Factorización de polinomios. Profa. Anneliesse Sánchez y Profa. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico

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María Josefa González Acuña
hace 7 años
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1 Factorización de polinomios Profa. Anneliesse Sánchez y Profa. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico

2 Introducción Factorizar un polinomio es hallar factores de éste. Ejemplo: Como 2x (x + 3) = 2x 2 + 6x decimos que 2x y x + 3 son factores de 2x 2 + 6x. Cuando un polinomio sólo tiene como factores a 1 y a él mismo, decimos que es un polinomio irreducible o primo. Factorizar completamente un polinomio es hallar todos los factores irreducibles o primos del polinomio.

3 Ejemplo numérico Cuando multiplicamos, obtenemos un único resultado. Sin embargo, puede haber varias formas de factorizar un número. Ejemplo: Escriba factorizaciones para = (8)(3) 24 = (12)(2) 24 = (6)(4) 24 = (4)(2)(3) 24 = (6)(2)(2) 24 = (2)(2)(2)(3) Esta última es la factorización prima de 24, lo que significa que el número ya no se puede seguir factorizando.

4 Polinomio irreducible Al igual que los números, los polinomios se pueden factorizar de varias formas. Ejemplo: Escriba factorizaciones para 3x x 3x 3x x 12x = 3x(x 3x(x + 4) 4) 3x x = 3 (x 2 + 4x) 3x x = x(3x + 12) 3x x = 1 x(6x + 24) 2 La primera forma se conoce como factorización por factores irreducibles, por que los factores 3x y x+4 no se pueden factorizar más. Un polinomio está completamente factorizado si se expresa como el producto de polinomios con coeficientes enteros. todos los polinomios que forman la factorización son irreducibles

5 Factorización de polinomios FACTORIZACION POR MÁXIMO COMÚN DIVISOR

6 Factorizacion por máximo común divisor La propiedad distributiva, ab + ac = a(b + c), nos permite remover, de cada término de un polinomio, un factor repetido. Ese factor repetido se conoce como el máximo común divisor del polinomio.

7 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos o más polinomios, se compone del máximo común divisor de los coeficientes multiplicado por la potencia más grande de las variables que es común a todas las expresiones dadas.

8 Ejemplo: Determinar el máximo común divisor mcd(24x 5, 40x 3, 56x 4 ) = Solución: Expandir cada expresión 24x 5 = 8 3 x 3 x 2 40x 3 = 8 5 x 3 56x 4 = 8 7 x 3 x El máximo común divisor es 8x 3

9 Factorice mediante factor común. a) 22pq 33qr b) 7xy 14xy x 2 y c) 20w 3 z 4 25w 4 z 7 15 w 5 z 3 d) 12b 3 88ab ab 4 36a 2 b 2

10 Factores binomiales Ejemplo: Factorice el polinomio: x y (y + 2) Remover el binomio común y formar, en paréntesis, un segundo factor binomial con los factores que quedan en cada término. Esto es, x y y + 2 = (y + 2) ( ) x + 3

11 Factores binomiales Ejemplo: Factorice cada polinomio: a) 3x(a b) 5(a b) b) 2x(a b) + 5(b a) c) 12xy x x 2 y x xy 2 x + 5

12 Práctica 6.1 pg. 235

13 Factorización de polinomios FACTORIZACION POR AGRUPACION

14 Factorización por agrupación Técnica que consiste en agrupar dos o más términos del polinomio usando algún criterio; por ejemplo, un criterio puede ser: agrupar dos o más términos que tengan algún factor común. Ejemplo: 2a 6b ac 3bc Note que entre los primeros dos términos hay un factor de 2 en común, mientras que en los últimos dos hay un factor de c en común.

15 Factorización por agrupación Factorice : 2a 6b ac 3bc

16 Factorización por agrupación Ejemplo 2: Factorice 3a a 2ab 8b

17 Factorización por agrupación Ejemplo 3: 4x 3y 12ax + 9ay

18 Factorice completamente 3x 2 + 6x 5xy 10y

19 Práctica Ejercicios: Factorice completamente cada polinomio. 1) y 2 4y + 3yz 12z 3) 9ab + 9ac b c 2) ab c ac + b

20 Práctica Soluciones: 1) y 2 4y + 3yz 12z = (y 2 4y) + (3yz 12z) = y (y 4) + 3z (y 4) = (y 4)(y + 3z) 3) 9ab + 9ac b c =(9ab + 9ac) (b + c) =9a(b + c) 1(b + c) =(b + c) (9a 1) 2) ab c ac + b = (ab ac) + (b c) = a(b c) + 1(b c) = (b c)(a + 1)

21 EJEMPLOS ADICIONALES

22 Teorema fundamental de la aritmética Todo número entero positivo tiene una factorización de números primos única, excepto por el orden.

23 Factorización prima Teorema de factorización única: Todo número compuesto se puede expresar como un producto de números primos de una forma única, sin tomar en cuenta el orden de los factores. 72 = 36 2 De éstos, sólo 2 es un factor primo. 72 = 6 x 6 2 De éstos, sólo 2 es un factor primo. 72 = factorizacion prima

24 Factorización prima La factorizacion prima se puede escribir usando exponentes. 72 = Primero, ordenamos los factores 72 = Luego, usamos exponenciación para representar la multiplicación repetida. 72 = factorizacion prima en notación exponencial

25 Árbol de factores Un árbol de factores es un diagrama que ayuda a determinar la factorizacón prima de un número.

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