ECUACIONES Y SISTEMAS

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1 Colegio Vicaa UNIDAD DIDÁCTICA : ECUACIONES Y SISTEMAS º BACHILLER 7

2 Colegio Vicaa OBJETIVOS DIDÁCTICOS:. Resolver ecuaciones de primer segundo grado de forma analítica, e interpretar gráficamente las soluciones.. Resolver ecuaciones sencillas de grado superior bicuadradas.. Resolver ecuaciones radicales, eponenciales logarítmicas.. Resolver clasificar sistemas de hasta tres ecuaciones lineales con tres incógnitas mediante los métodos de sustitución, igualación, reducción Gauss. 5. Resolver sistemas de ecuaciones no lineales. 6. Plantear resolver problemas mediante ecuaciones sistemas de ecuaciones. 7. Manejar el método gráfico de resolución de inecuaciones sistemas de inecuaciones con una dos incógnitas. 8. Resolver problemas de programación lineal. CONCEPTOS. Ecuación: concepto clasificación.. Ecuaciones de primer segundo grado: resolución significado geométrico.. Ecuaciones de grado superior, radicales, eponenciales logarítmicas: concepto resolución.. Sistemas de ecuaciones lineales: concepto clasificación. 5. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: métodos de resolución (reducción, sustitución e igualación) significado geométrico. 6. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas: método de Gauss. 7. Sistemas de ecuaciones no lineales. 8. Sistemas de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas: resolución 9. Programación lineal. 8

3 Colegio Vicaa ECUACIONES Y SISTEMAS. ECUACIONES Definición: Se llama ecuación a toda igualdad entre dos epresiones algebraicas. En ellas intervienen cantidades desconocidas llamadas incógnitas. Los valores de las incógnitas para los que se cumple la igualdad se llaman soluciones. Ejemplos: 5-0 ( 0 5 ) es una solución. puedes encontrar más? cuántas soluciones ha? cuántas soluciones tiene? hállalas - 5 cuántas soluciones tiene? qué puedes deducir?. ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Son de la forma ab0, con a 0. b Su solución es coincide con el punto de corte con el eje X de la recta a a b. (Observa que si queremos hallar los puntos de corte con el eje X de la función ab, debemos hacer 0, es decir, ab0, lo que supone resolver la ecuación).. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son de la forma a b c 0 con a 0, a,b,c R. Recuerda que sus soluciones son: b ± b ac a Pueden darse tres casos: a) Si b ac > 0 dos soluciones reales. b) Si b ac 0 eiste una única solución real doble. c) Si b ac < 0 no eiste solución real, sino compleja. Gráficamente las soluciones coinciden con los puntos de corte en el eje X de la parábola a b c a) b) c) b a 9

4 Colegio Vicaa Actividad. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) ( 5 ) 5( 5) 5( ) b) ( ). ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR a) Ruffini: investiga sobre ello repasando tus apuntes del año anterior. Te facilitamos un ejemplo. Ejemplo: Resuelve la ecuación: equivale a: ( )( 5)( ) 0-0 ± ( )( 5)( )( ) 0 0, -50, - 0 ó 0 Las soluciones son:, 5,, Actividad. Resolver las siguientes ecuaciones de grado superior: a) 6 0 b) 5 0 c) d) Escribe un polinomio cuas raíces sean,, -, 0. e) 0 f) 8 0 g) 6 0 h) 0 0

5 Colegio Vicaa b) Ecuaciones bicuadradas: Son de la forma a b c 0, con a 0. Una ecuación bicuadrada se puede reducir a una ecuación de º grado, haciendo el cambio ( ) Ejemplo: Resuelve la ecuación: 6 0 ± 69 ± ± ± Soluciones:,-, -. La descomposición factorial sería: ( )( )( )( ) 0 Compruébalo utiliando Ruffini Actividad. Resolver las siguientes ecuaciones de grado superior: a) b) 5 0 c) 0 d) 0 e) 0 5. ECUACIONES IRRACIONALES Definición: Son aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical.

6 Colegio Vicaa Ejemplo: Resuelve la ecuación: * Aislamos una de las raices * Elevamos al cuadrado ambos miembros (el segundo miembro es una identidad notable) * Elevamos otra ve al cuadrado * Agrupamos términos ( 8) 8 *Volvemos a aislar la rai agrupando términos que sean semejantes (ecuación de segundo grado) 88 ± ± ± 80 si es solución 8 no es solución. Por qué? Compruébalo IMPORTANTE: Debes verificar todas las soluciones pues ha muchas posibilidades de que aparecan soluciones falsas. Investiga por qué. Actividad. Resolver las siguientes ecuaciones: a) 7 0 b) c) d) 5 e) 6 f) 6. ECUACIONES EXPONENCIALES Definición: Son aquellas cua incógnita figura como eponente. Ejemplos: ) Resuelve la ecuación: 9 Escribimos todo en función de la potencia :

7 Colegio Vicaa Si quieres puedes resolverla mediante un cambio de variable t ) Fíjate en el siguiente ejemplo: 5 0 hacemos el cambio t t 5 t 0 ecuación de º grado t 5 ± ± 0 0 ) Cómo lo resolverías? Claro! Utiliando logaritmos. log log log '0 0'77 '8 ' log log Actividad 5. Resolver las siguientes ecuaciones: a) d) 86 b) 0 e) 5 c) 5 0 f) 6 g) 9 7. ECUACIONES LOGARÍTMICAS Definición: logaritmo: Son aquellas cua incógnita aparece sometida a la operación Ejemplo: Resuelve la ecuación: log log 5 log log log log 5 log log log log 5 log log log 5 log ( 5) Comprueba las soluciones recuerda que no eisten logaritmos de números negativos ni de cero.

