(1)Factores, Múltiplos y Divisores. (2) Números compuestos y primos

Transcripción

1 (1)Factores, Múltiplos y Divisores (2) Números compuestos y primos

2 Factorización Cuando escribimos 12 = 6 x 2 decimos que 6 x 2 corresponde a una factorización de 12. Existen otras factorizaciones de 12? Cuál(es)? 12 = 3 x 4 12 = 12 x 1 Hemos encontrado tres factorizaciones de dos factores para 12. Por lo tanto los factores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12

3 Factorización En resumen: La factorización de un número natural es simplemente una expresión de multiplicación con números naturales.

4 Factorización - Ejercicios Mencione todas las factorizaciones de dos factores para x 9 15 x 3 45 x 1 Cuál es el conjunto de los factores de 45? {1, 3, 5, 9, 15, 45}

5 Números primos y compuestos Todo número natural mayor que 1 o es primo o es compuesto. Un número primo es un número que es el producto solamente de 1 y sí mismo. Ejemplo: 2 = 2 1 Ejemplo: 5 = 5 1 Ejemplo: 7 = 7 1 Los primeros 12 primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37

6 Números primos y compuestos Un número compuesto es un número natural mayor que uno que tiene más de dos factores. Ejemplo: 6 = 2 3, 6 x 1 Ejemplo: 8 = 2 4, 8 x 1 Nota: El número 1 tiene un solo factor positivo, por lo tanto ni es primo ni es compuesto.

7 Factorización prima Teorema de factorización única: Todo número compuesto se puede expresar como un producto de números primos de una forma única, sin tomar en cuenta el orden de los factores. 72 = 36 2 De éstos, sólo 2 es un factor primo. 72 = 6 x 6 2 De éstos, sólo 2 es un factor primo. 72 = factorizacion prima

8 Factorización prima La factorizacion prima se puede escribir usando exponentes. 72 = Primero, ordenamos los factores 72 = Luego, usamos exponenciación para representar la multiplicación repetida. 72 = factorizacion prima en notación exponencial

9 1-6 Árbol de factores Un árbol de factores es un diagrama que ayuda a determinar la factorizacón prima del un número.

10 1-6 Práctica Construya un árbol de factores para determinar la factorizacón prima del cada número

11 Divisor Si a y b son números cardinales y b 0, se dice que a es divisible por b, o b divide a si y sólo si el residuo es 0 cuando a es dividido por b. Ejemplo: 132 = 12 x 11 implica que = 11 R 0 Por lo tanto, 12 es un factor o divisor de 132 y 11 es un factor o divisor de 132.

12 Ejercicios 1. La factorización prima de un número es 2 x 3 x 5. A qué número le corresponde esta factorización? 2. Si dividimos 98 entre 7 el cociente es y el residuo es. Por lo tanto, 7 es / no es un factor o divisor de El conjunto de los divisores de 54 es:

13 Divisibilidad El símbolo, se lee divide a. Ejemplo: Si escribimos 4 12 podemos leerlo cuatro divide a doce. Esto indica que al dividir 12 entre 4 el residuo es 0 y el cociente es un número natural. 4 es factor de 12 4 es divisor de es divisible en 4 4 divide al es un múltiplo de 4

14 Divisibilidad - Ejemplos 1. No se debe confundir el símbolo, con el símbolo / que se lee dividido entre. 2. Al realizar la división 24/6 el cociente es 4 y se obtiene un residuo 0. Como el cociente es natural y el residuo es 0, podemos escribir Al realizar la división 23/4 se obtiene cociente 5 y residuo 3. El cociente es natural pero el residuo NO es 0. Entonces, es FALSO escribir 4 23.

15 Pruebas de divisibilidad Nombrar los divisores de los siguientes números: 56: 116: 945: 1440:

16 Ejemplo El númber 57,729,364,580 tiene demasiados dígitos para la mayoría de las calculadoras. Determine si es divisible por los siguientes: a. 2 Si b. 3 No c. 5 Si d. 6 No e. 8 No f. 9 No g. 10 Si Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

17 Propiedades de la División Para cualquier número natural a, b, n y d, d 0, si d a, entonces d (n a). En palabras, si d es un divisor de un número natural a, es divisor de cualquier múltiplo de a. Si d a, entonces el algoritmo de división asegura que existe un número natural m, tal que a = d m. Entonces, n a = n d m = d n m. Como n y m son naturales, n m es natural y por definición de divisibilidad, d (n a). Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

18 Propiedades de la División Para cualquier número natural a, b, n y d, b. Si d a, y d b, entonces d (a + b). Si d a y d b entonces el algoritmo de división asegura que existen números naturales m y n, tal que a = d m y b = d n. Entonces, a + b = d n + d m = d(n + m) Por definición de divisibilidad, d (a + b). Por un argumento similar, c. Si d a, y d b, entonces d (a b). Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

19 Ejemplo Clasificar cada uno de los siguientes enunciados como cierto o falso, x, y, y z son cardinales. a. Si 3 x & 3 y, entonces 3 xy. Cierto b. Si 3 (x + y), entonces 3 x y 3 y. Falso Falso Copyright 2013, 2010, and 2007, Pearson Education, Inc.

20 Número de divisores Si s son primos distintos y n 1, n 2, n 3,..., n k son naturales, entonces el producto (n 1 + 1)(n 2 + 1)... (n k + 1) divisores. Ejemplo: Determine la cantidad de divisores que tiene 72 = tiene Según el teorema, = tiene (3 + 1)(2 + 1) = 4 3 = 12 divisores.

21 Número de divisores Ejemplo: Determine la cantidad de divisores que tiene 100, ,000 = 10 5 = (2 5) 5 = Según el teorema, , tiene (5 + 1)(5 + 1) = 6 6 = 36 divisores.

22 Determinar si un número es primo Sea n un número natural, n > 1. Si n NO es divisible entre ningún número primo, p, tal que p 2 n, entonces n es primo. Ejemplo: Determine si 103 es compuesto o primo. Debemos dividir 103 entre números primos cuyos cuadrados sean menor o igual a 103. Como 11 2 = 121 y , entonces debemos dividir 103 por 2, 3, 5 y 7 para determinar si es primo o no = 51 R = 34 R = 20 R = 14 R es primo.