Logaritmos I. Introducción. Definición. Identidad fundamental

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1 l o g Logaritmos I Introducción Definición En la época de los grandes descubrimientos, las operaciones aritméticas fueron clasificadas en tres especies: la primera especie la conformaban las operaciones de adición y sustracción; las de segunda especie eran la multiplicación y división; la potenciación y radicación eran de tercera especie. Resolver un problema de cálculo aritmético consistía en transformar uno de segunda o tercera especie en una especie inferior (primera especie) de manera que sea más sencilla. Entonces el gran problema era hallar un proceso que permitiese transformar las operaciones de potenciación radicación, multiplicación y división en una división o sustracción y así que el matemático y teólogo escocés John Napier (0-67) publicó la primera tabla de logaritmos en el año 64. Posteriormente, trabajando en forma independiente, el suizo Jose Bürgi ( - 6), fabricante Se denomina logaritmo de un número real positivo al eponente a que se debe elevar una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesto, es decir: b N = b = N donde: - : logaritmo IR - b: base (b > 0; b ) - N: número al cual se le toma logaritmo (N > 0) Ejemplos: - log = ; porque: = - log = ; porque: = de instrumentos astronómicos matemático e inventor, - log 9 = -; porque: / publica su tabla de logaritmos en 60. = 9 Una tabla de logaritmos consta de dos columnas de números. A cada elemento de la columna de la izquierda le - log = 0; porque: 0 = corresponde su logaritmo que es el número ubicado a su derecha. Identidad fundamental Si bien es cierto que realizar la tabla de logaritmos no ha sido sencillo, gracias a ella podemos multiplicar dos números sumando logaritmos, dividir dos números restando logaritmos, hallar una potencia multiplicando la base por el índice; es por ello que los logaritmos fueron indispensables durante tres siglos en el cálculo aritmético, el cual actualmente ha sido sustituido por las máquinas electrónicas, sin embargo siguen ejerciendo un papel importante en el campo de las ciencias químicas, físicas, economía, estadística, etc. A lo largo de la historia se han establecido muchas tablas de logaritmos, pero la más usual es la de los logaritmos decimales, la cual fue elaborada por el matemático inglés Henry Brigss (6-6) en colaboración con Napier. Actualmente los logaritmos se utilizan para trabajar cantidades sumamente elevadas, reduciéndolas a escalas más pequeñas, donde se pueden trabajar cómodamente, utilizando lo que se conoce como papel logarítmico. De la definición, se desprende que: Ejemplos: - log = - 7 log 7 = Efectuar: b log b N = N N > 0; b > 0; b - 4 log + 7 log 4 4 log + 7 log 4 = ( ) log + ( ) log 4 = ( log ) + ( log 4 ) = () + (4) = 89 A continuación vamos a ver las propiedades de los logaritmos que cumplen para cualquier sistema de logaritmos.

2 Propiedades generales de los logaritmos. log b = 0 log = 0. log b b = log 7 7 =. log ab = log a + log b log () log ()() log + log. El logaritmo de qué número en base es 8. log N = 8 ( ) = N 8. 8 = N N = Calcular el logaritmo de 64 en base log a/b = log a - log b log /9 log - log 9. log b n = nlog b log 00 Cologaritmo 00log 00 Se define como cologaritmo de un número al logaritmo del inverso multiplicativo de dicho número, es decir: log 64 = ( ) = 64 / = 6 = 6 = 8 4. El logaritmo de en base es 0,. Hallar. log = colog 0 b N = log b N /0 = = ( ) 0 = 0. 0 = = 48 8 Antilogaritmo antilogaritmo b N = b N. Hallar en: log 6 = 4 Nota: log b (antilog b N) = N; antilog b (log b N) = N Cambio de base: log a log b a = log b Regla de la cadena: log b a.log c b.log d c = log d a 4 = 6 = 4 6 = = 8 Problemas para la clase. Calcular el valor de las siguientes epresiones: * log 4 6 * log 8 Problemas resueltos. Calcular el valor de las siguientes epresiones: - log 8 = = 8 = 4 * log * log 4 * log - 8 log 8 a = a; (identidad fundamental) * log 0, - log 4 () = log 4 + log 4 ; ( > 0) 9 - log = log - log 4. El logaritmo en base / del número /79 es: 4 - antilog a) b) 6 c) 9 4 = 4 = 6 d) e) 8 7 4

