Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas fórmula cuadrática y casos especiales

Transcripción

1 Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas fórmula cuadrática y casos especiales Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo

2 Ecuación cuadrática en forma general Una ecuación cuadrática tiene una forma general como sigue ax 2 + bx + c = 0, donde a, b,c son valores reales; y a 0 a es el coeficiente del término cuadrático (coeficiente de la variable de grado 2). b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.) c es la constante.

3 Resolver ecuaciones cuadráticas Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Método de factorización Método de raíz cuadrada Método utilizando la fórmula cuadrática

4 Ecuación cuadrática en forma general Nota: No todas las ecuaciones cuadráticas son trinomios, o sea no todas tienen 3 términos. En una ecuación cuadrática (en su forma general), ax 2 + bx + c = 0, los coeficientes b y/o c pueden ser igual a 0. Ejemplos: 9x 2 16 = 0 4x 2 = 8 5x 2 15x = 0 (El coeficiente lineal, b, es 0. ( 4x 2 8 = 0, el coeficiente lineal, b, es 0. (El término constante, c, es 0. 9x = 1 2 x2 ( 1 2 x2 9x = 0, el término constante, c, es 0.

5 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando c = 0 Ejemplo: Determine el conjunto solución de 5x 2 15x = 0 Solución: Cuando en una ecuación cuadrática la constante (c) es 0, el factor común mayor de los términos que quedan contiene al menos, alguna potencia de la variable. Cuando c = 0, podemos resolver la ecuación mediante factorización por factor común.

6 Ejemplo-continuación Solución: (continuación) Podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar. 5x 2 15x = 0 5x(x 3) = 0 Ahora aplicamos el principio del factor cero: 5x = 0 5x 5 = 0 5 x = 0 x 3 = 0 x = 3 El conjunto solución es: {0, 3}

7 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando c = 0 Ejemplo: Determine el conjunto solución de 18x 3 + 9x 2 = 0 Solución: No hay constante. No es una ecuación cuadrática. Podemos remover de los dos términos el factor común mayor de 9x 2

8 Ejemplo continuación Solución: (continuación) 18x 3 + 9x 2 = 0 9x 2 (2x + 1) = 0 Por el principio del factor cero 9x 2 = 0 9x 2 9 = 0 9 x 2 = 0 x = 0 2x + 1 = 0 2x = 1 2x 2 = 1 2 x = 1 2 El conjunto solución es: {0, 1 2 }

9 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0 Cuando el coeficiente lineal, b, es igual a cero, empleamos el método de la raíz cuadrada para resolverlo. Ejemplos: 2x 2 7 = 0 36 = 9x 2 (3x - 5) 2 = 5

10 x = ± k Resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0 Cuando una ecuación cuadrática tiene sólo un término cuadrático y uno constante Dejamos a un lado de la ecuación el término cuadrático y al otro lado el término constante. Luego extraemos la raíz cuadrada de ambos lados, tomando en cuenta que existen dos soluciones para una ecuación de la forma x 2 = k

11 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0 Ejemplo: Resolver x = 10 Solución: x = 10 2 x 2 = 8 x 2 = ± 8 x = ± 8 x = ± 2 2 Las soluciones son: x = 2 2, y x = 2 2

12 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0 Ejemplo: Determinar las soluciones de 3x 2 5 = 7 Solución: 3x = x 2 = 12 3x 2 3 = 12 3 x 2 = 4 x 2 = ± 4 x = ±2 Las soluciones son x = 2 y x= 2.

13 Ejemplo Resolver: (2x 7) 2 16 = 0 Solución: (2x 7) = 16 (2x 7) 2 = ± 16 2x 7 = ±4 2x 7 = 4 2x 7 = - 4

14 Ejemplo continuación 2x 7 = 4 2x 7 = - 4 2x 7 + 7= x = 11 2x 2 = 11 2 x = 5.5 2x 7 + 7= x = 3 2x 2 = 3 2 x = 1.5 El conjunto solución es {1.5, 5.5}

15 Resolver: 7(x 3) = 8 7(x 3) = 8 5 7(x 3) 2 = 3 7(x 3) 2 = (x 3) 2 = 3 7 (x 3) 2 = ± 3 7 x 3 = ± 3 7

16 Resolver: 7(x 3) = 8 x = 3 ± 3 7 x = 3± 3 7 x = ó x = Las soluciones son x = y x=

17 Fórmula cuadrática Dada una ecuación cuadrática en su forma general: ax 2 + bx + c = 0, donde a, b,c son valores reales y a 0, la fórmula cuadrática establece que sus soluciones están dadas por: x b b2 4ac 2a