8 Colegio Vicaa Actividad 6. Resolver las siguientes ecuaciones: a) log log b) log log( 6 5) c) d) log log 0 log 0 5 log log log log e) log log( ) log(5 ) f) log( ) log(9 ) g) log ( ) log (5 ) 9 h) log5 (7 ) log5( ) log5( ) 8. ECUACIONES LINEALES Definición: Se llama ecuación lineal a toda igualdad de la forma: donde a a... an n b a son los coeficientes, las incógnitas b el término independiente. i i Observa que puede haber un número cualquiera de incógnitas, todas ellas con eponente. Ejemplo: t 7 Según sus soluciones, una ecuación lineal puede ser: a) Compatible determinada: tiene solución única. ; ; b) Compatible indeterminada: tiene infinitas soluciones. 0 ; - c) Incompatible: no tiene solución. 5 ; 0 6 imposible. 9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición: Un sistema formado por m ecuaciones n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones de la forma: a a... an n b a a... an n b am am... amnn b m siendo a ij los coeficientes, i las incógnitas b i los términos independientes.

9 Colegio Vicaa Si todos los términos independientes son iguales a cero, se llama sistema homogéneo. Los sistemas pueden ser: - Compatibles: Determinado: solución única Indeterminado: infinitas soluciones - Incompatibles: no tienen solución. 0. SISTEMAS LINEALES DE DOS INCÓGNITAS Definición: Métodos de resolución: Son de la forma: a b c a' b' c' a) Método de sustitución: Despejamos el valor de una de las incógnitas en una de las ecuaciones la sustituimos en la otra Ejemplo: (5 ) , 5 8 b) Método de igualación: Despejamos una de las incógnitas en las dos ecuaciones e igualamos los valores obtenidos Ejemplo: c) Método de reducción: Consiste en conseguir un sistema equivalente eliminando alguna incógnita Ejemplo :

10 Colegio Vicaa d) Método gráfico: Gráficamente, cada una de las ecuaciones representa una recta. Por ser la solución un punto que satisface ambas ecuaciones, tiene que ser un punto en común, es decir, su punto de corte: - Si el sistema es compatible determinado: dos rectas secantes 5 - Si el sistema es compatible indeterminado: dos rectas coincidentes Si el sistema es incompatible: dos rectas paralelas. Escribe una ecuación que forme con la dada un sistema incompatible. 5 * Qué observas al resolver los tres sistemas? Actividades 7. Encuentra un número de dos cifras sabiendo que éstas suman que si invertimos el orden de las cifras el número obtenido ecede en 5 al número dado. 8. En un parking ha 7 vehículos entre coches, motos camiones de 6 ruedas. El número de motos ecede en al de coches camiones juntos. Halla el número de vehículos de cada clase si en total suman 8 ruedas. 9. En un centro ha dos equipos de fútbol A B. Si del equipo A pasan tres personas al B en ambos queda el mismo número. En cambio, si del B pasan 7 al A queda en éste un número que es el cuadrado de los de aquél. Cuántos deportistas ha en cada equipo? 0. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida en metros tres números pares consecutivos. Cuánto mide cada lado?. SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS. MÉTODO DE GAUSS Consiste en aplicar reiteradamente el método de reducción hasta conseguir un sistema triangular en el que la primera ecuación tenga incógnitas, la segunda la tercera. Amplía esta información. 6

11 Colegio Vicaa 7 Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema: ) ( Recuerda que debes comprobar la solución en las tres ecuaciones. Actividad. Resuelve por el método de Gauss: a) 5 b) 6 c) 7 5 d) e) SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Ejemplos: a) 0 ( ) ± ± b) 9 0 0

12 Colegio Vicaa c) ± ± 9 6 Actividad. Resuelve los sistemas no lineales: 56 a) b) log log c) 5 log log d) log log 5 e) log( ) f) log 6 log. INECUACIONES Definición: Una inecuación es una desigualdad entre dos epresiones algebraicas en la que intervienen incógnitas. Pueden aparecer los signos <, >,,. Dos inecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Se cumple que: a) Si a los dos miembros de la inecuación se les suma o resta un mismo número, se obtiene una inecuación equivalente. b) Si se multiplican o dividen ambos miembros por un número positivo, se obtiene una ecuación equivalente. c) Si se multiplican o dividen ambos miembros por un número negativo, resulta otra inecuación con el signo de desigualdad contrario, pero equivalente a la dada. 8

