TEMA 3.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 TEMA. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. INTRODUCCIÓN Una ecuación lineal es una epresión del tipo: a a a... a b n n Por ejemplo: Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales: Donde las i son las incógnitas, las aij los coeficientes de las incógnitas las b j los términos independientes. El sistema anterior tiene m ecuaciones n incógnitas. Por ejemplo: 4 5 Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de valores que cumplen a la ve todas las ecuaciones del sistema. Así, una solución del sistema es (,) (, ) (Es fácil resolver por cualquiera de los 0 métodos conocidos) Dos sistemas se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Así, los sistemas (,) son equivalentes puesto que ambos tienen como solución Ejercicios:. Resolver los siguientes sistemas usando alternativamente los métodos conocidos de reducción, sustitución e igualación:

2 a) d) g) b) 0 ( ) e) 5 9 h) 4 c) f) i) 5 4 ( ) 5. Dentro de años la edad de una persona será el triple de la otra, dentro de 4 años sólo será el doble. Cuál es la edad de cada una?. Un comerciante quiere gratificar a sus empleados para ello reparte cierta cantidad de dinero. Si a cada uno da 00 euros le sobran 00; pero si da 50 euros le faltan 00. Cuál era la cantidad cuál el número de empleados? 4. Al comenar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 0 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. Cuántas cuestiones respondió correctamente? 5. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 5 que si al primero lo divides entre al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en. 6. Juan Roberto comentan: Juan: "Si o te tomo monedas, tendré tantas como tú" Roberto: "Sí, pero si o te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú". Cuántas monedas tienen cada uno?. CLASIFICACIÓN DE UN S.E.L. Según su número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en: Los ejemplos anteriores son sistemas Compatibles Determinados pues tienen una única solución.

3 El sistema es un sistema Compatible Indeterminado pues tiene infinitas soluciones (ha 4 infinitas parejas de números que sumen ) como se puede comprobar al resolverlo. El sistema es un sistema Incompatible a que no tiene solución (es imposible que dos números sumen a la ve sumen ) Discutir un sistema es averiguar si tiene o no tiene solución, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.. SISTEMAS ESCALONADOS Un sistema escalonado o triangular es un sistema de ecuaciones lineales del tipo: 7 Por ejemplo: 6 La ventaja de estos sistemas es que son mu fáciles de resolver. En el ejemplo anterior, despejando de la última ecuación sale, de la segunda sale de la tercera ecuación sale. 4. MÉTODO DE GAUSS DE RESOLUCIÓN DE S.E.L. (REDUCCIÓN) El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales (también llamado método de reducción) consiste en transformar un sistema en otro escalonado que sea equivalente a él (es decir, tenga las mismas soluciones). Nota: al usar este método usaremos la matri asociada al sistema para facilitar las operaciones. Para convertir un sistema en otro ha operaciones válidas que no cambian las soluciones del sistema

4 Transformaciones Válidas: a) Intercambiar entre sí las ecuaciones del sistema b) Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de 0 c) Sustituir una ecuación por el resultado de multiplicar otra ecuación por un número sumársela Ejemplo : Discutir resolver el sistema: Solución: Queremos transformar el sistema en uno escalonado equivalente, para ello debemos eliminar las variables de la segunda tercera ecuación, la variable de la tercera: E E E E 6 E E Ya hemos conseguido un sistema escalonado, que es fácil resolver puesto que de la tercera ecuación se obtiene, sustituendo en la segunda obtenemos, por último si sustituimos en la primera tenemos. Se trata pues de un Sistema Compatible Determinado cua solución es (,,) Nota: es importante seguir un orden al eliminar incógnitas. Primero eliminamos las de la segunda tercera ecuación, basándonos en la de la primera. Para eliminar la de la tercera ecuación nos basamos en la de la segunda, pues si no volverían a aparecer incógnitas que antes habíamos eliminado A veces ha que multiplicar dos ecuaciones por diferentes números para conseguir eliminar una incógnita. Veamos un ejemplo: Ejemplo : Resolver el sistema 0 4 Solución: Como no se puede simplificar ninguna ecuación, para eliminar la de la segunda ecuación tendremos que multiplicar la primera ecuación por la segunda por : 4

