Resolver ecuaciones racionales y con raíz transformando la ecuación en una lineal o cuadrática. Ecuación Expresiones Variables.

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1 Clase : Ecuaciones lineales, cuadráticas, racionales y con raíz Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Resolver ecuaciones racionales y con raíz transformando la ecuación en una lineal o cuadrática.. Ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones que contienen una o más variables o incógnitas. Ejemplo. Ecuación Epresiones Variables 7+ = 3 7+, 3 5 = 3+ 5, = 0 + 3, = , 5+ + = +, +3 = ++ +3, ++ +y = y +y, y, y +y = 4 +y, 4, y +y +z +y +z = +y, y, y, z y y + = +, Al ser una ecuación la igualdad entre dos epresiones, esta igualdad puede o no ser cierta dependiendo de los valores numéricos que tomen las variables o incógnitas. Por ejemplo, la ecuación 3+ = 5 para = se tiene 3 + = 5, que es una igualdad cierta, mientras que si = se tiene 3 + = 5, que es una igualdad falsa. Los números reales que hacen cierta una ecuación se llaman raíces de la ecuación o soluciones de la ecuación. El conjunto de todas las raíces de la ecuación se denomina conjunto solución.

2 Ejemplo.. La ecuación +3 = tiene por conjunto solución S = { }.. La ecuación = tiene por conjunto solución S = {,}. 3. La ecuación + = tiene por conjunto solución S =, conjunto vacío. Este es un caso de ecuación que no admite raíces reales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si poseen el mismo conjunto solución. Ejemplo.. Las ecuaciones +3 = y + = 0 son equivalentes ya que ambas tienen conjunto solución S = { }.. Las ecuaciones 4 = 0 y = 4 son equivalentes ya que ambas tienen conjunto solución S = {, }. 3. Las ecuaciones = y = + + son equivalentes ya que ambas tienen conjunto solución S = {0}. Para resolver una ecuación, tratamos de hallar una ecuación equivalente más sencilla. Las siguientes propiedades para el signo igualdad nos ayudarán a determinar estas ecuaciones equivalentes. Propiedades de la Igualdad. A = B A+C = B +C (Propiedad Aditiva). A = B A C = B C, C 0 (Propiedad Multiplicativa) En las siguientes secciones veremos como las propiedades de la igualdad nos permiten determinar el conjunto solución de una ecuación.

3 .. Ecuaciones de Primer Grado Una ecuación lineal de una variable es una ecuación que sólo involucra sumas y ponderados de una variable a la primera potencia. Este tipo de ecuación es equivalente a una de la forma donde a y b son números reales y es la variable. a+b = 0 Ejemplo. Resolver la ecuación 7 4 = 3+8. Solución. Para resolver este tipo de ecuaciones debemos despejar la incógnita, usando las propiedades de la igualdad. 7 4 = 3+8 Sumar 4 (7 4)+ 4 = (3+8)+ 4 7 = 3+ Simplificar Sumar = (3+)+ 3 Simplificar 4 = Multiplicar por = 4 = 3 Simplificar Simplificar La última ecuación nos dice que es igual a 3. Si ahora verificamos este resultado en la ecuación original tendremos 7 (3) 4 = 7 y 3 (3)+8 = 7 Ejercicio (alumno). Resuelva la ecuación [ (+) 3 ] = Ecuaciones de Segundo Grado Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma donde a, b y c son números reales con a 0. a +b+c = 0 En esta sección presentaremos tres métodos que nos permitirán determinar las raíces de una ecuación cuadrática: factorización, raíz cuadrada y completación de cuadrados. Para el primer método debemos tener presente la siguiente propiedad de los números reales: 3

4 Propiedad del Producto Cero AB = 0 si y sólo si A = 0 o B = 0 Ejemplo.[Factorización] Resolver la ecuación +5 4 = 0. Solucíon = 0 ( 3)(+8) = 0 3 = 0 o +8 = 0 = 3 o = 8 Factorizar Propiedad del Producto Cero Resolver Por lo tanto la ecuación tiene por soluciones = 3 y = 8. Ejercicio (alumno). Resolver, mediante factorización, las siguientes ecuaciones = = 0 Sugerencia. Multiplique ambos lados de la igualdad por a = 4, luego hacer el cambio de variable u = 4 y resolver la ecuación resultante en la variable u. Para el segundo método debemos tener presente el siguiente resultado: Raíz cuadrada La ecuación = c, c 0 tiene por solución = c y = c. Ejemplo.[Raíz Cuadrada]. La ecuación = 3 tiene por solución = 3 y = 3.. Para resolver la ecuación ( ) = 3 se considera como incógnita, vale decir ( ) = 3 Teorema = 3 o = 3 Sumar = + 3 o = 3 Luego, las soluciones a la ecuación son = + 3 y = 3. Este ejemplo se puede también resolver de la siguiente manera: ( ) = 3 Tomar raíz cuadrada = ± 3 Sumar = ± 3 4

