Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicar este último por otro número c.

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1 DIVISIBILIDAD Múltiplos Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicar este último por otro número c. 18 = es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9. Tabla de múltiplos de los números:

2 Divisores Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente. A los divisores también se les llama factores. 12 : 4 = 3 4 es divisor de = es múltiplo de 4 Criterios de divisibilidad Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta. Criterio de divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par. 24, 238, 1 024,... Criterio de divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de = es múltiplo de = 6 6 es múltiplo de 3 Criterio de divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. 36, 400, 1 028,...

3 Criterio de divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco. 45, 515, 7 525, 230,... Criterio de divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3. 72, 324, 2 400,... Criterio de divisibilidad por 10 Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es , 1 440, ,... Criterio de divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de (1 + 1) 2 = (4 + 2) (2 + 4) = 0

4 Número primo Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. 5, 13, 59,... El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo. Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, podremos afirmar que el número es primo. Solución: 179 es primo Número compuesto Un número compuesto es el que posee más de dos divisores. Es decir, aquel que se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números. 12, 72, 144,...

5 Los números compuestos se pueden expresar como productos de potencias de números primos. A dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos. 70 = Factorizar un número Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un 1 como cociente. Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes. Solución: 432 =

6 Solución: = Máximo común divisor El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Cálculo del máximo común divisor 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes con menor exponente. Ejemplo Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.

7 1. 72 = = = m. c. d. (72, 108, 60) = = es el mayor número que divide a 72, 108 y 60. Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d. El número 12 es divisor de 36. m. c. d. (12, 36) = 12

8 Mínimo común múltiplo Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero. Cálculo del mínimo común múltiplo 1. Se descomponen los números en factores primos 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente. Ejemplo 72 = = = m. c. m. (72, 108, 60) = = y es el menor número que puede ser dividido por: 72, 108 de ambos. Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. El número 36 es múltiplo de 12. m. c. m. (12, 36) = 36

9 Relación entre el m. c. d. y m. c. m. m. c. d. (a, b) m. c. m. (a, b) = a b Ejercicios Calcular el m. c. d. y m.c.m. de: 1428 y = = m. c. d. (428, 376) = 2 2 = 4 m. c. m. (428, 376) = = y = = m. c. d. (148, 156) = 2 2 = 4 m. c. m. (148, 156) = = y =

10 1000 = m. c. d. (600, 1000) = = 200 m. c. m. ( 600, 1000) = = 3000 Calcular el m. c. d. y m.c.m. de: 11048, 786 y = = = m. c. d. (1048, 786, 3930) = = 262 m. c. m. (1048, 786, 3930) = = , 6200 y 1864

11 3210 = = = m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 2 3 = 8 m. c. m. (3210, 6200, 1864) = = = Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. 12 = = =

12 m. c. m. (12, 18, 60) = = : 60 = 3 Sólo a las 6.33 h. Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? 18 = = m. c. m. (18, 24) = = 72 Dentro de 72 días. Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48 en cada caso dar de resto 9? m. c. m. (15, 20, 36, 48) = = = 729 En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

13 m. c. d.(250, 360, 540) = 10 Capacidad de las garrafas = 10 l. Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25 Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36 Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54 Número de garrafas = = 115 garrafas. El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas. 3 m = 30 dm 30 = m = 50 dm 50 = A = = 1500 dm 2 m. c. d. (30, 50) = 2 5= 10 dm de lado A b = 10 2 = 100 dm dm 2 : 100 dm 2 = 15 baldosas

14 Un comerciante desea poner en cajas manzanas y naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. m. c. d. (12 028, ) = naranjas en cada caja. Cajas de naranjas = / 124 = 103 Cajas de manzanas = / 124 = 97 Cajas necesarias = = 200 Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? Y cuántas baldosas se necesitan? 8 m = 80 dm 80 = m = 64 dm64 = 2 6 m. c. d. (80, 64) = 2 4 = 16 dm de lado A b = 16 2 = 256 dm 2 A = = 5120 dm dm 2 : 256 dm 2 = 20 baldosas

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