EJERCICIOS de NÚMERO REAL

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1 EJERCICIOS de NÚMERO REAL º ESO - ACAD Representación y comparación de números. Ordenar de menor a mayor los siguientes números, pasándolos previamente a común denominador a) b) c) 9 8. a) Representar en la recta real los siguientes números racionales 8 9 b) A la vista de lo anterior, ordenarlos de menor a mayor. c) Utilizar la calculadora para comprobar el resultado anterior.. Construir,,,,, 8 y 0 sobre la recta real, utilizando regla y compás, y aplicando el teorema de Pitágoras (se recomienda utilizar, también, papel milimetrado), y comprobar el resultado con la calculadora.. Hallar una fracción comprendida entre las dos siguientes. Comprobar el resultado con la calculadora a) y b) y c) y d) y e) y

2 Clasificación de R 0. Separar los siguientes números en racionales o irracionales, indicando, de la forma más conveniente en cada caso, el porqué Q; I; I; Q; Q; Q; Q; I; Q; Q; Q; I; Q ) π, 0 0,,,000..., Indicar cuál es el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números (N, Z, Q o I); en caso de ser Q o I, razonar el porqué I; I; N; Q; Z; Q; Q; I ) π 0,00-0,, Señalar cuáles de los siguientes números son racionales o irracionales, indicando el porqué a), b) 0, c), d) 0,89... e), f), g) 0, Q; I; Q; I; Q; I; I). Verdadero o falso? Razonar la respuesta F; V; V; V; F; V; V; V; F) a) Todo número real es racional. b) Todo número natural es entero. c) Todo número entero es racional. d) Siempre que multiplicamos dos números racionales obtenemos otro racional. e) Siempre que multiplicamos dos números irracionales obtenemos otro irracional. f) Entre dos números racionales eiste siempre un racional. Q es denso g) " " " reales " " " racional. h) " " " reales " " " real. R es denso i) Dado un número real, podemos establecer su siguiente. Intervalos. Rellenar la siguiente tabla (véase el primer ejemplo) REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA [-,] { IR/ - } - 0

3 - [-,) { IR/ < } - { IR/ <} 8 (0, ) 9-0 (-,) { R/ 0} [/, ) { IR/ -< } { IR/ <} { IR/ } [-,] 8 { IR/ <-} 9-0 (-,-)U(, ) (-,)U(, ) { IR/ } [-,] -

4 . Hallar la U e de los siguientes intervalos, dibujándolos previamente a) A[-,) c) E(0,] e) I[-,-) g) M(,) i) Q(-,) B(,) F(, ) J(,/] N[,9] R(,] b) C(-,] D(,] d) G(-,0] H(-, ) f) K(-,0) L[0, ) h) O[-,-) P(,] j) S[-,) T(0, ) U[,]

5 EJERCICIOS DE FRACCIONES HOJA Resolver las siguientes operaciones con fracciones en línea, simplificando en todo momento los pasos intermedios y el resultado.... /) 0) -) -/) ) /0) /0) /) /) 0) -/).... 9/) -) -8/) /)

6 . 9/0). -/) 8. 8 /) 9. 8 /) 0. -/). /) /). 8 9 /9). 9 0 /). 8 9 /). -/) CURIOSIDAD MATEMÁTICA El matemático italiano Leonardo de Pisa (ª mitad s. XIII), más conocido como Fibonacci, fue el primero en utilizar la notación actual para fracciones, es decir, dos números superpuestos con una barra horizontal entre medias.

7 EJERCICIOS DE FRACCIONES HOJA Resolver las siguientes operaciones con fracciones en línea, simplificando en todo momento los pasos intermedios y el resultado. /). /0). 0 9/0). /). 8-9/80). 8-9 /9). 0 9/0) 8. -/0)

8 9. -9/0) /0) ). 9 9/). /). 9/). 8 /0). 8 /)

9 EJERCICIOS DE FRACCIONES HOJA Operar las siguientes fracciones de términos racionales, simplificando en todo momento los pasos intermedios y el resultado. /). /). /). -9/). /). 9/). -/98) 8. -/0) 9. 9 /)

10 0. -/9). 8/0). 89/). -9/0). 0/) /). 9 /). /)

11 EJERCICIOS DE FRACCIONES HOJA Operar las siguientes fracciones de términos racionales, simplificando en todo momento los pasos intermedios y el resultado /). 9 9 /). -/89) /). 8/)

12 . /). 9/9) 8. ( ) /) /80) /). /) /)

13 /8). 8/) /). - /) /) 8. /)

14 EJERCICIOS DE FRACCIONES HOJA Operar las siguientes fracciones, simplificando en todo momento los pasos intermedios y el resultado. 8 8 /) ). -- /) /) /) /)

15 . /) /) 9. /9)

16 EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO - ACAD RECORDAR a m a a m n m ( a ) a b a n n n a (a b) n a mn a a b mn a n n m n n b n a a 0 - n a b n a - n b a n También es importante saber que algo ( base negativa) par (- ) ( base negativa) impar (- ) par impar (Añade estas fórmulas al formulario que realizarás a lo largo del curso) Potencias de base N. Calcular las siguientes potencias de eponente natural (sin usar calculadora) ( ) (-) 0 (-) (-) - (-) - 9 (-9) 9 (-9) (-) (-) (-) 0 (0,) Potencias de base Z. Calcular, indicando todos los pasos necesarios, las siguientes potencias de eponente entero (sin usar calculadora), dejando el resultado en forma entera o fraccionaria (-) (-) (-) (-) (-) (-)

17 . Calcular, indicando todos los pasos necesarios, las siguientes potencias de base fraccionaria, dejando el resultado en forma fraccionaria , -. Pasar a forma de potencia de base entera lo más simple posible , millón billón trillón millonésima cienmilési m a 0 Operaciones con potencias , ,00 milésima. Pasar a potencia única, lo más simple posible, de base racional y eponente positivo ( ) - (-) (-) (-) (-) (-) ( ) (-) (-)

18 - -. Calcular y simplificar, aplicando en todo momento las propiedades de las potencias (resultado entero o fraccionario) a) - b) (- ) c) - d) (- ) e) - f) - g) - h) - i) - -) j) (- ) -) - -/) k) ( ) - /8) l) ( ) m) ) n) ( ) ) - -/8) o) /) p) ( ) ) - q) ( ) - /) r) ( ) [ ] s) ( ) t) (- ) u) ( ) - /) - [ ] /) - ) v) /) - w) /8) ) /9) y).9/09) - z) 8/) 9

