Álgebra y trigonometría: Ecuaciones y desigualdades
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- José Carlos Correa Blanco
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1 Álgebra y trigonometría: Ecuaciones y desigualdades CNM-108 Instituto de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Este documento es distribuido bajo una licencia Creative Commons Atribución - No comercial 2.5 Colombia.
2 Contenido 1 Ecuaciones Ecuaciones Ecuaciones algebraicas Soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas 2 Desigualdades Propiedades Ejemplos con desigualdades 3 Referencias
3 Ecuaciones Definición de ecuación Una ecuación (o igualdad) es un enunciado en el cual dos cantidades o expresiones algebraicas son iguales. Ejemplos: Caida de un cuerpo: s = 1 2 gt2 + v 0t Ecuación en y: 3y + 5 = 0 Ecuación en x: 1 x + 1 = x + 2 Ecuación de las lentes: 1 f = 1 p + 1 q Ecuación en z: 3z 2 + z = 1 z Capital más interés: A = P + P rt
4 Ecuaciones Definición de ecuación Una ecuación (o igualdad) es un enunciado en el cual dos cantidades o expresiones algebraicas son iguales. Ejemplos: Caida de un cuerpo: s = 1 2 gt2 + v 0t Ecuación en y: 3y + 5 = 0 Ecuación en x: 1 x + 1 = x + 2 Ecuación de las lentes: 1 f = 1 p + 1 q Ecuación en z: 3z 2 + z = 1 z Capital más interés: A = P + P rt
5 Terminología Terminología Definición Ejemplo Ecuación en x Solución o raíz, de una ecuación en x Resolver una ecuación en x Igualdad que contiene la variable x Un número, digamos b, que al sustituirlo por x nos da una igualdad. Encontrar todas las soluciones de la ecuación x x 2 = 3x + 1 b = 2 es solución de la ecuación: x 2 16 = 10 x Las soluciones de x 2 + = 0, que equivale a resolver (x + 2)(x 1) = 0, son x = 2 y x = 1 Teorema P Q = 0 si, y sólo si P = 0 o Q = 0.
6 Terminología Terminología Definición Ejemplo Ecuación en x Solución o raíz, de una ecuación en x Resolver una ecuación en x Igualdad que contiene la variable x Un número, digamos b, que al sustituirlo por x nos da una igualdad. Encontrar todas las soluciones de la ecuación x x 2 = 3x + 1 b = 2 es solución de la ecuación: x 2 16 = 10 x Las soluciones de x 2 + = 0, que equivale a resolver (x + 2)(x 1) = 0, son x = 2 y x = 1 Teorema P Q = 0 si, y sólo si P = 0 o Q = 0.
7 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0.
8 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0. 2 Cuadrática: 9x 2 8x + 1 = 0.
9 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0. 2 Cuadrática: 9x 2 8x + 1 = 0. 3 Expresión racional: 3 7 = 6 2x + 1 (reducible a lineal)
10 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0. 2 Cuadrática: 9x 2 8x + 1 = 0. 3 Expresión racional: 3 7 = 6 2x + 1 (reducible a lineal) 4 Expresión racional: 4 x 3 = x 9 (reducible a cuadrática)
11 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0. 2 Cuadrática: 9x 2 8x + 1 = 0. 3 Expresión racional: 3 7 = 6 2x + 1 (reducible a lineal) 4 Expresión racional: 4 x 3 = x 9 5 x 3 x 2 + x 1 = 0 (no es lineal ni cuadrática) (reducible a cuadrática)
12 Definición de ecuación algebraica. Una ecuación algebráica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Ejemplos: 1 Lineal: 2x + 5 = 0. 2 Cuadrática: 9x 2 8x + 1 = 0. 3 Expresión racional: 3 7 = 6 2x + 1 (reducible a lineal) 4 Expresión racional: 4 x 3 = x 9 5 x 3 x 2 + x 1 = 0 (no es lineal ni cuadrática) (reducible a cuadrática)
13 Soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas Ecuación lineal: ax + b = 0 con a 0 Solución: x = b a Ecuación cuadrática: ax 2 + bx + c = 0, a 0. 1 Factorización x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0. Soluciones: x = k y x = d. 2 Completación de cuadrados x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = x 2 + bx + ( b 2 ) 2 ( b 2 ) 2+ c = 0 ( x + b 2 ) 2 = ( b 2 ) 2 c. Ejemplo Resolver: 5x + 3 = 25 + x Solución: 5x + 3 = 25 + x 4x = 28 x = 7 Soluciones: x = b 2 ± ( b 2 ) 2 c 3 Fórmula general ax 2 + bx + c = 0. Soluciones: x = b ± b 2 4ac 2a
