Reemplazos Algebraicos. Gabriel Darío Uribe Guerra Universidad de Antioquia. XIII COLOQUIO REGIONAL DE MATEMÁTICAS y III SIMPOSIO DE ESTADÍSTICA.
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- Eva María Santos Medina
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1 Reemplazos Algebraicos Gabriel Darío Uribe Guerra Universidad de Antioquia XIII COLOQUIO REGIONAL DE MATEMÁTICAS y III SIMPOSIO DE ESTADÍSTICA. Universidad de Nariño San Juan de Pasto Mayo /23
2 Introducción Teniendo como base ecuaciones simples, como son las ecuaciones cuadráticas, logaritmicas, exponenciales, trigonométricas, sistemas de ecuaciones lineales, etc. Se pretende resolver ecuaciones que a simple vista parecen un poco dificiles o llevan un proceso muy tedioso para resolverse, pero al hacer un reemplazo o al aplicar una propiedad se simplifica su solución. 2/23
3 Problema La expresión puede ser reescrita como a b. Encuentre a b. 3/23
4 Notemos que la expresión se puede escribir como = 4/23
5 Notemos que la expresión se puede escribir como = /23
6 Notemos que la expresión se puede escribir como = = /23
7 Notemos que la expresión se puede escribir como = = = ( 6) ( 3) 2 4/23
8 Notemos que la expresión se puede escribir como = = = ( 6) ( 3) 2 = ( 6 3) 2 4/23
9 Notemos que la expresión se puede escribir como = = = ( 6) ( 3) 2 = ( 6 3) 2 = 6 3 4/23
10 Notemos que la expresión se puede escribir como = = = ( 6) ( 3) 2 = ( 6 3) 2 = 6 3 Así que a = 6 y b = 3, lo que implica que a b = 6 3 = 2. 4/23
11 Problema Si f es una función tal que f(x/5) = x 2 + x + 6 Encuentre la suma de todos los valores de w tal que f(5w) = /23
12 Reemplazamos la x por 25w y conseguimos lo siguiente: 6/23
13 Reemplazamos la x por 25w y conseguimos lo siguiente: f( 25w 5 ) = 252 w w + 6 6/23
14 Reemplazamos la x por 25w y conseguimos lo siguiente: f( 25w 5 ) = 252 w w + 6 = 625w w + 6 6/23
15 Reemplazamos la x por 25w y conseguimos lo siguiente: f( 25w 5 ) = 252 w w + 6 = 625w w + 6 f(5w) = 625w w + 6 6/23
16 Reemplazamos la x por 25w y conseguimos lo siguiente: f( 25w 5 ) = 252 w w + 6 = 625w w + 6 f(5w) = 625w w = 625w w + 6 6/23
17 Reemplazamos la x por 25w y conseguimos lo siguiente: f( 25w 5 ) = 252 w w + 6 = 625w w + 6 f(5w) = 625w w = 625w w + 6 Al despejar, obtenemos que 625w w 2010 = 0. 6/23
18 Reemplazamos la x por 25w y conseguimos lo siguiente: f( 25w 5 ) = 252 w w + 6 = 625w w + 6 f(5w) = 625w w = 625w w + 6 Al despejar, obtenemos que 625w w 2010 = 0. Dividiendo toda la ecuación por 5, obtenemos 125w 2 + 5w 402 = 0. 6/23
19 Reemplazamos la x por 25w y conseguimos lo siguiente: f( 25w 5 ) = 252 w w + 6 = 625w w + 6 f(5w) = 625w w = 625w w + 6 Al despejar, obtenemos que 625w w 2010 = 0. Dividiendo toda la ecuación por 5, obtenemos 125w 2 + 5w 402 = 0. y dividiendo por 125, nos queda w w = 0 6/23