19 CONSEJO «Para dividir dos potencias de la misma base se recomienda restar el mayor menos el menor eponente, dejando la potencia donde estaba el mayor eponente» (De esta forma evitamos eponentes negativos) Ejemplos 9 ( ) ( ). Simplificar, mediante las propiedades de las potencias, dejando el resultado como potencia de eponente positivo y base lo más simple posible (no vale usar calculadora) a) b) c) - - d) 0 e) - f) - 0 g) - h) - i) j) k) (Sol ) (Sol ) m) n) - o) (Sol ) - p) (Sol /) q) - r) (Sol 8 ) (Sol (/) ) 0 s) 9 (Sol / ) l) (Sol ) t) 8 (Sol )

20 8. Calcular, aplicando las propiedades de las potencias, y simplificando en todo momento (resultado entero o fraccionario, salvo que salgan números "elevados", en cuyo caso se puede dejar como potencia) a) /0) b) ) ( /8) c) -900) d) ) ( - Soluc e) 8/) f) a a -a a ) g) ( ) 0 8) h) ) ( ) i) 8 / 0 ) j) ) ( ) ( /) k) - ) l) 8 (Soluc /) m) ( ) 8 /8) n) 9 )

21 o) 9 /0) p) 0 0 / 0 ) q) - -8 (/) ) r) 0 9 / ) s) -9) ( ) t) -9) 9. CONSEJOS PARA OPERAR CON POTENCIAS Para cada una de las siguientes epresiones, indicar si son V o F; en este último caso, señalar cómo sería la epresión correcta a) b) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) g) ( a b) a b h) ( a b) n a n b n i) 0. Calcular, aplicando las propiedades de las potencias, y simplificando en todo momento (resultado entero o fraccionario, salvo que salgan números "elevados", en cuyo caso se puede dejar como potencia)

22 a) b) 0 c) 8 d) 0 8 e) f) ) ) ) ) 9 ) /) 8 08 g) 8 h) ( ) ( ) - 9) ) i) ( ) /) ( ) j) 00 8 ) k) ( ) ( ) / ) l) 8 m) ( ) ( ) n) ( ) 8 9 ( ) ( ) ( ) o) 9/) )

23 ( ) ( ) ( ) p) 8( ) ( ) q) ( a b ) ( ab) ( ) r) ) a Soluc b - s) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 9 ( ) 9/) t) ( y) ( y ) ( y) ( ) ( y) - /y ) u) ( ) ( 8) ( ) [( 9) )] [( ) ] v) ( 0 yz ) ( y z) 8/) y Soluc w) ( ) ( ) [( ) ] 9 ( ) -). Calcular el valor de las siguientes epresiones, aplicando en todo momento las propiedades de las potencias ( no vale calcular el valor de las potencias de eponente elevado!). En la mayor parte de los casos, bastará con sacar como factor común la mayor potencia posible. Véanse los ejemplos a) b) ( ) c) d) e) f) ) 0 ) ) )

24 g) ) h) ( ) (9 ) 8 8 i) 0 j) 0 9 k) 9 9 l) m) n) 9 /) ) /) /) ) /). Calcular, aplicando las propiedades de las potencias, y simplificando en todo momento (resultado entero o fraccionario, salvo que salgan números "elevados", en cuyo caso se puede dejar como potencia) a) 8 8 /) b) ( ) - c) ( ) - (- ) (-) ) /) d) )

25 e) - 9 (- ) ) f) 9 ( ) /) g) ( ) ( ) 0 /8) ( ) ( ) ( ) h) 0 9 ) i) j) (-) - 0 ) /)

26 k) ( ) ( ) /) l) 8 /) m) 0 8 Soluc n) 9 ) o) ( ) ( ) -9/8) p) ( ) ( ) )

27 q) /) r) ( ) ( ) ( ) s) ) ( ) ( 8 ) ( ) t) 8 8 Soluc. OPERACIONES MIXTAS Calcular, aplicando, siempre que sea posible, las propiedades de las potencias, y simplificando en todo momento. Cuando no sea ya posible aplicar las propiedades de las potencias, debido a la eistencia de una suma o resta, pasar la potencia a número y operar a) ( ) ( ) 0 ) CONSECUENCIA Hay que aplicar las propiedades de las potencias siempre que se pueda; cuando ello no sea posible (normalmente porque hay sumas y/o restas) se pasa la potencia a número y se opera.

28 b) [ ] ) ( ) ( ) ( -/9) c) [ ] - ) ( -) d) ) ( -/) e) ( ) [ ] ( ) - /9) f) 9-08/8) g) ( ) )

29 h) ( ) ( ) ) i) 0 ) ( ) j) ( ) - ) ( -/)

30 EJERCICIOS de RADICALES º ESO-ACAD RECORDAR Definición de raíz n-ésima Consecuencia n n n a, y también ( ) n n n a Equivalencia con una potencia de eponente fraccionario Simplificación de radicales/índice común n p m p n m n m m/n Propiedades de las raíces n n n a b ab n a b n n a b n ( ) m n m a a m n a mn a Introducir/etraer factores n n a n a Definición de raíz. Calcular mentalmente, sin usar calculadora , 0,09 0,008 0, Calcular mentalmente, sin usar calculadora , 0,0 0,00-0,. Calcular, aplicando la definición de raíz (no vale con calculadora), indicando el porqué (véase el ejemplo) a) 8 pq ( ) 8 b) 8 c)

31 d) e) 8 f) g) h) 8 i) j) 8 k) l) 0, 0 m) 0, n), o),. Hallar el valor de k en cada caso a) k k8) k b) k) c) k k/) d) k,, k) Potencias de eponente fraccionario. Utilizar la calculadora para hallar, con tres cifras decimales bien aproimadas (véase el er ejemplo) a) 8, 8 b) 9 c) d) 0 e) f) 0 g) h) i) j) 8 k). Hallar con cuatro cifras decimales bien aproimadas, razonando el error cometido.. Calcular las siguientes potencias de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene idéntico resultado (en ambos casos no vale utilizar la calculadora) Pasando a forma de raíz. Reemplazando la base por su descomposición en factores primos. (Véase el er ejemplo) a) / /, o bien ( ) / b) / c) / d) 8 / e) / f) 8 /

32 g) 8 -/ h) -/ Radicales equivalentes. Simplificación de radicales 8. Simplificar los siguientes radicales, y comprobar el resultado con la calculadora cuando proceda (véase el er ejemplo) / a) / b) 8 c) 9 d) 0 e) 8 f) 9 g) 8 8 h) 9 i) 8 j) 0 k) 9 l) a b m) 0 a b n) o) p) 0 8 a q) 8 y z r) ( ) 8 y 9. Decir si los siguientes radicales son equivalentes (y comprobar después con la calculadora) a),,, 8 SÍ) b) 9,, 9, NO) c),, 8, 8 SÍ)