14 Soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas Ecuación lineal: ax + b = 0 con a 0 Solución: x = b a Ecuación cuadrática: ax 2 + bx + c = 0, a 0. 1 Factorización x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0. Soluciones: x = k y x = d. 2 Completación de cuadrados x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = x 2 + bx + ( b 2 ) 2 ( b 2 ) 2+ c = 0 ( x + b 2 ) 2 = ( b 2 ) 2 c. Ejemplo Resuelva: x 2 + 4x 45 = 0 Solución: x 2 + 4x + 45 = 0 (x 5)(x + 9) = 0. Así: x = 5 y x = 9 Soluciones: x = b 2 ± ( b 2 ) 2 c 3 Fórmula general ax 2 + bx + c = 0. Soluciones: x = b ± b 2 4ac 2a
15 Soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas Ecuación lineal: ax + b = 0 con a 0 Solución: x = b a Ecuación cuadrática: ax 2 + bx + c = 0, a 0. 1 Factorización x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0. Soluciones: x = k y x = d. 2 Completación de cuadrados x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = x 2 + bx + ( b 2 ) 2 ( b 2 ) 2+ c = 0 ( x + b 2 ) 2 = ( b 2 ) 2 c. Ejemplo Resuelva: x 2 8x + 8 = 0 Solución: x 2 8x + ( ) 2 ( ) = (x 4) 2 = 8 x 4 = ±2 2 x = 4 ± 2 2 Soluciones: x = b 2 ± ( b 2 ) 2 c 3 Fórmula general ax 2 + bx + c = 0. Soluciones: x = b ± b 2 4ac 2a
16 Soluciones de ecuaciones lineales y cuadráticas Ecuación lineal: ax + b = 0 con a 0 Solución: x = b a Ecuación cuadrática: ax 2 + bx + c = 0, a 0. 1 Factorización x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = (x + k)(x + d) = 0. Soluciones: x = k y x = d. 2 Completación de cuadrados x 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = x 2 + bx + ( b 2 ) 2 ( b 2 ) 2+ c = 0 ( x + b 2 ) 2 = ( b 2 ) 2 c. Ejemplo Resuelva: Solución: x + 1 3x + 2 = 2x 3 (x + 1)(2x 3)=()(3x + 2) 2x 2 x 3 = 3x 2 4x 4 x 2 3x 1 = 0 x = 3 ± 13 2 Soluciones: x = b 2 ± ( b 2 ) 2 c 3 Fórmula general ax 2 + bx + c = 0. Soluciones: x = b ± b 2 4ac 2a
17 Observación. Para la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 cuya solución viene dada por x = b ± b 2 4ac, el valor b 2 4ac se conoce como 2a discriminante. Si b 2 4ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Si b 2 4ac = 0 la ecuación tiene una única solución real. Si b 2 4ac < 0 la ecuación no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas). Recomendaciones para la solución de problemas Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la cantidad desconocida (o incógnita). Relacione los datos conocidos con la incógnita a través de una ecuación. Resuelva la ecuación y compruebe las soluciones obtenidas.
18 Observación. Para la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0 cuya solución viene dada por x = b ± b 2 4ac, el valor b 2 4ac se conoce como 2a discriminante. Si b 2 4ac > 0 la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Si b 2 4ac = 0 la ecuación tiene una única solución real. Si b 2 4ac < 0 la ecuación no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas). Recomendaciones para la solución de problemas Lea cuidadosamente el problema, identificando los datos y la cantidad desconocida (o incógnita). Relacione los datos conocidos con la incógnita a través de una ecuación. Resuelva la ecuación y compruebe las soluciones obtenidas.
19 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución:
20 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución: Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm.
21 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución: Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm. Paso 2. Ecuación: Volumen de una caja: Vol=base altura Incógnita = L
22 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución: Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm. Paso 2. Ecuación: Volumen de una caja: Vol=base altura Incógnita = L Paso 3. 3(2L 6)(L 6) = 60 L 2 9L + 8 = 0 (L 8)(L 1) = 0
23 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución: Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm. Paso 2. Ecuación: Volumen de una caja: Vol=base altura Incógnita = L Paso 3. 3(2L 6)(L 6) = 60 L 2 9L + 8 = 0 (L 8)(L 1) = 0 Luego L = 8cm es la solución válida.