5 E E E E 8E E Sustituendo en la segunda ecuación se obtiene, sustituendo en la primera obtenemos Luego es un Sistema Compatible Determinado de solución,, Ejemplo : Discutir resolver el sistema Solución: 4 4 E E E E Como vemos la última ecuación no tiene sentido, por tanto se trata de un Sistema Incompatible Ejemplo 4: Discutir resolver el sistema Solución: 5

6 E E E E E E En este caso se ha ido una ecuación, lo que significa que el sistema realmente tiene dos ecuaciones tres incógnitas. Por tanto se trata de un Sistema Compatible Indeterminado. Para resolver este tipo de sistemas tratamos a una de las tres incógnitas como si fuese un número (le llamamos, por ejemplo, ), despejamos las restantes incógnitas: Y las infinitas soluciones que tiene el sistema se epresan de la forma: 5 7,, Dándole distintos valores a, podríamos obtener las infinitas soluciones del sistema. Por ejemplo, si, una solución sería (,5,), si 0, otra solución sería ( 5,,0), si, otra solución sería (,,), Ejercicios:. Discute resuelve los siguientes sistemas: a) 9 b) c) d) 4 e) f) 5 7 g) 4 h) 5 9 i)

7 . En una reunión ha 60 personas entre altas, medianas bajas. Se sabe que las bajas medianas duplican el número de altas. También se sabe que las altas el doble de las medianas son el doble de las bajas. Cuál es el número de personas altas, medianas bajas?. Dos kilos de naranjas más un kilo de plátanos más dos kilos de mangos, valen euros. Dos kilos de naranjas más dos kilos de plátanos más tres kilos de mangos, valen 8 euros. Tres kilos de naranjas más un kilo de plátanos, más dos kilos de mangos, valen euros. Cuánto vale un kilo de naranjas? Cuánto vale un kilo de plátanos? Cuánto vale un kilo de mangos? 4. En una heladería, por una copa de la casa, dos horchatas cuatro batidos, le cobran 5 euros un día. Otro día, por cuatro copas de la casa cuatro horchatas, le cobran 0 euros, un tercer día, le piden euros por una horchata cuatro batidos. Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días le han presentado una cuenta incorrecta? 5. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Son sistemas en los que aparecen ecuaciones que no son lineales, es decir, en las que aparecen operaciones diferentes a la suma, resta o multiplicación de las incógnitas por números: multiplicaciones entre las incógnitas, potencias, fracciones, Por ejemplo: 8 0 Veremos sólo sistemas no lineales con dos incógnitas. Estos sistemas se resuelven habitualmente por sustitución, si bien los métodos de reducción e igualación también son válidos. En el ejemplo anterior, si despejamos de la segunda ecuación sustituimos en la primera: Resolvemos ahora la ecuación de segundo grado obtenida: Cada valor de tendrá su correspondiente valor de : Si 4 8 Si 4 Y por tanto las dos soluciones que tiene este sistema son: 4,8,, 4 7

8 A diferencia de los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas no lineales pueden tener ninguna, una, dos, tres, cuatro, soluciones, dependiendo de la ecuación que se obtenga al hacer sustitución. Veamos otro ejemplo: 0 5 Despejamos : Sustituimos en la primera ecuación: Quitamos denominadores: Resolvemos la ecuación bicuadrada: t 9 t t 5t 44 0 t 6 Si t 9 Si t 6 4 Y sustituendo en tendremos las cuatro soluciones del sistema:,4,, 4, 4,, 4, Ejercicios:. Resuelve los siguientes sistemas: 0 90 a) b) c) d) 6 e) f) g) h) i) 4 4 8

9 . Hallar dos números naturales cua diferencia es 8 cuo producto es 05.. Calcular las dimensiones de un rectángulo de 0 cm de perímetro 54 cm de área 4. Un cuadrado tiene 44 m más de área que otro, éste dos metros menos de lado que el primero. Hallar los lados de los dos cuadrados 5. Descomponer el número 5 en dos sumandos tales que el triple del cuadrado del primero el doble del segundo sumen 55. 9

