Ecuaciones lineales con tres incógnitas y ecuaciones no lineales

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1 Ecuaciones lineales con tres incógnitas y ecuaciones no lineales I. Ecuaciones lineales con tres incógnitas Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas necesitamos tres ecuaciones de primer grado para encontrar tres incógnitas. Existen diversos métodos para resolver sistemas lineales desarrollando en esta ficha el Método de Eliminación de Gauss o comúnmente llamado Método de Gauss, veamos este con un ejemplo explicativo, sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Note que son tres ecuaciones de primer grado para encontrar tres incógnitas (x, y, z). Primero trataremos siempre de ordenar y manipular nuestro sistema de manera tal de tener en el primer término de la primera ecuación () un coeficiente igual a 1, lo que en nuestro ejemplo ya sucede. Note que en el caso que no tengamos un 1 en el primer termino de nuestro sistema, podemos pasar la tercera ecuación () a la primera () 1

2 Note que en el caso que no tengamos un 1 en el primer término de nuestro sistema, podríamos dividir por 2 la segunda ecuación () y pasarla al lugar de la primera ecuación (). x y 1 2 z = 1 Como habrá observado solo cambiamos la posición de las ecuaciones y manipulamos para facilitar la resolución del sistema. Luego, manipulando de manera similar buscaremos obtener un sistema escalonado, veamos a que se refiere esto. Tomemos nuestro sistema original Sumaremos o restaremos las ecuaciones de manera tal de obtener en la última ecuación () el valor de una de las incógnitas, eliminando primero una de las incógnitas de dos ecuaciones y de su resultado manipular nuevamente para obtener en la última ecuación () el valor de una incógnita, veamos cómo realizar esto. Eliminemos la x de las ecuaciones () y () Realizamos: () + ( 2 ) = ( ) 2x 2y + 2z = 6 2 Realizamos: () + ( ) = ( ) 2

3 x y + z = 3 +y + 2z = 0 Note que eliminamos la variable x de la segunda y tercera ecuación, ahora tenemos un subsistema de dos ecuaciones lineales para dos incógnitas, realizamos el mismo procedimiento para eliminar la variable dejando solamente la z, obteniendo un sistema escalonado. Realizamos: ( ) + ( ) = ( ) +y + 2z = 0 y z = 4 +y + 2z = 0 + z = 4 Como podrá notar nuestro sistema quedo ordenado de manera escalonada, la primera ecuación tres incógnitas, la segunda dos incógnitas y la tercera una solamente y que resuelve el valor de z (z=4). Reemplazando en la segunda ecuación ( ) el valor de z obtenemos el valor de y. +y + 4 = 4 y = 8 Reemplazando en la primera ecuación los valores obtenidos de z e y obtenemos la x. x 8 4 = 3 x = x = 15 x = 15 y = 8 z = 4 3

4 II. Ecuaciones no lineales Ya hemos visto un tipo de sistema de ecuaciones lineales, en particular con tres incógnitas y su solución mediante el método de Gauss. Ahora veremos un sistema de ecuaciones NO lineales. Un sistema de ecuación no lineal es aquel donde una de ecuaciones no es de primer grado. Su forma de solución es mediante la sustitución y el empleo de las herramientas vistas en guías anteriores, veamos un ejemplo. x 2 + y 2 = 16 x + y = 2 Como podemos observar tenemos una ecuación de segundo grado y otra de primer grado, lo más fácil es despejar en la segunda ecuación () una incógnita y luego sustituir en la primera (). x = 2 y 2 y 2 + y 2 = 16 Expandiendo la ecuación tenemos 4 4y + y 2 + y 2 = 16 2y 2 4y 12 = 0 Como podrá notar llegamos a una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sabemos obtener, estas son: y 1 = y 2 = 1 7 Reemplazando en () obtenemos x 1 = 7 1 x 2 =

5 Test 1.- Resuelva el siguiente sistema indicando 6.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineal a) 3, 1, 2 b) 3, 1, 5 c) 3, 2, 5 d) 3, 1. 4 x + y z = 1 2x + y + z = 0 3x + 2y 2z = 1 a) x 1 =3 y 1 =4 / x 2 =4 y 2 =3 b) x 1 =2 y 1 =4 / x 2 =4 y 2 =3 c) x 1 =3 y 1 =4 / x 2 =2 y 2 =3 d) x 1 =3 y 1 =2 / x 2 =4 y 2 =3 2.- Resuelva el siguiente sistema indicando Resuelva el siguiente sistema de a) -4, 6, -1 b) -4, -6, 1 c) 4, 6, 1 d) -4, 6, 1 3x + 2y + z = 1 x + y z = 1 5x + 3y + 4z = 2 ecuaciones lineal a) x 1 =3 y 1 = 4 / x 2 =4 y 2 =3 b) x 1 =3 y 1 =4 / x 2 =3 y 2 =4 c) x 1 =4 y 1 =3 / x 2 =3 y 2 =4 d) x 1 =3 y 1 =2 / x 2 =4 y 2 = Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineal a) x 1 =12 y=5 / x 2 =5 y 2 =12 b) x 1 =5 y 1 =12 / x 2 =12 y 2 =5 c) x 1 =5 y 1 =12 / x 2 =5 y 2 =12 d) x 1 =5 y 1 =12 / x 2 =12 y 2 = 5 5

6 3.- Resuelva el siguiente sistema indicando a) 1,-1,1 b) 1, 1, 1 c) 1, 1, -1 d) -1, 1, -1 2x + 3y + 4z = 9 5x 3 y z = 1 x + 4y 6z = Calcule el número si sabe que la suma de sus dos cifras es 10 y al invertir el orden de dichas cifras el número obtenido es 36 unidades mayor que el primero. a) 10 b) 24 c) 37 d) Resuelva el siguiente sistema indicando a) 1, 2, -3 b) 1, -2, 3 c) 1, 2, 3 d) -1, 2, 3 4x + 3y 3z = 1 3x + 2y z = 4 2x y + 2z = El perimetro de un rectangulo es de 22 cm, sabiendo que su base es 5cm mas larga que su altura, encuentre las dimensiones del rectangulo a través de un sistema de ecuaciones lineales. a) Base = 8cm, Altura=3cm b) Base = 5cm, Altura=3cm c) Base = 4cm, Altura=3cm d) Base = 9cm, Altura=3cm 5.- Resuelva el siguiente sistema indicando x + y + z = 2 3x 2y z = 4 2x + y + 2z = 2 a) 1, -2, 3 b) 1, 2, -3 c) -1, 2, 3 d) -1, -2, -3 6

7 Respuestas 1 (b) / 2 (d) / 3 (b) / 4 (c) / 5 (a) / 6 (a) / 7 (c) / 8 (b) / 9 (c) / 10 (a) 7