13 Colegio Vicaa. Inecuaciones con una incógnita Ejemplo: 6 6 Las soluciones son: (, ] Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita Ejemplo: 8 > 6 > > (, ] - 6. INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Ejemplo: Dibujamos la recta. Los puntos de corte son (0, - ) (, 0). En los puntos de esta recta, se cumple que - es igual a. En los demás puntos, - será distinto de, es decir, maor o menor. Cada semiplano corresponde a uno de los dos signos. La solución corresponde a uno de los semiplanos. Se elige un punto cualquiera de uno de ellos (0, 0) se sustitue en la inecuación. Si la satisface, su semiplano será la solución, si no, lo será el otro. 9

14 Colegio Vicaa Actividad. Resuelve los sistemas de inecuaciones con dos incógnitas: c) 5 a) b) < > 0

15 Colegio Vicaa EJERCICIOS. Resuelve las ecuaciones de º grado: a) b) ( ) ( ) c) ( ) 8 d) ( ) ( ). Resuelve las ecuaciones radicales: a) 5 b) c) d) 5 5 e) 5 f) 6 g) 7 h) i) 9 j) 9 k) l) m). Resuelve las ecuaciones bicuadradas: a) b) 0 c) d) e) f) 7 0. Descomponer en factores: a) 6 0 b) c) 0 d) 0 e) Resuelve las ecuaciones eponenciales: a) b) 5 5 c) 6 d)

16 Colegio Vicaa 8 e) 5 7 f) 9 0 g) h) i) 8 6 j) 8 k) l) 6 m) 6. Resuelve las ecuaciones logarítmicas: a) log log 0 b) log ( ) c) log log( 6) log log( ) d) log(5 ) e) log log 5 6 f) log ( 5 ) log ( ) 7. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) b) c) d) e) log log 8. Antonio mecla café de clase A a 950 pts el kilo con café de clase B a 00 pts el kilo obtiene 9 kilos de mecla. El kilo de café meclado cuesta 50 pts. Cuántos kilos de café de cada clase ha meclado? 9. En la bolsa A en la bolsa B ha un total de 80 bolas. Si pasamos 0 bolas da la bolsa B a la bolsa A, el número de bolas de la bolsa A es veces el número de bolas de la bolsa B. Cuántas bolas ha en cada bolsa? 0. En un avión van 9 personas entre hombres mujeres. El número de mujeres es /5 del número de hombres. Cuántos hombres mujeres van en el avión?. La suma de dos números es igual a 5. La quinta parte del maor es igual a la cuarta parte del menor. Cuáles son esos números?

17 Colegio Vicaa. Un padre tiene el triple de la edad que su hija. Si el padre tuviera 0 años menos la hija tuviera 8 años más, los dos tendrían la misma edad. Cuál es la edad de la hija cuál la del padre?. La superficie de un triángulo equilátero es de 50m. Calcula el lado.. En una clase ha 5 alumnos entre chicos chicas. Practican natación el % de los chicos el 60% de las chicas. Si el número total de alumnos que practican natación es igual a 0, cuántos chicos cuántas chicas ha en la clase? 5. La base de un rectángulo es / de su altura su perímetro es igual a 8cm. Cuál es el área del rectángulo? 6. En un camping ha 0 vehículos entre coches motos. Si se van 0 coches, el número de coches el número de motos es igual. Cuántos coches motos ha en el camping? 7. Un inversor, que tiene 8.000, coloca parte de su capital en un banco al 8% el resto en otro banco al 6%. Si la primera parte le produce anualmente 00 más que la segunda, cuánto coloco en cada banco? 8. Un país compra barriles de petróleo a tres suministradores distintos que lo venden a 8, 7 dólares el barril, respectivamente. La factura total asciende a 6 millones de dólares. Si del primer suministrador recibe el 0% del total del petróleo comprado, qué cantidad ha comprado a cada suministrador? 9. Un granjero espera obtener 6 por la venta de huevos. En el camino al mercado se le rompen cuatro docenas. Para obtener el mismo beneficio, aumenta en 0 5 el precio de la docena. Cuántas docenas tenía al principio? 0. Pepe Olga hacen un trabajo en tres horas. Si Pepe lo hiciera solo, tardaría horas. Cuánto tiempo tardaría Olga en hacerlo sola?

18 Colegio Vicaa CUESTIONES. Qué condición ha de cumplir una ecuación de º grado para que una de sus raíces sea 0? Pon un ejemplo.. Tiene soluciones reales una ecuación de º grado cuos coeficientes sean todos iguales? Pon un ejemplo.. Un alumno dice que toda ecuación de º grado cuo término independiente es negativo tiene raíces reales. es cierto?. Si dos números son iguales, sus cuadrados también lo son, es cierto el recíproco? 5. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, puede tener eactamente dos soluciones? Pon un ejemplo. 6. Determina para qué valores de b la ecuación b 9 0 tiene: a) Una solución. b) Dos soluciones. 7. Qué valor ha de tomar k para que la ecuación 6 k 0 tenga una solución? 8. Escribe una ecuación que tenga por soluciones. 9. Para qué valores de k tiene solución la ecuación k 0?