10 EJERCICIOS. Discute resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas: a) 4 b) 0 c) 4 d) 5 e) g) i) 4 j) f) h) k) 6 0. Resuelve los siguientes sistemas: 9 8 a) b) 5 8 c) 5 7 d) e) f) 4 g)

11 . En un teatro, ha localidades de tres clases, A, B C, cuos precios son 5, 0 0 euros, respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de.000 euros. Si se sabe, además, que de la clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B C juntas, que de la B se vendió el doble que de la C, averigua cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día. 4. En una reunión ha personas, entre hombres, mujeres niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños es igual al doble del número de hombre. a) Con estos datos, se puede saber el número de hombres que ha? b) Si además se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, cuántos hombres, mujeres niños ha? 5. El señor García deja a sus hijos herederos de todo su dinero con las siguientes condiciones: al maor le deja la media de lo que les deja a los otros dos más euros; al mediano, eactamente la media de lo de los otros dos; al pequeño, la media de lo de los otros dos menos euros. Conociendo estas condiciones solamente, pueden los hijos saber cuánto dinero ha heredado cada uno? 6. A la proección a una película asisten 500 personas, de las cuales algunas pagan el precio completo de la entrada que son 9, algunas son jubilados que pagan el 0% de la entrada, algunas son niños que pagan sólo el 50%. Sabiendo que el número de jubilados es el doble del de personas que pagan la entrada completa que en total se han recaudado 5, calcular cuántas personas de cada tipo fueron al cine. 7. Un videoclub está especialiado en películas de tres tipos: infantiles, acción terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las de acción representan el 0% del total de las películas. El 0% de las infantiles más el 60% de las de acción más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas. Ha 00 películas más de acción que de infantiles. Halla el número de películas de cada tipo 8. Una persona ha obtenido de beneficio por invertir un total de en tres empresas A, B C. La suma del dinero invertido en A B fue 5 veces el invertido en C, los beneficios fueron del 5% en A, el 0% en B el 0% en C. Averigua la cantidad invertida en cada empresa. 9. Se quiere diseñar una dieta especial a partir de tres ingredientes básicos: El ingrediente A contiene 5 unidades de proteínas, de lípidos 4 de carbohidratos por kilo El ingrediente B contiene 6 unidades de proteínas, de lípidos de carbohidratos por kilo El ingrediente C contiene unidades de proteínas, 6 de lípidos de carbohidratos por kilo Para que la dieta sea equilibrada debe contener 54 unidades de proteínas, 0 de lípidos 40 de carbohidratos. Cuántos kilos se necesitarán de cada ingrediente?

12 0. Halla dos números naturales cua suma es la suma de sus cuadrados 80. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 56 m la hipotenusa 5 m. Hallar los catetos. La suma de dos números naturales es 8, la de sus inversos 8. Calcula dichos números 5. La suma de las áreas de dos cuadrados es 00 dm, su diferencia es 8 dm. Hallar los lados de los cuadrados 4. El perímetro de un rectángulo es 4 cm., su diagonal mide cm. Calcula sus lados. 5. Un padre su hijo se llevan años. La raí cuadrada de la edad que tendrá el padre dentro de cuatro años coincide con la edad que tenía el hijo hace cuatro años. Averigua la edad de cada uno.

13 Soluciones:. a) 0,, ; b),,0 c) S.I.; d) S.C.I.; λ; ; λ; e) ; ; f) 4, 6, 4 g),, h) 0,, 0 i), 4, 6 j) 8λ, 8λ4, k) S.I.. a) (,4), (,) b) (,4), (8,8) c) (,4), (4,) d) (4,), (4,) e) (,) (,) 4 f) (,),, g) (0,6), (,0). 600 de A, 400 de B 00 de C 4. a) No b) hombres, 6 mujeres 4 niños 5. No niños, 00 jubilados 50 personas sin descuento infantiles, 600 de acción 900 de terror en A, en B en C 9. 6 kg de A, 0 de B 8 de C cm cm. 5. El padre años el hijo 0 años