33 0. Reducir los siguientes radicales a índice común y ordenarlos de menor a mayor (y comprobar el resultado con la calculadora) a),, b),, < < Sol ( < < < ) Sol f),, ( Sol ) < < c),, 9 g) y d),, ( Sol < < ) h) y 9 0 y 8 ( Sol -0 < ) 8 i) 0 e),,,, Operaciones con radicales. Multiplicar los siguientes radicales de igual índice, y simplificar cuando sea posible (véase el er ejemplo) a) 8 b) c) 9 d) 8

34 e) f) g) 0 l) m) ( ) h) i) ( Sol ) n) ( ) a a a ( Sol -) j) ( Sol ) k) ( Sol - a ). Multiplicar los siguientes radicales de distinto índice, reduciendo previamente a índice común, y simplificar (véase el er ejemplo) a) 0 b) 8 c) d) 9 e) f) a a g) 8 ( Sol ) 8 ( Sol ) ( Sol ) ( Sol ) 9 ( Sol a ) ( Sol ) h) 8 a 8 ( Sol ) a i) 0 9 ( Sol ). Simplificar, aplicando convenientemente las propiedades de las raíces (véase el er ejemplo) a) b) 8

35 c) d) 8 9 l) m) ( Sol / ) e) f) g) 9 ( Sol /) n) ( Sol -/ ) h) ( Sol ) ( Sol ) i) j) ( Sol /) o) k) ( Sol ). Cómo podríamos comprobar rápidamente que (Sol multiplicando en cruz)? (no vale calculadora). Operar los siguientes radicales de distinto índice, reduciendo previamente a índice común (véase el er ejemplo) 8 a) b) 9 ( Sol ) c) Sol d) 8 ( Sol )

36 e) ( Sol ) f) 9 ( Sol 9 ) g) ( Sol 0 8 ) h) ab ab ( Sol ab ) i) a b c ab c Sol a bc j) a a ( Sol ) a k) ( Sol ) l) 8 8 Sol 8 m) ( Sol ) n) 8 ( Sol ) o) p) ( Sol ) ( Sol ) abc a b c q) a b c ( Sol ab ) c

37 . Simplificar (véanse los dos ejemplos) a a a a a) ( ) / b) ( ab ) c) ( ) ( Sol ab ) ( Sol ) d) ( ) ( ) ( Sol ) e) ( ) ( ) ( Sol ) f) ( ) ( ) ( Sol ) g) ( ) ( ) ( ) Sol h) ( ) ( Sol ) i) 8 j) ( Sol ) k) 8 ( Sol ) l) ( Sol ) m) ( Sol ) n) 8 o) ( ) ( Sol ) 9 ( Sol ) 8 p) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( Sol 0 )

38 q) ( ) r) ( ) ( 8 ) ( ) s) a ( a ) ( a) a ( Sol ) ( Sol ) ( Sol a ) t) ( ) ( ) 8 9 ( Sol 9) u) ( Sol 9 ). Introducir convenientemente factores y simplificar (véase el er ejemplo) a) 8 b) c) ( Sol ) d) e) ( Sol / ) f) g) ( Sol ) h) i) ab c ab Sol ac b j)

39 k) a c a ( Sol ac ) l) ( Sol ) m) n) o) p) ( Sol ) 8 ( Sol ) ( Sol ) ( Sol ) q) ( Sol ) r) ( Sol ) s) ( Sol ) t) 8 ( Sol ) u) ( ) 8 9 v) 8 ( Sol 9) ( Sol ) w) ( ) ( Sol )

40 ) y y ( Sol ) /y y) 000 ( Sol -0 ) z) ( ) a a b a b α) ( ) Sol a 8 b ( Sol ) β) ( ) Sol γ) ab 8ab a b a δ) ( ) a a a ( Sol ab) ( ) ε) Sol a Sol ζ) 8 ( ) Sol

41 8. Realizar las siguientes operaciones de dos formas distintas, y comprobar que se obtiene el mismo resultado Operando, teniendo en cuenta las propiedades de las raíces (Resultado como un único radical). Pasando a potencia de eponente fraccionario, y aplicando a continuación las propiedades de las potencias. a) Sol a b) a a Sol a a a c) a a ( Sol a ) d) ( Sol 8 ) 9. Etraer factores, y simplificar cuando proceda (véase el er ejemplo) a) 8 b) 8 c) 98 d) e) 0 f) g) 8 h) i) 00 j)

42 k) l) 8 m) n) 08 o) ( Sol ) β) 9 a b Sol 8b a b γ) ( Sol ) δ) ε) 8 y p) 80 ( Sol ) Sol y y q) 9 r) 99 s) 0 ( Sol ) ( Sol ) ( Sol ) t) 00 ( Sol ) u) ( Sol ) v) 9 w), ( Sol ) ( Sol,8) ) 9 ( Sol ) y) ( Sol ) z) 8a b ζ) η) ϑ) ι) κ) 9 a λ) 0 ( Sol / ) ( Sol /) a Sol ( Sol / ) ( Sol /) α) 8a b c Sol b a b µ) 8 ( Sol 0 ) ( Sol ab b ) c Sol

43 ν) ( Sol ) 0. Sumar los siguientes radicales, reduciéndolos previamente a radicales semejantes (véase el er ejemplo) a) FACTORIZAMOS RADICANDOS EXTRAEMOS FACTORES SUMAMOS RADICALES SEMEJANTES b) ) c) 8 ) d) - ) e) 9 - ) f) 0 ) g) ( ) 8 8 ) h) ) i) ) j) 8 ) k) 8 - )

44 l) 0 0 ) m) ) n) 0 ) o) 08 ) p) 8 8 ) q) ) r) ) s) 8 8 ) t) 8 ) u) ) v) 0 ) w) 0a 8a a ) ) 00 )

45 y) 9 ) z) 9 8 ) α) 8 8 ) β) 8 9 ) γ) 8 ) δ) ) ε) 8 8 ) ζ) 9 9 ) η) a a a a a )

46 RECORDAR LAS IGUALDADES NOTABLES (A B) A AB B (A B) A AB B (A B)(A B) A B. Calcular, dando el resultado lo más simplificado posible (véanse los ejemplos) a) ( ) b) ( ) 8) ) c) ( ) ( ) 0 80 d) ( ) e) ( ) f) ( ) g) ( )( ) h) ( )( ) ) ) ) ) ) i) ( ) ( ) j) ( )( 8 ) ) k) ( )( ) ) l) ) m) 8 8 ) n) 8 ) o) 90 )