20 Recordemos que debemos encontrar la suma de los w que satisfacen la ecuación para ello debemos encontrar las raíces del polinomio cuadrático w w = 0 7/23
21 Recordemos que debemos encontrar la suma de los w que satisfacen la ecuación para ello debemos encontrar las raíces del polinomio cuadrático w w = 0 Recordemos que si multiplicamos dos binomios de la forma (x a)(x b) obtenemos 7/23
22 Recordemos que debemos encontrar la suma de los w que satisfacen la ecuación para ello debemos encontrar las raíces del polinomio cuadrático w w = 0 Recordemos que si multiplicamos dos binomios de la forma (x a)(x b) obtenemos (x a)(x b) = x 2 ax bx + ab 7/23
23 Recordemos que debemos encontrar la suma de los w que satisfacen la ecuación para ello debemos encontrar las raíces del polinomio cuadrático w w = 0 Recordemos que si multiplicamos dos binomios de la forma (x a)(x b) obtenemos (x a)(x b) = x 2 ax bx + ab = x 2 (a + b)x + ab 7/23
24 Recordemos que debemos encontrar la suma de los w que satisfacen la ecuación para ello debemos encontrar las raíces del polinomio cuadrático w w = 0 Recordemos que si multiplicamos dos binomios de la forma (x a)(x b) obtenemos (x a)(x b) = x 2 ax bx + ab = x 2 (a + b)x + ab Lo anterior nos indica que el producto de las raíces del polinomio cuadrático es el coeficiente del término independiente y que la suma de las raíces es el coeficiente del término lineal. 7/23
25 Por lo tanto, la suma de las raíces del polinomio cuadrático w w = 0 es igual a 1, que es la suma de los w que satisfacen que 25 f(5w) = /23
26 Problema Encuentre todas las soluciones reales de la ecuación x 2 5x + 2 x 2 5x + 3 = 12 9/23
27 Lo primero que podemos hacer es adicionar a ambos lados de la ecuación 3, lo que nos deja la ecuación de la forma x 2 5x x 2 5x + 3 = 15 Notemos que lo que hay dentro del radical y lo de afuera es lo mismo. Por lo tanto, si tomamos t = x 2 5x + 3 y así nuestra ecuación queda t + 2 t = 15 Esta es una ecuación cuadrática fácil de resolver. 10/23
28 Despejando, llegamos a que t + 2 t 15 = 0 11/23
29 Despejando, llegamos a que t + 2 t 15 = 0 al factorizar obtenemos que (t 1/2 + 5)(t 1/2 3) = 0 11/23
30 Despejando, llegamos a que t + 2 t 15 = 0 al factorizar obtenemos que (t 1/2 + 5)(t 1/2 3) = 0 Notemos que con el primer factor, no obtenemos solución en los reales y para el segundo llegamos a que t = 9 11/23
31 Despejando, llegamos a que t + 2 t 15 = 0 al factorizar obtenemos que (t 1/2 + 5)(t 1/2 3) = 0 Notemos que con el primer factor, no obtenemos solución en los reales y para el segundo llegamos a que t = 9 Por lo tanto, x 2 5x + 3 = 9, la cual tiene soluciones x = 1 y x = 6. 11/23
32 Problema Resolver la ecuación (x 5)(x 7)(x + 6)(x + 4) = /23
33 Reordenando los factores y multiplicando obtenemos (x 5)(x 7)(x + 6)(x + 4) = (x 5)(x + 4)(x 7)(x + 6) = (x 2 x 20)(x 2 x 42) Tomamos a t = x 2 x llegamos que (y 20)(y 42) = 504 y 2 62y = 504 Igualando a cero obtenemos y 2 62y = (y 6)(y 56) = 0 Así y = 6 y y = /23
