1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO. Infinitas soluciones) Infinitas soluciones)

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1 TEMA 2.- SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS La ecuación 2x 3 5 tiene un término en x (el término 2x), otro en y (el término -3y) y un término independiente (el 5) Este tipo de ecuaciones se llaman lineales En general, una ecuación lineal con 2 incógnitas es aquella que se puede escribir de la forma ax + b c (a, b son los coeficientes, c es el término independiente) Igualmente hay ecuaciones lineales con 3 incógnitas, por ejemplo x + 2y + z = 0 (aquí los coeficientes serían -1, 2 y 1; el término independiente sería 0) No serían ecuaciones lineales, por ejemplo, x 2 +3x = 5 (pues x está al cuadrado) xy + 3z = -1 (pues x e y están multiplicando) Resolver una ecuación es averiguar el valor de las incógnitas para que se cumpla la igualdad. Hay ecuaciones lineales que no tienen solución. Por ejemplo, 0x Estas ecuaciones se llaman imposibles Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones lineales e indica el nº de soluciones: a) 2x- 3 b) 3x-5y-z = -1 c) 3x+4 0 d) 2x-0y+z = -4 e) 0x+0y+0z = 1 1 Resuelve las siguientes ecuaciones lineales e indica el d) 5x- y+0z = 2 nº de soluciones: a) x- 4-1 ( Solución: x = 4λ 1 λ, λ R ( Solución: x = λ 5λ-2 z = µ λ, µ R, b) 0x+0 1 ( Solución: Ecuación sin solución) e) 2x+3y-4z = c) 3x+4y-z = 9 ( Solución: x = 3 λ + 4 µ + 5 λ z = µ λ, µ R, 2 ( Solución: x = λ µ z = 3λ+4µ-9 λ, µ R 2.- CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales. Por ejemplo, son sistemas de ecuaciones lineales: x + 1 x + 3y 2z = 2 3x x 2y z = 9 5x 2 4 3x 4y + 4z = 0 5x x 3 5x + 4z = 7 Una solución de un sistema es el valor que deben tomar las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones a la vez. No todos los sistemas de ecuaciones tienen solución: Por ejemplo, un sistema de ecuaciones que contiene una ecuación imposible no tiene solución Resolver un sistema de ecuaciones es averiguar sus soluciones o indicar que no tiene solución Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas x + 4 2x + 7 soluciones. Por ejemplo, los sistemas 2x 5 x 2 son equivalentes, pues al resolverlos, los dos tienen la misma solución: x = 3, 1 ( Compruébalo!) Para transformar un sistema en otro equivalente podemos usar las siguientes reglas de equivalencia: 1ª) Cambiar de orden dos ecuaciones 2ª) Multiplicar o dividir una ecuación por un nº distinto de cero 3ª) Sumarle a una ecuación otra ecuación multiplicada por un nº 4ª) Eliminar una ecuación que sea igual o proporcional a otra 5º) Eliminar una ecuación del tipo 0 = 0 (llamada ecuación trivial) Según el número de soluciones, los sistemas se clasifican en: Determin ados (Solución única) Compatibles (Tienen solución) In det er min ados( Incompatibles ( No tienen solución) Nota: Si hay 2 ecuaciones en las que son proporcionales los coeficientes pero no los términos independientes, el sistema es incompatible. 3x Por ejemplo, el sistema 9x es incompatible Ejercicio 2: 2 Transforma los siguientes sistemas usando la regla de equivalencia que se indica y después resuélvelos: z 1 a) x + y z = 4 (Intercambia la 1ª y 2ª ecuación) 3z = 9 x b) 2x + 5 ecuación la 1ª ecuación) 60x + 180y 240z = 60 c) y z = 4 x 2 5 3x x 2 5 x (Multiplica la 1ª ecuación por 2 y súmale a la 2ª proporcionales a otras del sistema) (Divide la 1ª ecuación entre 60) (Elimina aquellas ecuaciones que sean iguales o - 1 -