47 p) ( ) q) ( ) r) ( ) s) ( )( ) t) ( ) u) ( ) v) ( ) w) ( ) ) ( )( ) y) ( ) z) ( ) ) 8 0 ) 8 0 ) ) 8 ) 8 ) 0 ) 0 ) ) ) ) α) ( )( ) β) ( ) ) 0 ) γ) ( )( ) ) δ) ( ) - ) ε) 0 ) ζ) ( 8 )( 8 ) η) ( )( ) ) 0)

48 θ) ( )( ) ι) ( )( ) κ) ( 8 )( 8 ) ) ) λ) ( ) ( ) ) ) µ) ( ) ( ) ) ν) ( ) ( ) ξ) ( 8 )( 8 ) ο) ( ) ) 0 ) π) ( )( ) ρ) Racionalización. Racionalizar denominadores, y simplificar (véase el er ejemplo) a) b) )

49 c) ) d) ) e) ) f) ) g) ) h) ) i) ) j) ) 9 k) ) l) 8 ) m) ) n) ) o) )

50 p) ) q) ) r) ) s) ( ) ) t) ( ) ) u) ) v) 8 ) w) ) 9 ) 0 ) y) ) 0 z) )

51 α) 0 ) β) ). Racionalizar denominadores, y simplificar (veáse el er ejemplo) a) b) 9 ) c) 8 8 ) d) 0 ) e) ) f) ) g) 0 9 ) h) 9 ) i) )

52 j) 9 0 ) k) 0 8 ) l) ) m) ) n) ) a a o) a a a ) p) 9 ) q) 9 0 ). Racionalizar denominadores, y simplificar (véase el ejemplo) a) ( )( ) ( )( ) ( ) b) ) c) ( ) )

53 d) ( ) ) e) ) f) ) g) ) h) ) i) ) j) ) k) ) l) ) m) )

54 n) 8 ) o) ) p) ) q) ) r) ) s) 8 8 /) t) ) u) ) v) 8 ) w) ) ) )

55 y) ) z) ) α) ) β) 8 ) γ) ) δ) 9 ( ) 8 ) 9 ε) ) ξ) 8 8 /) η) ) 9 9 θ) )

56 ι) /). V o F? Razonar algebraicamente la respuesta a) / / F) b) / / F) c) V) d) / / F) e) V) f) V) g) ( ) F) h) 9 F)

57 EJERCICIOS de LOGARITMOS Definición de logaritmo l og N a a N (donde a>0, a ) Sistemas de logaritmos más utilizados NOMBRE BASE NOTACIÓN DEFINICIÓN l og N 0 N Logaritmo decimal a0 log l n N e N Logaritmo neperiano ae Ln, ln donde e,88889 se llama cte. de Euler; es un número irracional. Definición de logaritmo. Utilizando la definición, hallar los siguientes logaritmos a) log 9 b) log 8 c) log /9 d) log (-9) e) log f) log 8 g) log h) log i) log j) log 0 0,0 k) log / l) log 0, m) log n) log / o) log 0, p) log q) log 0 r) log / s) log t) log log a) ; b) ; c) -; d) / ; e) /; f) /; g) ; h) /; i) ; j) -; k) -; l) -; m) ; n) -; o) -; p) 0; q) 0; r) -; s) /; t) ). Calcular los logaritmos decimales de los siguientes números (sin calculadora) y comprobar el resultado a) b) c) 0,00 d) / e) 0 8 f) 0 - g) 0 h) a) ; b) ; c) -; d) -; e) 8; f) -; g) ; h) 0) En honor a John Napier (Neper, en latín), matemático inglés (0-) inventor de los logaritmos.

58 . Utilizando la definición de logaritmo, hallar el valor de en cada una de las igualdades siguientes a) log 8 f) log - k) log - p) log 0 u) log 0 b) log /8 g) log 9 l) log /00 00 q) log 0, c) log 00 h) log 8 m) log 0.0 r) log (-) d) log i) ln e n) ln-/ s) log - e) ln j) log o) log / t) log log a) ; b) -; c) ; d) ; e) e ; f) /9; g) ; h) ; i) ; j) ; k) /; l) -; m) 0,; n) e/e; o) /9; p) / ; q) 0,0; r) / ; s) /; t) 0 u) R) Cálculo logarítmico Fórmulas del cálculo logarítmico l og p q l og pl og q p l og l og p- l og q q n l og p nl og p n l og p l og p n (todas son válidas en cualquier base) Casos particulares l og a a l a gao l n e e l n l og a a l og 0 a l n e l n 0. Aplicando las fórmulas anteriores, calcular (y hacer la comprobación) a) log b) log c) log d) loga e) ln e a f) log g) log 9 h) ln e i) log j) log8 k) log 8 l) ln e m) log n) log o) log 8 p) log 9 q) e ln e r) log ( ) s) log t) log u) log 8 v) ln e w) log ) log 0 log y) z) α) 00 log 0 log 9 ln e e β) 0 log 0, γ) δ) ln e e log ε) log/ ζ) η) log ln e e a) -; b) /; c) /; d) -/; e) ; f) -/; g) /; h) -; i) /; j) /; k) /; l) /; m) ; n) -; o) /; p) -/; q) -/; r) / ; s) /; t) /; u) -9/; v) -/; w) -/; ) ; y) -/; z) -/; α) /; β) /; γ) /; δ) -/; ε) -; ζ) -/; η) -/). Volver a hacer el ejercicio, pero esta vez aplicando las fórmulas del cálculo logarítmico.