5 Finalmente, el tercer método se basa en la siguiente identidad: Completar Cuadrado +b+ ( ) ( b = + b ) Ejemplo.[Completar Cuadrado] Resolvamos la ecuación 6+5 = 0. En este caso b = 6 luego 6+5 = = 4 ( 3) = 4 3 = ± Sumar 3 = 3± Sumar 4 para completar cuadrado Factorizar el binomio Tomar raíz cuadrada ( ) 6 = 9 Luego las soluciones a la ecuación son = y = 5. Ejercicio (alumno). Resolver, mediante completación de cuadrado, la siguiente ecuación de segundo grado 6+ = 0 Recordemos que una ecuación de segundo grado es de la forma a +b+c = 0, a 0 Para resolver esta ecuación es necesario convertirla en una ecuación equivalente, en la cual se pueda completar cuadrado. Dado que a 0 podemos multiplicar por su inverso multiplicativo, vale decir a +b+c = 0 + b a + c a = 0 + b a = c a + b ( ) ( ) b b a + = c a ( + b ) = b 4ac 4a + b = ± b 4ac = b± b 4ac Multiplicar por a Sumar c a Completar cuadrado sumando Factorizar el cuadrado perfecto Tomar raíz cuadrada Sumar b ( ) b Teorema La ecuación cuadrática a +b+c = 0, con a 0, tiene soluciones = b± b 4ac 5

6 Ejemplo.. En la ecuación 5 3 = 0 los coeficientes son a, b y c son luego las soluciones están dadas por a = 5, b = 3 y c =, = ( 3)± ( 3) 4 (5) ( ) (5) Por lo tanto, esta ecuación tiene dos soluciones = En la ecuación = 0 los coeficientes son a, b y c son luego las soluciones están dadas por = 3± 9 0 y = a = 4, b = y c = 9, = ()± () 4 (4) (9) (4) = ±0 8 = 3 Por lo tanto, esta ecuación tiene por única solución = En la ecuación ++ = 0 los coeficientes son a, b y c son luego las soluciones estn dadas por = ()± () 4 () () () a =, b = y c =, = ± 4 = ± Pero no es un número real, por lo tanto la ecuación no tiene solución real. = ± Dada la ecuación de segundo grado se define su discriminante por a +b+c = 0, a 0 = b 4ac Teorema Sea a +b+c = 0, a 0, ecuación de segundo grado.. Si > 0 entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.. Si = 0 entonces la ecuación tiene eactamente una solución real. 3. Si < 0 entonces la ecuación no tiene solución real. 6

7 Ejemplo. Decida, a partir del discriminante, si las siguientes ecuaciones tienen soluciones reales. En caso de tenerlas, determínelas.. +4 = = = 0 Solución. Calculamos el discriminante para cada ecuación,. +4 = 0 = (4) 4 ( ) = 0 > 0 = soluciones reales diferentes = 0 = ( ) = 0 = solución real = 0 = ( ) 4 3 (4) = 4 3 < 0 = no tiene raíces. Ejercicio (alumno). Use el discriminante para determinar los valores de a para que la ecuación 4 ++ = 0 tenga una solución real, dos soluciones reales, no tenga solución real..3. Ecuaciones con epresiones racionales. Resolver la ecuación = = = 35+( ) = 7( ) m.c.m. 7( ) 4+33 = 4 7 Sumar 7 Multiplicar 7( ) 4+40 = 4 Sumar 4 Desarrollar paréntesis y simplificar 40 = 0 Multiplicar por 0 4 = La última ecuación nos dice que es igual a 4. Si ahora verificamos este resultado en la ecuación original tendremos 5 (4) + 7 = Nota: En los siguientes ejercicios no verificaremos los resultados, ya que sabemos que las propiedades de la igualdad generan ecuaciones equivalentes.. Resuelver la ecuación 3 = 8. 3 = 8 3( ) = 8( ) = 0 = 3, 4 Multiplicar por m.c.m. ( )( ) Agrupar a un mismo lado de la igualdad Resolver la cuadrática Por lo tanto, la ecuación racional tiene por soluciones = 4 y = 3. 7