2 2 Transforma los siguientes sistemas usando la regla de 48x 72y + 24z = 168 c) (Divide la 1ª ecuación entre 24) equivalencia que se indica y después resuélvelos: x + 6 y + 3x = 5 ( Solución: x = λ -λ -6 z = -5λ-11, λ R, infinitas soluciones) a) 2x 5y + z = 6 (Intercambia la 1ª y 2ª ecuación) x = 24 ( Solución: x = -2 1 z = 15 ) 3x x 5 10 (Elimina aquellas ecuaciones que sean iguales o 7x x 2 b) (Multiplica la 2ª ecuación por -3 y 5x x 2 4 súmale a la 1ª ecuación la 2ª ecuación) proporcionales a otras del sistema) ( Solución: x = -1 1/2 ) ( Solución olución: x = λ 3λ -2, λ R, infinitas soluciones) 3.- SISTEMAS ESCALONADOS Los sistemas en los que cada ecuación tiene al menos una incógnita menos que la anterior se llaman sistemas escalonados Los sistemas escalonados, una vez eliminadas las ecuaciones triviales (0 = 0), son muy fáciles de clasificar y resolver: - Incompatible: Si contiene alguna ecuación imposible - Compatible determinado: Si el nº de ecuaciones es igual al nº de incógnitas (sistema cuadrado) - Compatible indeterminado: Si el nº de ecuaciones es menor que el nº de incógnitas Ejercicio 3: 3 Clasifica los siguientes sistemas escalonados y resuelve los que sean compatibles: 2x = 6 2x x 5 7 x + 2y z = 4 a) b) c) x + y + 3z = x + z = 3 5x z = 4 x + y z = 1 e) x = 3 3 Clasifica los siguientes sistemas escalonados y resuelve los 7 14 que sean compatibles: c) 2x y + z = 1 ( Solución: SCD, x = 1-2 z = -3 ) 7x x 11 a) (Solución Solución: SCD, x = ) 6x = x y + 7z = 10 - x 2z = 1 3x 0 b) ( Solución: SI ) 0x = 5 ( Solución: SCI, x = 2λ+1 11λ+12 z = λ, λ R ) x 2y + z = 2 e) (Solución Solución: SCI, x = 0 λ z = 2λ+2, λ R ) x = MÉTODO DE GAUSS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS El método de Gauss consiste en transformar el sistema en un sistema escalonado usando las reglas de equivalencia estudiadas en el apartado 2. Para mayor comodidad en vez de usar las ecuaciones usamos los coeficientes y términos independientes formando lo que se llama la matriz del sistema. x + 3y 2z = 2 Por ejemplo, la matriz del sistema 3x + 4z = 0 es S = Para llegar a un sistema escalonado usamos las reglas de equivalencia con el objeto de conseguir ceros por debajo de los elementos diagonales Las reglas de equivalencia se traducen ahora para la matriz del sistema cambiando la palabra ecuación por fila. Luego en la matriz del sistema podemos: 1) Cambiar de orden 2 filas 2) Multiplicar o dividir 1 fila por un nº distinto de cero 3) Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un nº 4) Eliminar una fila que sea igual o proporcional a otra 5) Eliminar una fila con todo ceros Observaciones: - Si hay 2 filas en las que son proporcionales los coeficientes pero no los términos independientes, entonces el sistema es incompatible Por ejemplo, el sistema x es incompatible 2x Si en una fila todos los coeficientes son cero y el término independiente no lo es, entonces el sistema es incompatible Por ejemplo, el sistema 4x 9 es incompatible 0x

3 Ejercicio 4: 4 Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y clasifícalos x + y - z = 1 a) 2 x + 3 y + z = 3 5 x - y + 2 z = 2 b) - y + z = - 2 x + 2 y + 4 z = 3 2 x + 3 y + 9 z = 1 3 y + 4 z = 1 5 x - 2 y + 6 z = - 7 c) x + 4 d) x + y + 3 z = 2 2 x + 7 y + 12z = 5 2 x + 0 3x + 2y z = 0 x + z = 2 e) x + 3 x y + z = 4 4 Clasifica y resuelve usando el método de Gauss los x + 3 siguientes sistemas: a) 2 x ( Solución: SCI, x = λ -λ+3, λ R ) x 3y + 7z = 10 b) 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11 ( Solución: SCI, x = 2 λ λ 21 7 z = λ, λ R ) 2x y + 15z = 3 c) x 3y 2z = 7 x 8y 21z = 11 ( Solución: SI ) x - y + 3 z = - 4 d) 2 x + y - z = 5 ( Solución: SCD, x = 1 2 z = -1 ) y + 2 z = y + 4 z = 1 3λ + 1 e) x + 4 (Solución Solución: SCI, x = -λ+4 λ z =, λ R) 3 x 4 z = RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS Y LAS MATRICES Ecuación matricial de un sistema Consideremos un sistema de ecuaciones cualquiera, por 2x + 7 ejemplo: x 2 Si tomamos 2 1 A = la matriz de los coeficientes del sistema 1 1 x X = la columna de las incógnitas y 7 b = la columna de términos independientes x 7 y efectuamos. = resultan las ecuaciones del 1 1 y 2 sistema ( Compruébalo!) Abreviadamente podemos escribir A X = b En general, todo sistema de ecuaciones lleva asociada una ecuación matricial AX = b, siendo A = matriz de los coeficientes X = columna de las incógnitas b = columna de términos independientes Resolución de sistemas cuadrados con A 0-1er método (método de la inversa). Partimos de la ecuación matricial A X = b. Multiplicando por A -1 por la izda en los dos miembros: A -1 AX = A -1 b y como A -1 A= I, I X = A -1 b Luego, como I X = X, obtenemos: X = A -1 b Fórmula que nos sirve para resolver el sistema - 2º método (regla de Cramer). Si el sistema tiene 2 incógnitas, x, y, las soluciones son: Ax Ay x = A A A x = matriz que se obtiene al cambiar la columna de los coeficientes de x por la columna de términos independientes A matriz que se obtiene al cambiar la columna de los coeficientes de y por la columna de términos independientes Si el sistema tiene 3 incógnitas, x, y, z, las soluciones son: Ax Ay Az x = z = A A A A x = matriz que se obtiene al cambiar la columna de los coeficientes de x por la columna de términos independientes A matriz que se obtiene al cambiar la columna de los coeficientes de y por la columna de términos independientes A z = matriz que se obtiene al cambiar la columna de los coeficientes de z por la columna de términos independientes Ejercicio 5: Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas por el método de la inversa y por la regla de Cramer: x 2y + z = 0 2x + 7 x 3 0 a) b) c) 2x + 4 x + 2 x x 2z = 5 x + y 2z = 6 x + y + z = 1 x + z = 5 e) y + z = 2 2x 11 x + y + z = 3-3 -