59 l o g. Epresar en función de log los logaritmos decimales siguientes, y comprobar con la calculadora d) log 0, g) log /0 j) log 0, m) log 0,08 a) log e) log 0, h) log k) log 0,08 b) log 80 n) log log log log f) log 0 i) log / l) log c) log / og l a) log ; b) -log ; c) -log ; d) -log ; e) -log ; f) -log ; g) --log ; h) ; i) -log ; j) -log ; k) -log ; l) ; m) l og ; n) -log ) 8. Epresar en función de ln o ln l n 8 e e l n l n a) b) c) l n d) e l n e e) a) ln ; b) -ln ; c) - ln ; d) l n ; e) l n ; f) f) 9e ln e n l 8 n l ; g) ) g) 9e ln e 9. Epresar en función de log y log los logaritmos siguientes, y comprobar con la calculadora, d) log 9/ g) log j) log 90 m) log a) log e) log h) log, k) log 0, b) log f) log 0 i) log, l) log 0, c) log / og l og l (Sol a) - log ; b) log log ; c) log -log ; d) log -log ; e) ; f) log ; g) log log ; h) - log log ; i) - log log ; j) log ; k) - log ; l) - log log ; m) -/ log log ) 0. Epresar en función de log, log y log los logaritmos siguientes a) log 8 b) log 0,8 c) log 0, d) log, e) log. Calcular a) b) ln ln ln ln e e e e (Sol ) ln ln e (Sol ) c) ln ln ln 9e 8e e (Sol -/9). Justificar las siguientes igualdades l g o l og a) l og 9l og 8 l og b) log (-log ) c) log log -log log 9 log l og 8 log/log e) l og l og (*) f) 9 d) log 0. Sabiendo que log,0,8..., hallar (sin calculadora) a) log, b) log 0,00 c) log

60 l og a l og b. Utilizando las fórmulas del cálculo logarítmico, desarrollar al máimo las epresiones siguientes mnp a) log () l og l n g) qr l) q) log ( 0 ) b) log ( ) l og a m) log ( -y ab c ) / l og r) l og c) h) m mp n y l og r mn n) pq r l g o i) d) ln (a p s) log ( n y m ) ) l g o m n mn o) l og t) pq e) ln (a) l n m j) e l og l g o c p) f) m l n l g o mn u) k) (Sol a) log log ; og l c b) log log ; c) log log - log y; d) ln a ln ; e) ln a ln ; f) ; og l a og l m og l n l n g) log mlog nlog p-log q-log r; h) ; i) r log mr log n-r log p; j) --ln ; k) ; l) ; m) log(y)log(-y); n) n og l m - og l p - r og l q l m n l m n ; o) o l o l m og og ; p) g g m og l og l a og l b og l c og l m og l p q) ; r) ; s) n log m log y; t) log log m log n-log p- log q l n u) ) m l o g. Obtener en las siguientes epresiones l og l og a a) l og b) l n a l n b l n l n a l n b c) l og c l og d So uc l 0 a ( ) a b So uc l ( c d ) b a So uc l a ( ).. Sabiendo que e y, utilizar la calculadora para hallar a) log b) log () c) log d) log (y) e) log y f) y l og g) l og y a l og l og b. a) Hallar a sabiendo que b a9) N l g o b) Si log N, cuánto vale N? Cuánto vale N? -8; N) 8. En qué base se cumple que log a log a? a) 9. V o F? Razonar la respuesta a) log (AB)log A log B b) log (A B )log A log B c) d) l l n l n n l n

61 AB e) l AB l o g o C l ogc g g) Los logaritmos decimales de números < son negativos; en caso contrario, son positivos. f) El logaritmo de un número siempre da como resultado un número irracional.

62 EJERCICIOS de ECUACIONES y SISTEMAS º ESO - ACAD Repaso ecuaciones y sistemas de er grado. Resolver las siguientes ecuaciones de er grado y comprobar la solución a) [-()] -00 -) b) -[-(-)] 9) c) [-(-)]-(-) -/) d) (-)[-(-)] 9) e) (-) -(-)- Se verifica IR, pues es una identidad) f) [-(-)][-(-)] /8) g) -[()]0- -/) h) 8-[(-)] Se trata de una identidad). Resolver las siguientes ecuaciones de er grado con denominadores y comprobar la solución a) 9) 0 b) 9 /9) c) 8 ) d) ( ) ( ) /) e) f) ) ) g) h) i) /9) ) Se trata de una identidad)

63 j) ) k) -0) l) m) n) o) 8 9 ( ) ( ) ( ) 9 /) -) Se trata de una identidad) -8) p) ) q) ( ) () r) s) t) () 0) -/) 8/) ) u) 9 v) -) w) -

64 Repaso ecuaciones de º grado. Resolver las siguientes ecuaciones de º grado completas, y comprobar siempre las soluciones. --80, -). 0 / soluc ). --0, -/). -80 ± ). -0 /, -). 0 -). -0, ) , -) 9. 0 / soluc ) ± ). --0, -/). -0 ). a-a 0 a, -a/). --0 /, -/). --0 ± / ) , ). --0 /, -/) 8. -a-a 0 a, -a/) , -/) , ). 0 / ; ). 0 -/, -). -/0 /, /). 0 ; / ). 9-0, -). -0, -) ,-8,80,8, -) a ab ab b/, b) /, -/). 0 -/, -). 0 -, -). -0, -). 00 -, -8) , -). -80, -). -0, /) 8. -0, ) 9. -0, /) , -). -0, /). -900, /). 0, -). 0, -0,-80, -0) Ejercicios libro ed. Edite pág. a,b; pág. a y. --a0 ± a ). Resolver las siguientes ecuaciones de todo tipo, operando convenientemente en cada caso -para así pasarlas a la forma general de º grado-, y comprobar el resultado. -, -/). () /, -/)

65 . (-), -/). (-) -0, -/). () 8- ± 9 ). (-) -(-)8 8, -). (-) ()(-), -) 8. (-) ()(-)(), ) 9. ( ) ( 0) ±9) 0. ( ) 0 (Soluc 9, -/). /, - ). ( )( ) 0, ). (-)(-)0 /, ). ( )( ) -, ). ( -)(-)()0 ±; ±). (t) (t) (t) (t) t). ( ) , -) ±) -8, -) /) ( )( ) ( ) ( ) -8, ). 8, -). 0 0, -/). 0., -) -/, -) (Sol 0, /, -/). ( ), 9/) 8. (-) 0 ) 9. () 0 -) , 0 ). 0 / soluc ). ( ) ( ) ( )( ), /). -, -). ()( ) ( ), -) 9. ( ) ( ) ( )( ) , -8/) 0) ±) 8. ( ) ±). Resolver las siguientes ecuaciones factorizadas o factorizables y comprobar a) ( -)( )(-)0 ±, ) b) ( -)()(-)0 0, ;, -/) c) ( -)(- -)( )0 ±) g) -0 0, ; -) h) (-)( -8)( )0 (±,, 0, -) i) ()(-)( -)0 -, ) d) - 0 0, ±) j) () (-) () -, 0) e) 0, ; - ) f) ( )( -)(-)0 (Sol 0, ; )

