DIVISIBILIDAD. 2º E.S.O. Un número es múltiplo de otro si se puede obtener multiplicando el segundo por otro número entero.

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1 MULTIPLOS Y DIVISORES DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS. º E.S.O. Un número es múltiplo de otro si se puede obtener multiplicando el segundo por otro número entero. 8 es múltiplo de porque 8 = 9 75 es múltiplo de 5 porque 75 = es múltiplo de 3 porque 90 = es múltiplo de porque 44 = 4 MULTIPLOS Y DIVISORES MULTIPLOS Y DIVISORES Un número es divisor o factor de otro si este se puede dividir entre el primero de forma exacta. es divisor de 8 porque 8 : = 9 5 es divisor de 75 porque 75 : 5 = 5 7 es divisor de 63 porque 63 : 7 = 9 es divisor de 44 porque 44 : = 4 Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones: a) 8 es un múltiplo de 6 b) 8 es un múltiplo de 4 c) 6 es un múltiplo de 8 d) 6 es un divisor de 8 e) 8 es un divisor de 6 f ) 6 es un múltiplo de 4 g) 8 es un múltiplo de 6 SI SI SI SI

2 MULTIPLOS Y DIVISORES Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones: MULTIPLOS Y DIVISORES ) Hallar cinco múltiplos del número 9: a) 3 es un múltiplo de b) 8 es un múltiplo de 4 c) 6 es un múltiplo de 3 d) es un divisor de 4 e) 8 es un divisor de 3 f ) 6 es un múltiplo de 64 g) 8 es un múltiplo de 4 SI SI ) Hallar todos los divisores del número ) Hallar todos los divisores del número CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por si termina en 0 o en cifra par. es divisible por porque acaba en cifra par. 564 es divisible por porque acaba en cifra par. Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es divisible por 3. es divisible por 3 porque la suma de sus cifras es es divisible por 3 porque la suma de sus cifras es 5. Un número es divisible por 4 si termina en 00 o lo es el número formado por sus dos últimas cifras. 500 es divisible por 4 porque acaba en es divisible por 4 porque 4 es divisible por 4. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. 5 es divisible por 5 porque acaba en es divisible por 5 porque acaba en 0.

3 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es divisible por 9. 5 es divisible por 9 porque la suma de sus cifras es es divisible por 9 porque la suma de sus cifras es 8. Un número es divisible por 0 si termina en es divisible por 0 porque acaba en es divisible por 0 porque acaba en 0. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por si la suma de todas las cifras que ocupan los lugares impares menos la suma de todas las cifras que ocupan los lugares pares es 0 o múltiplo de. Ejemplo: El número 8079 es divisible por : Suma de cifras impares de 8079: = 4 Suma de cifras pares de 8079: 0 + = Diferencia: 4 = es múltiplo de NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores. El número 9 es primo porque sólo se puede dividir entre y 9. El número 45 es compuesto porque se puede dividir entre y 45, y aparte se puede dividir entre 3, 5, 9 y 5.

4 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Factorizar el número 64 en factores primos: DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Factorizar el número 56 en factores primos: Factores primos. 64 = Factores primos. 56 = 3 7

5 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Factorizar el número 79 en factores primos: Factores primos = DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Ejercicio: Descompón en factores primos: a) 9 b) 43 c) a) 9 = b) 43 = c) 55 = Ejemplo: Hallar el m.c.d.(4, 6) Paso : Descomponer en factores primos los dos números. 4 MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D. 6 4 = = 3 Paso : Elegir los factores comunes. Comunes: Paso 3: Elevarlos al menor exponente que aparezca. Comunes: Paso 4: Multiplicar los factores: m.c.d.(4, 6) = MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D. Ejemplo: Hallar el m.c.d.(40, 60) Paso : Descomponer en factores primos los dos números = = Paso : Elegir los factores comunes. Comunes: y 5 Paso 3: Elevarlos al menor exponente que aparezca. Comunes: y 5 Paso 4: Multiplicar los factores: m.c.d.(40, 60) = 5 = 0