3 . Calcular el valor de: J = log log l og log a) b) c) 4 d) e) N.A. d) e) Efectuar: log 4 log 40 log 7 4. Si: L = log [log (log 6)] Hallar: L - a) b) c) a) log b) d) e) 0.Reducir: c) log d) 0 e) log log 0 log 6. Simplificar la epresión: 7 0 a) b) c) 0 G log - log log d) - e) a) b) 0 c) -.Calcular: d) e) - J = log 7 6. Calcular: M = log 7 log 7 log log log 4 log - log 0 a) b) c) - d) 8 e) 0 a) 4 b) c) d) e) 0.Calcular el valor de: R = log.log + log.log - log 0.log 0 7. Si: A log.log 0 B log 8.log a) - b) - c) - d) e) 0.Calcular: lne + lne + lne lne + Hallar: B - A a) b) a) 0 b) c) ( ) d) e) 4 c) d) 8. Calcular: ( - ) e) - 9 log 0,6 log log 0, 4 4.Si: a b = (log a). (log b) Hallar: 9 ( ) ( ) a) 6 b) - c) 0 a) 7 b) 4 c) d) e) 8

4 .Hallar el valor de: J = log b {anti log [log (anti log 4 )]} b b b a) 6 b) 9 c) 7 d) 8 e) 4.Efectuar: a) b) 8 c) d) 4 e) 6 log b a 6.Indicar el valor de la epresión: anti log b log a.log a b log 0, 8 log 0,04... a) 8 b) c) 6 d) e) a) d) - 8 b) c).si: {; y; z; w} IR + - {} y además: 8 4 log log 7 y log 9 z e) - log y. log 7 z. log 9 w 6 7. Si: 0 = 8; 0 y =, calcular log 0 6 en términos de e y. Calcular: w a) d) - y - y b) e) y y 4 c) y a) b) 0 c) d) - e) - 8.Calcular: log 0,4 0 log 0, 4.Sean: a, b, c IR - {}, simplificar: 0 log00 0 log00 0 log00 log a bc log b ac log c ab a) 6 d) 6 b) e) a) b) -00 c) 00 - c) d) 00 e) -.Calcular: antilog (log (antilog 4 (co log 6 8))) 9.Reducir la epresión: log a) b) c) d) 4 e) log log 7 log 7 log 8 a) b) 7 c) Si: log = a ; log = b. Hallar log (,7) en función de a y b. d) 7 6.Hallar el valor de: log e) - 9 {anti log [co log (log 9 (log anti log log 4 ))]} a b a) b) + a - b c) d) - a - b e) a - b -.Simplificar: a b a) 6 b) 8 c) 0 d) e) 4 7. A qué es igual: E = log 8 log log {49 log 7 6 } log a) 4 b) 9 c) 6 d) e) 49

5 8.Siendo: log 4 = a ; log 4 = b Hallar: log 4 49 a) + a - b b) ( + a + b) c) ( - a - b) d) ( - a - b) e) a - b + 9.Indicar V o F según corresponda: I. log (y) = log + log y / y > 0 II. log ( + y ) = log + log y ; c ua n do :. Calcular: 7 log + log - log 74 9 a) b) c) d) e) 4 ; donde:, y IR +.. Calcular: log + log /46 y III. log (-) 4 = 4log - = 4 a) 7 b) c) 4 d) e) a) VFV b) VVF c) VFF d) FVV e) VVV 4. Resolver: a = b 0.Al reducir: co log 4 Se obtiene: a logb log a a) b) c) log log anti log 4 (log,4,96) b log a logb - a) b) - c) b d) e) a d) - e) 0 Autoevaluación. Hallar: log. Hallar, si: log 4 =, a) 4 b) d) 6 e) c) 8 a) b) c) d) e)

6 4 AÑO Logaritmos II He aquí un ingenioso rompecabezas algebraico que nos trajo a los delegados de un congreso físico celebrado en Odesa. Proponen el siguiente problema: Epresar el siguiente número entero y positivo mediante tres números dos y signos matemáticos. Resolviendo la ecuación eponencial: Luego: - = = = - = - - Mostramos en un ejemplo la solución de este problema. - Supongamos que el número raro es el, en este caso el problema se resuelve así:. Hallar n en: log n = log6 - log = -log.log Es fácil convencerse de la veracidad de tal igualdad. En efecto: = [( / ) / ] / = /8 = - logn = log6 - log logn = log n = 4 también: log = - luego: -log - = - Si el número fuera, resolveríamos por los mismos procedimientos: = -log.log - Se tiene presente que siendo la raíz cuadrada, se omite el índice de la misma. La solución general del problema es como sigue, si el número dado es N :. Si: F () = log 0 Hallar: E = F () + F (0,) + F (0,0) + F (0,00) Con la ley dada: E = log + log 0, + log 0,0 + log 0, E = 0 + (-) + (-) + (-) E = Resolver: log 6.log.log = log N = -log log... Regla de la cadena en el primer miembro: "N" veces # de radicales = # de unidades del número dado log 6.log.log log 6 Luego: Problemas resueltos log 6 = log log 6 = log. Calcular el logaritmo de 4/9 en base /8. log 6 = 6 = = log = 7 4 = 8 9. Hallar el valor de sabiendo que se cumple la siguiente igualdad: log k.log k =