66 . TEORÍA Carlos, un alumno de º de ESO, razona de la siguiente forma en un eamen 0 ( ) etc... Justificar que este razonamiento es incorrecto.. Resolver las siguientes ecuaciones racionales, y comprobar la solución obtenida (NOTA Con un (*) se señalan aquellos apartados en los que resulta crucial efectuar la comprobación). ). ). 8 0; -). -). ±). ; -). -/) 8. (*) -) ( )( ) 9. (Identidad se verifica R) 0. 8; -). ; /). ( ) ; /) ( ). ± ) ± ; -/) ) ; -) ; -8/) ( / soluc. ) 0. (*). ) 0; ). -; -/)... ; -/) ( / soluc. ) ; -). ; -/). 0; -)

67 Ecuaciones bicuadradas. Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas y comprobar las soluciones obtenidas. - 0 ±, ±) ±). 0 / soluc ). - 0 ±, ±). - 0 ±, ± ) ( ) ±, ±) 0; ±) ±) ±). 0 / soluc ) ±, ±) ±/, ±/) ±9). - 0 ±, ±). -80 ± ). -80, -). -0 ±). 0 / soluc ) , ±). -0 ±) 8. ( )( -) 0 ±) 9. ( )(- ) ±) 0. ( )( -)(-) () ±). ( )( -)( )( -)-8 ±, ± ). ( -) ()(-) ±). ( )( -) ±). ()(-) -(-)() - ±, ± ). ()(-)-( -) ±). ( )( ) ( )( ). ( ) - ( )( - ) ( ). ±) ± ) ( ) ( )( ) ±). ( )( ) ( - )( ) (Sol ±) ( )( )(. ) ( ) (±, ± ) ( )( ( - ) ( ). ) (±/, ±) 8 8. ( )( )( ) 8. ( )( )( ) ±/, 0, (±, 9/, 0, ±/, -) ± ) 0 ±, 0) ( )( ) () (Sol ±). ()(-)(-) () ±). 0 ( )( ) ±). ( )( )( 8) 0 -, ± ) Ecuaciones irracionales. Resolver las siguientes ecuaciones irracionales y comprobar la solución. 0 ). ). 9 ( / soluc ). 0 0). 0 8 ). 0 8,8)

68 . 0) 8. ) 9. ) 0. ; ). ; 8). 0). ). 8 ; ). ). ). ) 8. ) 9. 0 /) 0. 9( ) ( ) ( / soluc ). ; /). ). a a a). 0). / soluc ). (/9) ). 9. a 0; a) a 0. a 8 a). ). ). ). ). ). ). ) 8. ; -) 9. ) 0. 8 ). 0 ). /9). ). 8 9). ). ±). -; ) 8. ) 9. ; ) 8. ; /9) 8. Por qué es imprescindible comprobar la validez de las posibles soluciones de una ecuación irracional? Indicar algún ejemplo. 9. Razonar, sin resolverla, por qué la ecuación 0 no puede tener solución.

69 EJERCICIOS de POLINOMIOS º ESO - ACAD. Calcular el valor numérico del polinomio P() para el valor de indicado a) P(), para b) P(), para - c) P(), para d) P()- --, para - a) ; b) 0; c) 8; d) -). En cada caso, hallar k para el valor numérico indicado a) P() --k, siendo P() k -) b) P()- - k9, siendo P(-) k) c) P() k, siendo P(-)8 k -0) d) P() k, siendo P(-)- k0) e) P() 8 k, siendo P(/) k0/) Sumas, restas y productos de polinomios. Sumar convenientemente monomios semejantes a) b) c) y y y d) y y y 8y f) yz yz yz yz g) ab a b ab ab a b h) y y y y e) y y y y y y a) ; b) - ; c) y; d) 0; e) y yy ; f) yz; g) 9 ab - a b ; h) y y). Dados P() - - y Q() - -, hallar P()Q() y P()-Q() a) P()Q() - -) b) P()-Q() -9 -). Dados P() -, Q() - y R() -, hallar a) P()Q()R() -) b) P()-Q()-R() - -) c) P()Q()-R() 0-8 -)

70 . Efectuar los siguientes productos en los que intervienen monomios, dando el resultado simplificado a) ( ) ( Soluc - ) b) Soluc ) ( 0 c) y( z ) d) ab ab( a b) e) ( ) f) ( ) ( ) g) ( ( ( -0 yz Soluc ) ( a b Soluc ) Soluc 0 ) 8 Soluc - 9 ( Soluc 8 - ) -8 8 ) h) ab a a b ab a b ( Soluc a b - a b 8a b a b ). Etraer el máimo factor común posible a) - ( -)) b) y y - y y( yy -)) c) -y-y -0 yz y(--y-0z)) d) - ( -)) e) ab -a b8a b ab(b-a a b )) f) -8 ( -)) g) y - yz9y z y( y-zy z )) h) -(-) (-) (-)()) 8. Efectuar los siguientes productos a) ( --) (8 -) - 8-) b) ( - -) ( - ) ) c) ( - ) ( - -) ) d) (ab a bab) (ab-ab ) a b a b -a b -a b ) e) (- - ) ( -) ) f) ( y -y) (y) y -8y)

71 g) 0 (-y-) (0-) (0-y) y) h) ( -/) () - -/) i) ( //) (-) - /-0/-0) j) ( ) (-/) -) 9. Efectuar las siguientes operaciones combinadas a) ( /) ( -) 8/ - -) b) ( /-) ( ) ( ) ) c) ( -) ( -/) / ) d) -// ( -/-/) ( ) - --) 0. Dados P() -, Q() - y R() -, hallar a) [R()] b) P()-Q()R() c) P()[Q()R()] d) P()Q()R() a) ; b) ; c) d) ) Identidades notables. Desarrollar, aplicando las igualdades notables a) () b) (-) c) () (-) d) () e) (-) f) () (-) g) ( ) h) (-) () i) ( -) j) ( -) ( ) k) ( ) l) ( -) m) (--) n) o) a p) (- ) q) r) s) t) a a u) v) w) ) n) ; o) 9 a - a ; q) ; r) 9 ; s) 9 u) ; v) 9; w) 9 ; ) ; t) ) a - ; 9

72 . Operar y simplificar a) () (-)() b) (-) -()(-) c) ()(-)-() d) (-) -() -()(-) e) -(-)()-(- ) f) (-) -(- -) -(- )( ) Ejercicios libro ed. Edite pág. a) -; b) -; c) --0; d) - -8; e) - -8-; f) ). El matemático griego Pitágoras (siglo VI a.c) conocía las dos siguientes posibles formas de construir un triángulo rectángulo con sus tres lados de longitud entera, llamadas ternas pitagóricas, sin más que dar valores a n IN n - A n n B n n n n n Por su parte, Euclides (s. III a.c.) conocía la siguiente fórmula general, que engloba a las dos anteriores m -n C m n (m,n IN, m>n) mn Finalmente, he aquí otras dos ternas pitagóricas de autor desconocido n D n n E n n n (n IN, impar) Demostrar la veracidad de estas fórmulas. Generar algunos casos concretos.. Demostrar que (a b ) (c d )(ac-bd) (adbc)