34 Luego x 2 x = 6 y x 2 x = 56 y resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos que x = 2, 3, 7, 8 14/23
35 Problema Resolver la ecuación 12x 4 56x x 2 56x + 12 = 0 15/23
36 Reordenando la ecuación obtenemos 16/23
37 Reordenando la ecuación obtenemos 12x x 3 56x + 89x 2 = 0 16/23
38 Reordenando la ecuación obtenemos Sacamos factor común x 2 12x x 3 56x + 89x 2 = 0 16/23
39 Reordenando la ecuación obtenemos 12x x 3 56x + 89x 2 = 0 Sacamos factor común x 2 [ x 2 12x x 2 56x 56 ] x + 89 = 0 16/23
40 Reordenando la ecuación obtenemos 12x x 3 56x + 89x 2 = 0 Sacamos factor común x 2 [ x 2 12x x 2 56x 56 ] x + 89 Sabemos que x 2 es diferente de cero. Así que 12x x 2 56x 56 x + 89 = 0 = 0 16/23
41 Agrupando y sacando factor común llegamos a 12 (x 2 + 1x ) ( 2 56 x + 1 ) + 89 = 0 x 17/23
42 Agrupando y sacando factor común llegamos a 12 (x 2 + 1x ) ( 2 56 x + 1 ) + 89 = 0 x Si tomamos t = x + 1 x, entonces t 2 = ( x + 1 ) 2 = x x x 2 17/23
43 Agrupando y sacando factor común llegamos a 12 (x 2 + 1x ) ( 2 56 x + 1 ) + 89 = 0 x Si tomamos t = x + 1 x, entonces t 2 = ( x + 1 ) 2 = x x x 2 Lo que implica que t 2 2 = x x 2 17/23
44 Nuestra ecuación queda entonces 12x x 2 56x 56 x + 89 = 12(t2 2) 56t /23
45 Nuestra ecuación queda entonces 12x x 2 56x 56 x + 89 = 12(t2 2) 56t + 89 = 12t t /23
46 Nuestra ecuación queda entonces 12x x 2 56x 56 x + 89 = 12(t2 2) 56t + 89 = 12t t + 89 = 12t 2 56t /23
47 Nuestra ecuación queda entonces 12x x 2 56x 56 x + 89 = 12(t2 2) 56t + 89 = 12t t + 89 = 12t 2 56t + 65 = (6t 13)(2t 5) = 0 18/23
48 Nuestra ecuación queda entonces 12x x 2 56x 56 x + 89 = 12(t2 2) 56t + 89 Por lo tanto, t = 13/6 y t = 5/2 = 12t t + 89 = 12t 2 56t + 65 = (6t 13)(2t 5) = 0 18/23
49 Reemplazando los dos valores llegamos a que: 19/23
50 Reemplazando los dos valores llegamos a que: x + 1 x = /23
51 Reemplazando los dos valores llegamos a que: x + 1 x = (x 2 + 1) = 13x 19/23
52 Reemplazando los dos valores llegamos a que: x + 1 x = (x 2 + 1) = 13x 6x 2 13x + 6 = 0 19/23
53 Reemplazando los dos valores llegamos a que: x + 1 x = (x 2 + 1) = 13x 6x 2 13x + 6 = 0 Así x = 3/2 y x = 2/3. 19/23
54 Reemplazando los dos valores llegamos a que: x + 1 x = (x 2 + 1) = 13x 6x 2 13x + 6 = 0 Así x = 3/2 y x = 2/3. x + 1 x = /23
55 Reemplazando los dos valores llegamos a que: x + 1 x = (x 2 + 1) = 13x 6x 2 13x + 6 = 0 Así x = 3/2 y x = 2/3. x + 1 x = 5 2 2(x 2 + 1) = 5x 19/23
56 Reemplazando los dos valores llegamos a que: x + 1 x = (x 2 + 1) = 13x 6x 2 13x + 6 = 0 Así x = 3/2 y x = 2/3. x + 1 x = 5 2 2(x 2 + 1) = 5x 2x 2 5x + 2 = 0 19/23
57 Reemplazando los dos valores llegamos a que: x + 1 x = (x 2 + 1) = 13x 6x 2 13x + 6 = 0 Así x = 3/2 y x = 2/3. x + 1 x = 5 2 2(x 2 + 1) = 5x 2x 2 5x + 2 = 0 Así x = 2 y x = 1/2. 19/23