8 Ejercicio (estudiante). Resolver las siguientes ecuaciones, = a b +a a+b a = a3 +b, siendo a y b constantes. a.4. Ecuaciones con eponente racional Ejemplo.[Despejando] Resolver la ecuación = 3+5 Solución. La incógnita está a la potencia /, luego la ecuación es válida para 0. Ocupando las leyes de los eponentes tendremos = 3+5 Ley de los eponentes = 3+5 Despejar ( 3 5 ) = ( 3 5 ) Simplificar = Puesto que 0, la ecuación = tiene por única solución =. Ejemplo.[Elevando al cuadrado] Resolver la ecuación + = + Solución. Esta ecuación tiene las siguientes restricciones para, + > 0 y + 0 > Bajo la restricción > las raíces en la ecuación están bien definidas y podremos multiplicar por + + = + Multiplicar por m.c.m + = + + = (+)(+) = (+)(+) = +3+ Ley de los eponentes Elevar al cuadrado Epander Resuelver = 3 Puesto que = 3 no satisface la condición >, entonces la ecuación no tiene solución. Ejercicio (Desafío para el estudiante). Resolver la ecuación = +3 Importante. Verifique que las raíces encontradas satisfacen la ecuación. Si alguna de ellas no la satisface, justifique por qué a partir del desarrollo que lo llevó a esa solución. 8

9 Nota. Para elevar al cuadrado una ecuación es necesario que ambos lados de la igualdad sean positivos. Por ejemplo, la ecuación = no es equivalente a = La primera ecuacióntiene solución = 0 mientras que la segundatiene solución = 0,. Esto se debe a que la ecuación = es válida para 0, pero no eiste ningún número real positivo que tenga por raíz un número negativo. Con este último análisis es suficiente para concluir que la ecuación = no tiene solución en los reales, sin necesidad de resolverla y comprobar si las soluciones obtenidas son o no válidas. Ejemplo. Sea a un número real fijo. Resolver la ecuación a++ a = Solución. La ecuación está bien definida bajo las siguientes restricciones de la variable, a+ 0 y a 0 y 0 0 a De este modo, la ecuación podría tener solución en los reales únicamente si a 0. Resolvamos ahora la ecuación, a++ a = Elevar al cuadrado (a+)+ a +(a ) = a = a Elevar al cuadrado: a 0 a = +a ( a) = 0 Resolver Esta última ecuación tiene por solución = 0 y = a. Pero = 0 no satisface las condiciones 0 a y a 0 (por tanto tampoco satisface la ecuación original). La única solución a la ecuación es = a (la única que satisface todas las condiciones). Ejercicio (alumno). Resolver la ecuación + = 3. Ejemplo. Resolver la ecuación = Solución. Alternativa. La ecuación está bien definida para 0, luego = y la ecuación original es equivalente a: = Elevar al cuadrado = ( ) = 0 Esta última ecuación tiene por solución = 0 y =. Resolver Alternativa. La ecuación está bien definida para 0, luego = y la ecuación original es equivalente a: = Cambio de variable: u = u = u (u )u = 0 Resolver Esta última ecuación tiene por solución u = 0 y u =, de donde se desprende que = 0 y = = = 0 y = 9

10 Ejercicios. Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando las propiedades de la igualdad a) 5+ [+( )] = 3[ ( 3)] b) 5(8 ) 3(5 3) = 6 (7 ) c) (+3) ( ) = 7 d) (+)(+) = (+6)(+3). Resuelva las siguientes ecuaciones a) ( ) = 4 b) +3 + = + c) = 3 3. Determine todos los valores de k en los reales de modo que la ecuación (k +) 7 k = tenga a = entre sus soluciones. 4. Resuelva las siguientes ecuaciones, sabiendo que es la incógnita a) a = b) a = a + 3 a c) a +b = +b +a 5. Resuelva las siguientes ecuaciones usando el método de completación de cuadrado. a) + 5 = 0 b) = 0 c) = 0 6. Determine las soluciones reales de las siguientes ecuaciones a) ++ = b) 5 +6 = 0 c) + = 3 7. Determine los valores de que satisfacen la ecuación 3(a ) b (b ) a 8. Demuestre que para todo p y q en los reales, la ecuación tiene raíces reales. Determine dichas raíces. = b 6a, a 0, b 0 ab +(p+q)+pq = 0 9. Sea p un número real. Determine todos los números reales que satisfacen la ecuación 0. Determine los valores de a para que la ecuación p (p +)+p = 0 ++a = 0 tenga una solución real, dos soluciones reales, no tenga solución real.. Determine los valores de a para que la ecuación a ++4 = 0 tenga una solución real, dos soluciones reales, no tenga solución real. Referencia bibliográfica Precálculo: Matemáticas para el cálculo, James Stewart 5ed. Precálculo: Matemáticas para el cálculo, James Stewart 6ed. Diapositivas de nivelación, Instituto de Ciencias Básicas UDP, versión 05. 0