lo que se conoce como fórmula del cambio de base: logb log a b loga lna lnb El logaritmo de un número b en base a se puede calcular: - como el cociente del logaritmo decimal de b entre el logaritmo decimal de a; - como el cociente del logaritmo neperiano de b entre el logaritmo neperiano de a Comprobemos que ambos métodos son equivalentes: cuánto vale log 0? (es decir: a qué número debemos elevar para que nos de 0?): log0 log log 0 ln0 ln, ,00999,9977 0,6978, 9809,9809,9809 (ésto quiere decir que 0)

14 coleio martín códa departamento de matemáticas - Ejercicios ) Utilizando la calculadora determina el valor de los siguientes logaritmos: a) log 00 k) ln 00 b) log l) ln c) log m) ln d) log 0, n) ln 0, e) log 0,07 ñ) ln 0,07 f) log (/6) o) ln (/6) g) log p) ln h) log 0 q) ln 0 i) log 0 r) ln 0 j) log 0 - s) ln 0 - ) Utilizando la calculadora determina el valor de los siguientes logaritmos: a) log 00 b) log c) log d) log 0, e) log 0,07 f) log (/6) g) log h) log 0 i) log 6 0 j) log 0 -

15 coleio martín códa departamento de matemáticas ecuaciones logarítmicas Son aquellas que verifican que la incógnita o incógnitas aparecen en el interior de un logaritmo. Su resolución es sencilla: aplicamos las propiedades de los logaritmos ( comprimiendo las epresiones que aparezcan) hasta lograr una igualdad de logaritmos de este tipo: log (epresión algebraica )log (epresión algebraica ) lo cual conduce a: epresión algebraica epresión algebraica En este curso esta igualdad dará como resultado una ecuación de primer o segundo grado. Puede darse el caso de que tengamos un sistema de ecuaciones logarítmicas. Si ocurre ésto, al resolverlo de la manera indicada antes, obtendremos un sistema de ecuaciones (a vistas el curso anterior). - Ejemplos: ) log (+)-log primer paso: aplicando las propiedades convertimos la resta de logaritmos en el logaritmo de la división: + log segundo paso: el de la parte derecha de la igualdad debe aparecer dentro de un logaritmo decimal; por las propiedades sabemos que log0, con lo cual: + log log0 tercer paso: sólo nos queda igualar la epresión que ha en el logaritmo de la izquierda con la epresión que ha en el logaritmo de la derecha, resolver la ecuación resultante:

16 coleio martín códa departamento de matemáticas ) log (+9)+log - primer paso: aplicando las propiedades convertimos la suma de logaritmos en el logaritmo del producto: [( + 9) ] log - segundo paso: el de la parte derecha de la igualdad debe aparecer dentro de un logaritmo decimal; por las propiedades sabemos que log0, con lo cual: [( + 9) ] log0 log - tercer paso: sólo nos queda igualar la epresión que ha en el logaritmo de la izquierda con la epresión que ha en el logaritmo de la derecha, resolver la ecuación resultante: ( + 9) En este caso hemos obtenido una ecuación de º grado (en el ejemplo anterior era de º grado). La resolvemos empleando la fórmula que a conocemos: b ± b ac 9 ± 9 a ( 0) 9 ± ± 9 ± La segunda solución no es válida, a que, como sabemos, los logaritmos de números negativos no son números reales. Solución: - Ejercicios: resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas ) log ( + ) - log ) log (9-0) - log - log 6 ) log - log ( - ) ) log [( + )/( - )] log (/) ) log / 6) log(-) + log log8 7) log(-) + log(-) 6