4 5 Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas por el método x + y + z = 6 de la inversa y por la regla de Cramer: c) 2x y + 2z = 3 ( Solución: x = 1 3 z = 2 ) x 3 0 3x + 2y 3z = 3 a) ( Solución: x = 12/5 4/5 ) x x + 3y 2z = 2 x 2y + z = 0 3x 4y + 4z = 10 ( Solución: x = 2 2 z = 3 ) b) 2x + 4 ( Solución: x = 1 2 z = 3 ) x 2z = 5 EJERCICIOS PROPUESTOS PARA SELECTIVIDAD 1 Resuelva el siguiente sistema y clasifíquelo atendiendo al x + y + z = 0 5 Sean las matrices: A = ; B = 2 ; C = 5 ; D = 2 ; E = 5. número de soluciones: 2x + 3y z = x + 5y + z = 17 Calcule los valores de los números reales x, y, z, para que se A la vista del resultado anterior, podemos afirmar que hay una verifique la siguiente igualdad entre matrices: E x A B = y C + z D. ecuación que es combinación lineal de las otras dos? (Propuesto para PAU Andalucía 2005) 2x + 3y z = 4 2 Clasifique y resuelva el sistema: x + 2y + z = 5 (Propuesto para PAU Andalucía 2003) x 2 3 Resuelva y clasifique el sistema y = z x + y z = 2 4 Sea el sistema de ecuaciones: 2x z = 0 2y + z = 4 a) Resuélvalo y clasifíquelo en cuanto a sus soluciones. b) Tiene inversa la matriz de coeficientes del sistema? Justifíquelo. c) Obtenga, si existe, una solución del sistema que verifique x = 2y. (Propuesto para PAU Andalucía 2005) Plantee, sin resolver, un sistema de ecuaciones que dé solución al siguiente problema: Un inversor compró acciones de las empresas A, B y C por un valor total de , invirtiendo en C el doble que en A. Al cabo de un año la empresa A le pagó el 6 % de beneficio, la B el 8 % y la C el 10 %. Si el beneficio total fue de euros, qué dinero invirtió en cada empresa? (Propuesto para PAU Andalucía 2004) El cajero de un banco sólo dispone de billetes de 10, 20 y 50. Hemos sacado 290 del Banco y el cajero nos ha entregado exactamente 8 billetes. El número de billetes de 10 que nos ha dado es el doble del de 20. Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales asociado a este problema para obtener el número de billetes de cada tipo que nos ha entregado el cajero. (SELECTIVIDAD) 6 Clasifique y resuelva el sistema formado por las tres ecuaciones siguientes: 9 Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por un total de Se sabe que cobra 50 x 3y + 2z = 0; 2x + y z = 0; x 8y + 5z = 0 por cada silla, 150 por cada sillón y 200 por cada butaca, y que (Propuesto para PAU Andalucía 2007) el número de butacas es la cuarta parte del número que suman los λ ( Solución: SCI, x = 3 λ z = λ, λ R) demás muebles. Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones 5 5 adecuado que permite calcular cuántos muebles de cada clase ha ---- vendido ese taller. (Propuesto para PAU Andalucía 2007) 7 Resuelva y clasifique, atendiendo al número de soluciones, el x 3 10 Plantee, sin resolver, un sistema de ecuaciones asociado al sistema: y = 2 (Propuesto PAU Andalucía 2005) siguiente problema: z 1 Un monedero contiene 1 euro en monedas de 2, 5 y 10 céntimos; ( Solución: SCD, x = 2-1 z = 0 ) en total hay 22 monedas. Sabiendo que el número de monedas --- de 5 y 10 céntimos juntas excede en 2 unidades al número de x + 1+ z monedas de 2 céntimos, obtenga el número de monedas de cada 8 Resuelva y clasifique el sistema de ecuaciones 2x + z = 2 + y tipo que hay en el monedero. (Propuesto para PAU Andalucía 2004) y = z (Propuesto para PAU Andalucía 2007) 11 Plantee, sin resolver, el sistema de ecuaciones que permita ( Solución: SCI, x = 1 λ z = λ, λ R) encontrar la solución del siguiente problema: En un examen de Matemáticas que constaba de tres problemas, un alumno obtuvo una calificación total de 7,2. La puntuación del primer problema fue un 40 % más que la del segundo, y la del tercero fue el doble de la suma de las puntuaciones del primero y el segundo. Cuál fue la puntuación de cada problema? - 4 -

5 - 5 -