73 Cociente de polinomios. Efectuar los siguientes cocientes en los que intervienen monomios, dando el resultado simplificado a) b) 8 ( ) c) d) 8 ( ) e) f) 8 9 g) y ( y ) h) i) y z y 9a b c ab c 9 j) k) l) 8 9 m) 8 n) (-8 yz )(yz ) a(a b) a b o) a b p) y ( y) y j) -; k) -; l) 8 //9/0; m) /-//; n) - ; o) -a ; p) y /) 8. Efectuar los siguientes cocientes, indicando claramente el cociente C() y el resto R(), y comprobar el resultado mediante la regla DdCR. - C() -; R()) C() ; División eacta)

74 C() -; División eacta). - - C(); R()) C() - ; División ea. - C(); R()--). - - C()-; R() --) 8. C(); R() -) C() 8-; R() -) 0. 8 C() - -; R()) C() -; R-). - C(); R() -). - C() - 8 -; R() -). - C(); R() -) C() - ; División eacta). - C(); R() -) C() -; R()-) 8. C(); R() ) C() -; R()--) 0. - C() -; R() ) C() --8; R()-). 9 - C(); R()--) C() -; R()-). - - C() --; R()) C(); R()9 8) C() /; R()8/) C() //; R()//) C() /-/-9/8; R()/8-/) C() /8/9; R()-9/9) C() /-/; R()-//) C() /8/9; R()/9-8/9) C() /-/8; R()/8-/)

75 . C() /-; R()-) C() --/; R()/) C() --/-/; R()-//). - C() ; R()). - - C() /; R()-/) Regla de Ruffini 0. Efectuar las siguientes divisiones mediante la regla de Ruffini, indicando claramente el cociente C() y el resto R(), y comprobar el resultado C() - ; División eacta) C() -; R-) C() 0; R). - C() - 8 -; R-) C() 8; R). -08 C() - 8-; R0). 0 - C()0-00; R-) / C() -/; División eacta) C() -; R-0) 0. - /-0/-0 - C() //; División eacta). - C() -8; R-). - / / 9 Soluc C() - - ; R(). - C() ; R). - - C() ; R). a a C() -aa ; R0). C() ; División eacta). -a -a C() aa ; R0) C() - -8; R)

76 9. - C()-; R) C() - -; División eacta). - C() ; R). - C() ; R). - -/ C() ; División eacta). - C() -; División eacta). - -/ C() ; División eacta). - - C() - -; R) C() ; División eacta) (Ayuda Dividir entre ambos términos) 8. a -a a -a C()a -a ; R) Ejercicios libro ed. Edite pág. ; pág. 9 Teorema del resto RECORDAR TEOREMA DEL RESTO "El resto de la división de P() por -a coincide con el valor numérico P(a)" Ejemplo Al efectuar la división de P() - entre - se obtiene resto cero, como cabía esperar, puesto que P()0 Utilidad El th. del resto permite predecir, sin necesidad de efectuar la división, si se trata de una división eacta.. Comprobar el teorema del resto mediante las primeras divisiones del ejercicio anterior.. Dado P() --, comprobar si es divisible por o por - mediante el teorema del resto. Comprobar a continuación efectuando la división Cuál es el otro factor por el que es divisible? SÍ; NO; -). Determinar, aplicando el teorema del resto, el valor de a para que el resto de la división a sea -; comprobar, a continuación, el resultado obtenido haciendo la división. a-). Averiguar, sin efectuar la división, cuáles de las siguientes divisiones son eactas a) NO) b) - SÍ) c) - - SÍ) d) - - NO). Hallar, de dos formas distintas, el valor de m en cada caso para que las siguientes divisiones sean eactas a) 8 m m-8) b) -0 m - m-)

77 c) m m-) d) m m) e) -m m-) f) - m - m) g) m - m-/) h) - m -0 m) Teorema del factor RECORDAR TEOREMA DEL FACTOR "P() es divisible por -a (o dicho de otra forma, P() contiene el factor -a) si se cumple que P(a)0" Ejemplo Dado P() -, como P()0, podemos asegurar que P() es divisible por - De hecho, puede comprobarse que al factorizarlo se obtiene -(-)() (Nótese que el th. del factor es a la división polinómica lo que los criterios de divisibilidad eran a la división numérica). Comprobar, sin efectuar la división, que 99 es eacta. Al hacer P(-), sale 0). Comprobar que -- es divisible por - sin efectuar la división. Comprobar el resultado obtenido haciendo la división. Por qué otro factor es divisible? P()(-)()) 8. Estudiar si P() - es divisible por y/o por -, sin efectuar la división. Comprobar el resultado obtenido haciendo la división. Por qué otro factor es divisible? divisible por pero no por -) 9. Estudiar si P() - es divisible por - sin efectuar la división (Comprobar el resultado obtenido haciendo la división). Sí es divisible) 0. Sin necesidad de efectuar la división, podemos asegurar que el polinomio P() 0 -- es divisible por -? Por qué?. TEORÍA Razonar, mediante ejemplos, que el teorema del factor viene a ser a la división polinómica lo que los criterios de divisibilidad eran a la división numérica Factorización de polinomios de cualquier grado por Ruffini. Dados los siguientes polinomios cuadráticos se pide i) Obtener sus raíces y comprobarlas. ii) A partir de las raíces anteriores, factorizarlos. iii) Comprobar dicha factorización. a) - b) --8 c) -9 d) -- e) f) -. Dados los siguientes polinomios se pide i) Obtener sus raíces por Ruffini. ii) Comprobar dichas raíces sustituyéndolas en P() iii) Factorizar P() a partir de sus raíces y comprobar dicha factorización a) P() - -,,) b) P() - doble,-) c) P() ,,,) d) P() - -doble,doble) e) P() - - ±,-/,/)