7 Regla de la cadena en el primer miembro: log k.log k = log Luego: log = = = = a) n n b) n n c) d) n n 7. Resolver: e) n n n Problemas para la clase. Calcular el valor de que satisface la igualdad: * log 4 = / * antilog = * log 0,6 = * log =. Determine el valor de a en las siguientes ecuaciones: * a = * a + a+ = 0 * a = 0 * (/) a =. Indique el valor de que cumple: log (log ) = a) b) c) d) e) log 8 log 4 log 6 a) b) - c) -4 d) 6 e) Determinar el valor de en: log + log 4 = a) b) 4 c) d) e) 6 9. Si: Hallar. a) d) 4 log4( + ) + log(4 + ) = b) e) 4 c) 4. Resolver: 0.Calcular a, dada la siguiente igualdad: (log y ) (log y z) (logz { -}) log [ ] log log ( ) log log a) b) c) 4 d) 8 e) 9. Si: log - log - log -... log Hallar n a) 0 b) 0 - c) 000 d) 000 e) Determinar si: log b n n - a) 4 b) c) 6 d) 8 e) 0.Hallar el valor de : log ( - ) + colog ( - ) = n a) b) c) 4 d) 8 e) 6.Calcular el valor de. antilog antilog = 6 a) 0 b) c) d) 4 e) 6.Resolver: - y donde: b log - log y

8 a) - 0 ; b) 0 ; c) ; d) ; 0 e) ; 4.Al resolver: Hallar + y a) b) 4 d) e) 0 y ln ln y c) 4 0.Resolver e indicar el producto de las soluciones de la ecuación: 000 log - 9 a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 0.Calcular en la ecuación: antilog antilog 4 antilog 6 a) b) c) d) e) 7.Si resolvemos el sistema de ecuaciones: e + y = ; e - y = donde: e =, Cuál es el valor de y?.si se cumple: a) ln4 b) ln c) ln + ln d) ln e) ln6 p log q logp log q.si: log yz = -4; calcular el valor de: Hallar: log p q + log q p log y yz log z yz a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 0 6.Luego de resolver: log + ( + 9) = la solución es: a) b) c) d) e) 6 7. Resolver: log - 7log = - e indicar el producto de soluciones. a) 0 b) 0 c) 0 7 d) 0 8 e) 0 8.Resolver: log + log + = 0 e indicar la mayor solución. a) 0 b) 0 - c) 0 d) 0 - e) 9.Resolver: log - log - 6 = 0 e indicar el producto de sus soluciones. a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 4 e) 0 a) b) c) d) 4 e) 4.Hallar en la ecuación: log 0 log 0 a) b) c) d) 4 e).resolver: a) 4 b) 8 c) 6 d) e) 6 log a b log (ab) log log - log 7-6 log 6 log a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 0 6.Resolver: 7. Si: a = logy ; b = y log Reducir: log - log 4 = 8

9 a) b) c) - d) - e) 0. Hallar el logaritmo de 6/8 en base 4/9. a) b) c) - d) 4 e) 8.Resolver:. Resolver: 9 log 9 ( ) = ( + 0) log log y 8 log y 0 7 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 Calcular el mayor valor de: /y a) 0 6 b) 0-6 c) 0 /6 d) 0 -/6 e) 0 / 4. Simplificar: 9.Resolver: log + 4log(log) = 4log(log) log + log + log log a) b) c) 49 d) 4 e) 0.Resolver: a) b) 4 c) d) e) = 40 a) b) 0 c) log. Calcular: antilog 4 + antilog d) e) log 0 a) 4 b) 48 c) 4 d) e) Autoevaluación. Hallar en: log 8 = a) 6 b) c) d) e) 4

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