24 Problemas de aplicación Ejemplo Una caja sin tapa se elabora recortando cuadrados de 3cm en las esquinas de una pieza rectangular de hojalata, cuya longitud es el doble de su ancho. Cuáles son las dimensiones de la lámina para hacer una caja que tenga un volúmen de 60cm 3? Solución: Paso 1. Datos: Ancho = Lcm Largo = 2Lcm Cortes = 3cm. Paso 2. Ecuación: Volumen de una caja: Vol=base altura Incógnita = L Paso 3. 3(2L 6)(L 6) = 60 L 2 9L + 8 = 0 (L 8)(L 1) = 0 Luego L = 8cm es la solución válida.
25 Desigualdades Propiedades de las desigualdades Propiedad de la no-negatividad: a 2 0 Propiedad aditiva: Si a < b entonces a + c < b + c; además, si a > b entonces a + c > b + c Propiedades de la multiplicación por un escalar. Sea c > 0. Si a < b entonces ac < bc; además a > b entonces ac > bc Sea c < 0. Si a < b entonces ac > bc; además a > b entonces ac < bc Propiedades del recíproco. Si a > 0, entonces 1 a > 0; además, si Si a < 0, entonces 1 a < 0. Desigualdades con valor absoluto x a es equivalente a a < x < a x a es equivalente a x a o x a
26 Desigualdades Propiedades de las desigualdades Propiedad de la no-negatividad: a 2 0 Propiedad aditiva: Si a < b entonces a + c < b + c; además, si a > b entonces a + c > b + c Propiedades de la multiplicación por un escalar. Sea c > 0. Si a < b entonces ac < bc; además a > b entonces ac > bc Sea c < 0. Si a < b entonces ac > bc; además a > b entonces ac < bc Propiedades del recíproco. Si a > 0, entonces 1 a > 0; además, si Si a < 0, entonces 1 a < 0. Desigualdades con valor absoluto x a es equivalente a a < x < a x a es equivalente a x a o x a
27 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando
28 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando
29 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando
30 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando
31 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando
32 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando
33 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando
34 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando
35 Ejemplo 1 Encuentre los valores de x que satisfacen x2 x 6 1 x 0. Solución: Inicialmente, factorizamos y se obtiene: la leyes de los signos: (x + 2)(x 3) (1 x) 0, luego, usando La solución es: x (, 2] (1, 3].
36 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: 2 < x + 4 x + 4 y < 2
37 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: 2 < x + 4 x + 4 y < 2 0 < 2 + x + 4 o sea, 0 < 3x
38 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: 2 < x + 4 x + 4 y < 2 0 < 2 + x + 4 o sea, 0 < 3x x < 0 o sea, 8 x < 0
39 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: 2 < x + 4 x + 4 y < 2 0 < 2 + x + 4 o sea, 0 < 3x x < 0 o sea, 8 x < 0
40 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: 2 < x + 4 x + 4 y < 2 0 < 2 + x + 4 o sea, 0 < 3x x < 0 o sea, 8 x < 0 Luego: x (, 0) (2, + ) y x (, 2) (8, + ) Intersección:
41 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: 2 < x + 4 x + 4 y < 2 0 < 2 + x + 4 o sea, 0 < 3x x < 0 o sea, 8 x < 0 Luego: x (, 0) (2, + ) y x (, 2) (8, + ) Intersección: es decir: x (, 0) (8, + )
42 Ejemplo 2 Encuentre los valores de x que satisfacen x + 4 < 2. Solución: Descomponiendo valor absoluto: 2 < x + 4 < 2, luego: 2 < x + 4 x + 4 y < 2 0 < 2 + x + 4 o sea, 0 < 3x x < 0 o sea, 8 x < 0 Luego: x (, 0) (2, + ) y x (, 2) (8, + ) Intersección: es decir: x (, 0) (8, + )
43 Referencias E.W. Swokowski, J.A. Cole Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica undécima edición, editorial Thomson, F.D. Demana, B.K. Waits, G.D. Foley, D. Kennedy Precálculo séptima edición, editorial Pearson, M. Sullivan Álgebra y Trigonometría séptima edición, editorial Pearson, 2006.
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