18 Resolver: 6x 2 + x = 2 Primeramente debemos escribir la ecuación en forma general: 6x 2 + x - 2 = 0 Debemos identificar los coeficientes a, b y c: a = 6 b = 1 c = - 2

19 Aplicar la fórmula cuadrática Con a = 6, b = 1, y c = -2 aplicamos a la fórmula cuadrática. x b b2 4ac 2a 1 x 1 2 4( 6)( 2) 2( 6) x 12 x

20 Ejemplo-continuación x x x x x ó 1 7 x 12 8 x 12 2 x 3 El conjunto solución de 6x 2 + x - 2 = 0 es: 2, Las soluciones son racionales. Esto implica que la ecuación original se pudo haber resuelto usando la factorización por binomios.

21 Resolver: x 2-5x = 8 Primeramente debemos escribir la ecuación en forma general: x 2-5x - 8 = 0 Notemos que no existen factores de -8 que sumen -5, por lo tanto, NO factoriza como el producto de 2 binomio lineales. Identificar los coeficientes a, b y c: a = 1 b = -5 c = -8

22 Aplicar la fórmula cuadrática Con a = 1, b = - 5, y c = - 8 aplicamos a la fórmula cuadrática. x b b2 4ac 2a x ( 5) ( 5) 2 2( 1) x x 2 4( 1)( 8) El conjunto solución de la ecuación es: , 2

23 Cuidado Es común equivocarse con el signo de -b. Puede ser de ayuda si interpretamos - b como el opuesto de b. De esta forma: si b es positivo, -b será negativo si b es negativo, -b será positivo.

24 El discriminante x b b2 4ac 2a Llamamos discriminante al radicando de la fórmula cuadrática b 2-4ac Podemos utilizar el discriminante para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática y si éstas son reales o no.

25 Discriminante b 2-4ac Si b 2-4ac > 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales. Si b 2-4ac < 0, la ecuación NO tiene soluciones reales. Si b 2-4ac = 0, la ecuación tiene 1 solución real.

26 Cuántas soluciones reales? Determine cuántas soluciones reales tienen las siguientes ecuaciones cuadráticas: 2x 2-5x + 3 = 0 Identificar los coeficientes a, b y c: a=2, b= -5, c= 3, b 2-4ac = (-5) 2-4(2)(3) = = 1>0 ==> tiene 2 soluciones reales

27 Cuántas soluciones reales? 3x 2 + 4x + 5 = 0 a=3, b= 4, c= 5, b 2-4ac = 4 2-4(3)(5) =16-60 = -44<0 --> tiene 0 soluciones reales x - x 2 = 0 a= -1, b= 6, c= -9, b 2-4ac = 6 2-4(-1)(-9) = = 0 --> tiene 1 solución real

28 Ejercicios Resuelva: 1) x 2-5x + 4 = 0 2) 2y 2 + 7y = 3 3) 3w 2 + 4w - 3 = 0 4) 4y + 5y 2 = 4 5) (x+2) 2 = 10 6) 3(y-4) = 6

29 Soluciones 1) {4, 1} 4) , ) , ) { 10 2, 10 2} 3) , ) 2 3 4, 2 3 4

30 Ejemplos adicionales

31 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando c = 0 Ejemplo: Determine el conjunto solución de 3x 2 = 7x Solución: Para resolver una ecuación cuadrática, debe estar en su forma general, o sea igual a 0. 3x 2 7x = 0 Factorizamos mediante factor común:

32 Ejemplo continuación Solución: (continuación) 3x 2 7x = 0 x (3x 7) = 0 Por el principio del factor cero x = 0 3x 7 = 0 3x = 7 3x 3 = 7 3 El conjunto solución es: {0, 7 3 } x = 7 3

33 Ejemplo Resolver: (2x 7) 2 = 9 2x 7 = 9 2x = 3+7 Aquí hay dos ecuaciones lineales para resolver: 2x = 3+7 2x = 10 x = 5 2x = 3+7 2x = 4 x = 2 El conjunto solución de la ecuación es: {2, 5}

34 Ejercicios Resuelva: 1) y 2 = 7 2) 3w 2 = 15 3) 5y 2 = 4 4) (x + 2) 2 = 10 5) 3(y - 4) = 6 6) 3p 2 + 4p + 1 = 0

35 Soluciones 1) 2) 3) { 4) { 2 10, 2 5) { 7, 7} { 5, 5} 4 5, 4 5 } 2 { 4, } 2 3 } 6) { 1 3, 1}