78 . Sabiendo que una de sus raíces es /, factorizar P() - -. Dadas las siguientes ecuaciones polinómicas se pide i) Resolverlas por Ruffini. ii) Comprobar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación. iii) A partir de sus raíces, factorizar el polinomio y comprobar dicha factorización ,,) ,-,) , ±, ) , doble, ) carece de raíces Q) ,,/) ±,±,) ±,±) (También se puede hacer por ecuación bicuadrada) ,-,0,) , ±, -) ) , ± ) ±,) ,,,) ,-,/,/)., ± ) ,-,) doble,) triple) ). Dados los siguientes polinomios, se pide i) Obtener sus raíces reales por Ruffini. ii) Comprobar dichas raíces sustituyéndolas en P() iii) Factorizar P() a partir de sus raíces y comprobar dicha factorización.. P() 8 -,-). P() -9 -,/,/). P() ,). P() - -,,±). P() - -9,). P() - (También se puede hacer por ecuación bicuadrada). P() - - (También se puede hacer por ecuación bicuadrada)

79 8. P() ,) 9. P() - -,-) 0. P() doble,,). P() - - ±,/,/). P() - - 0, ). P() ). P() - - ±). P() carece de raíces ε Q). P() , doble,-). P() - -, -, /, -/) 8. P() ±,- doble) TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA "Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales"

80 IGUALDADES NOTABLES EJERCICIOS (A B) (A B) A A (A B)(A B) A AB B AB B B Desarrollar las siguientes epresiones utilizando la identidad notable correspondiente, y simplificar. Obsérvense los primeros ejemplos. ( ) 0. ( ). ( )( ). ( ) ). ( ) - 9 ). ( )( ) -). ( ) 9) 8. ( ) - 8 ) 9. ( )( ) - ) 0. ( a ) a 8a ). ( a ) a - a ). (a )(a ) a - 9). ( ) 9 ). ( ). ( )( ) 9 - ) -)

81 . ( ) 9 ). ( ) - 0 ) 8. ( )( ) 9 - ) 9. ( b ) b b ) 0. ( b ) b - 0b 9 ). (b )(b ) b -). ( a ) a 0a ). ( a ) a - 0a ). (a )(a ) a - ). ( y ) y 8y ). ( y ) y - y 9 ). (y )(y ) y - 9 ) 8. ( ) 9 ) 9. ( ) 9 - ) 0. ( )( ) 9 - ). ( b ) b 0b ). ( ) - ). ( )( ) - 9 ). Carlos, un alumno de º de ESO, indica lo siguiente en un eamen ( ) Razonar que se trata de un grave error. Cuál sería la epresión correcta?

82 EJERCICIOS de FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO - ACAD. Utilizando identidades notables, desarrollar las siguientes epresiones a) () b) (-) c) ()(-) d) () e) (-) f) () (-) g) (a) h) (a-b) i) (-) j) () (-) k) (-) l) (--) m) ( )( ) n) ( ) o) ( ). a) Razonar por qué (A-B) y (B-A) dan el mismo resultado. b) Ídem con (AB) y (-A-B). Averiguar de qué epresiones notables proceden los siguientes polinomios (Véase el er ejemplo) a) () g) 9- m) 0 s) -9 b) - h) aa n) - t) - c) - i) o) -9 u) - d) 9 j) -a p) a -a e) -8 k) a -b q) - f) - l) - r). Utilizar identidades notables y/o etraer factor común para simplificar las siguientes fracciones algebraicas a) - Soluc f) y y Soluc - y b) Soluc g) Soluc - c) Soluc - h) Soluc - - d) - Soluc i) a a Soluc - a a a e) a a m ma Soluc a m j) a a a a - Soluc a RECORDAR TEOREMA DEL FACTOR "P() es divisible por -a (o dicho de otra forma, P() contiene el factor -a) si se cumple que P(a)0" Ejemplo Dado P() -, como P()0, podemos asegurar que P() es divisible por - De hecho, puede comprobarse que al factorizarlo se obtiene -(-)()

83 . Utilizar el teorema del factor para simplificar, siempre que sea posible, las siguientes fracciones algebraicas (Consejo factorizar, siempre que sea necesario, por Ruffini) a) - Soluc h) ( Soluc irreducible ) b) Soluc - i) Soluc 9 9 c) Soluc j) Soluc d) e) Soluc 9 9 ( Soluc irreducible ) f) - ( Soluc -) g) Soluc k) l) Soluc a a a Soluc a a. Averiguar, factorizando previamente numerador y denominador, si es posible simplificar las siguientes fracciones algebraicas a) b) c) d) e) f) g) - - Soluc - Soluc ( Soluc irreducible) - Soluc - Soluc ( Soluc irreducible) Soluc - - l) m) n) o) p) q) r) - Soluc Soluc - Soluc - Soluc Soluc Soluc - 8 Soluc 8 h) - ( Soluc -) s) - Soluc - - i) j) - Soluc ( Soluc irreducible) t) 9 ( Soluc ) k) - Soluc

84 . Efectuar las siguientes sumas y restas reduciendo previamente a común denominador y dando el resultado simplificado (NOTA Con un * se indican aquellos casos en los que, al final del proceso de sumas y restas de F.A., se obtiene una epresión que se puede simplificar) a) b) c) d) e) f) g) 8 y Soluc - Soluc Soluc - - Soluc Soluc Soluc - Soluc h) i) j) k) l) * m) n) o) p) 8 y y y y y y z y yz y - y q) r) * s) * t) * u) v) a b ab a b a b 8 ( ) ( ) - - * w) - Soluc ) - Sol Soluc - - y) - 9 Soluc Soluc - z) Soluc - - Soluc - - α) - - Soluc - 9 Soluc β) 0 Soluc - 8 Soluc - * γ) Soluc Soluc δ) Soluc ( ) ( ) - - Soluc - ε) - y - y y Soluc - y Soluc z Soluc z a b Soluc a - b Soluc Soluc Soluc - Soluc Soluc 8. Efectuar los siguientes productos y cocientes, dando el resultado simplificado a) b) Soluc - - Soluc - c) Soluc

85 d) e) f) g) m m h) i) b a a a a a j) a a a y 9 z k) Soluc Soluc Soluc - - ( Soluc m ) ( Soluc ) ( Soluc - a a ) ( Soluc y z ) m) A ( B) A B n) o) p) ( Soluc A/B ) a a y y y y q) ( n n) n n r) ( ) ( y ) y y Soluc ( Soluc a - ) ( Soluc y ) ( Soluc - ) ( Soluc ) l) - ( Soluc / )

86 EJERCICIOS de FRACCIONES ALGEBRAICAS º ESO opc. B ALFONSO GONZÁLEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS 0. Demostrar las siguientes epresiones a c a c a a) b d b d b a b a b ( ) ( ) b) a b n c) ( n ) ( n )( n ) ( n ) a c e a a c e d) b d f b b d f Teto bajo licencia Crative Commons se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es)