58 Problema Resolver la ecuación x 3 (x2 8x+15)/(x 2) = 1 20/23
59 Recordemos que a b = 1 21/23
60 Recordemos que a b = 1 Así, a = 1 o b = 0, notemos que no puede ser 0 0 ya que es una indetereminación. 21/23
61 Recordemos que a b = 1 Así, a = 1 o b = 0, notemos que no puede ser 0 0 ya que es una indetereminación. Si a = 1, entonces x 3 = 1 y esto implica que x = 4 y x = 2 21/23
62 Recordemos que a b = 1 Así, a = 1 o b = 0, notemos que no puede ser 0 0 ya que es una indetereminación. Si a = 1, entonces x 3 = 1 y esto implica que x = 4 y x = 2 Pero x = 2, no nos sirve por que volvería indeterminado a b. 21/23
63 Recordemos que a b = 1 Así, a = 1 o b = 0, notemos que no puede ser 0 0 ya que es una indetereminación. Si a = 1, entonces x 3 = 1 y esto implica que x = 4 y x = 2 Pero x = 2, no nos sirve por que volvería indeterminado a b. Por otro lado, para b = 1, se obtiene que x 2 8x + 15 = 0 21/23
64 Recordemos que a b = 1 Así, a = 1 o b = 0, notemos que no puede ser 0 0 ya que es una indetereminación. Si a = 1, entonces x 3 = 1 y esto implica que x = 4 y x = 2 Pero x = 2, no nos sirve por que volvería indeterminado a b. Por otro lado, para b = 1, se obtiene que x 2 8x + 15 = 0 Lo que implica que x = 5 y x = 3 21/23
65 Recordemos que a b = 1 Así, a = 1 o b = 0, notemos que no puede ser 0 0 ya que es una indetereminación. Si a = 1, entonces x 3 = 1 y esto implica que x = 4 y x = 2 Pero x = 2, no nos sirve por que volvería indeterminado a b. Por otro lado, para b = 1, se obtiene que x 2 8x + 15 = 0 Lo que implica que x = 5 y x = 3 Pero x = 3, no nos sirve por que llegamos a /23
66 Recordemos que a b = 1 Así, a = 1 o b = 0, notemos que no puede ser 0 0 ya que es una indetereminación. Si a = 1, entonces x 3 = 1 y esto implica que x = 4 y x = 2 Pero x = 2, no nos sirve por que volvería indeterminado a b. Por otro lado, para b = 1, se obtiene que x 2 8x + 15 = 0 Lo que implica que x = 5 y x = 3 Pero x = 3, no nos sirve por que llegamos a 0 0. Por lo tanto las soluciones son x = 4 y x = 5. 21/23
67 Problema Resolver el sistema de ecuaciones x + y + u = 4 y + u + v = 5 u + v + x = 0 v + x + y = 8 22/23
68 Notemos que si sumamos las tres ecuaciones obtenemos 3x + 3y + 3u + 3v = 9 23/23
69 Notemos que si sumamos las tres ecuaciones obtenemos 3x + 3y + 3u + 3v = 9 Al simplificar llegamos a que x + y + u + v = 3 23/23
70 Notemos que si sumamos las tres ecuaciones obtenemos 3x + 3y + 3u + 3v = 9 Al simplificar llegamos a que x + y + u + v = 3 Así cada una de nuestras ecuaciones originales quedan 3 = 4 + v 3 = 5 + x 3 = 0 + y 3 = 8 + u 23/23
71 Notemos que si sumamos las tres ecuaciones obtenemos 3x + 3y + 3u + 3v = 9 Al simplificar llegamos a que x + y + u + v = 3 Así cada una de nuestras ecuaciones originales quedan 3 = 4 + v 3 = 5 + x 3 = 0 + y 3 = 8 + u Por lo tanto, v = 7, x = 2, y = 3, u = 5 23/23
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