6 MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D. Ejemplo: Hallar el m.c.d.(50, 5) Paso : Descomponer en factores primos los dos números = = 3 5 Paso : Elegir los factores comunes. Comunes: 3 y 5 Paso 3: Elevarlos al menor exponente que aparezca. Comunes: 3 y 5 Paso 4: Multiplicar los factores: m.c.d.(50, 5) = 3 5 = 75 Ejemplo: Hallar el m.c.m.(4, 6) Paso : Descomponer en factores primos los dos números. 4 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M. 6 4 = = 3 Paso : Elegir los factores comunes y no comunes. Comunes: No comunes: 3 Paso 3: Elevarlos al mayor exponente que aparezca. Comunes: No comunes: 3 Paso 4: Multiplicar los factores: m.c.m.(4, 6) = 3 = MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M. Ejemplo: Hallar el m.c.m.(0, 30) Paso : Descomponer en factores primos los dos números = 3 30 = 3 5 Paso : Elegir los factores comunes y no comunes. Comunes: y 5 No comunes: 3 Paso 3: Elevarlos al mayor exponente que aparezca. Comunes: y 5 No comunes: 3 Paso 4: Multiplicar los factores: m.c.m.(0, 30) = 3 5 = 60 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M. Ejemplo: Hallar el m.c.m.(75, 90) Paso : Descomponer en factores primos los dos números = = Paso : Elegir los factores comunes y no comunes. Comunes: 3 y 5 No comunes: Paso 3: Elevarlos al mayor exponente que aparezca. Comunes: 3 y 5 No comunes: Paso 4: Multiplicar los factores: m.c.m.(75, 90) = 3 5 = 450

7 M.C.D. Y M.C.M. MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D. El producto del máximo común divisor por el mínimo común múltiplo de dos números coincide con el producto de los dos números. m.c.d. (A, B) m.c.m. (A, B) = A B a) m.c.d.(4, 6) = m.c.m.(4, 6) = 3 = b) m.c.d. (4, 6) m.c.m. (4, 6) = = 4 = 4 6 MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M. a) b) c)

8 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.

9

10

11 SUMAS Y RESTAS CON PARÉNTESIS a) 7 5 = = f ) 7 5 = 35 b) = 3 5 = g) 3 5 = 5 c) 7 5 = = h) 5 : 5 = 3 d) = 3 5 = 8 i) 5 : 5 = 5 e) 7 5 = j) 7 5 = 35

12 PROPIEDAD DISTRIBUTIVA ( ) a b + c = a b + a c SACAR FACTOR COMÚN ( ) a b + a c = a b + c a) 3 ( + 5) = = = b) 5 ( 7 3) = = 35 5 = 0 a) = 3 ( + 5) = 3 7 = b) = 5 ( 7 3) = 5 4 = 0

13 OPERACIONES COMBINADAS a) 5 ( 5 3) = 5 = 40 b) 40 ( 3 6) = 40 6 = 4 c) 8 + ( 6) = = 33 d) 37 + ( 5 ) = = 40 OPERACIONES COMBINADAS a) ( ) = ( ) = + = b) ( ) ( 3 8) = 8 ( 7) = = 5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c = = = = 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) d = 4 = 4 4 = 8 OPERACIONES COMBINADAS a) ( 30 ) : ( ) 5 = 5 5 = 75 b) 75 : ( 5 ) : 3 = ( 3 ) : 3 = c) 60 :0 : ( ) = 6 : ( ) = 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) d 8 9 : 6 = 7 : 7 = OPERACIONES COMBINADAS ) ( ) ( ) ( ) a : 5 0 = ( ) ( ) = = = 36 ) ( ) ( ) b = = [ ] [ ] = = = 3 = 3 =

14 PROBLEMAS Nuria lleva los papeles al contenedor de reciclaje cada 5 días, y Pedro lo hace cada 3. El día 0 de mayo se encontraron allí. Cuándo volverán a coincidir? Tenemos que calcular el m.c.m.(3, 5) = 3 5 = 5. Tienen que pasar 5 días. SOLUCIÓN: Vuelven a coincidir el 4 de junio. PROBLEMAS Tres autobuses de tres líneas distintas salen de una estación: el primero cada 0 minutos, el segundo cada minutos y el tercero cada 5 minutos. Si a las 8 de la mañana salió un autobús de cada línea, a qué hora volverán a salir los tres a la vez? Se calcula el m.c.m.(0,, 5) = 3 5 = 60. SOLUCIÓN: Los tres vuelven a coincidir a las nueve. En un terreno rectangular de 40 por 360 metros, se proyecta colocar placas cuadradas del mayor tamaño posible, para recoger energía solar. Qué longitud tienen que tener los lados de las placas? 40 = = Se calcula el m.c.d.(40, 360) = = 0 SOLUCIÓN: 0 m de lado deben tener las placas. Deseamos partir dos cuerdas de 0 m y 30 m en trozos iguales lo más grandes que sea posible y sin desperdiciar ningún cabo. Cuánto medirá cada trozo? 0 = 5 30 = 3 5 M.C.D. (0, 30) = 5 = 0 SOLUCIÓN: Han de partirse en trozos de 0 metros cada una. PROBLEMAS En la biblioteca de mi centro hay entre 50 y 00 libros. Averigua cuántos son exactamente si pueden agruparse en cajas de 5, de 9, de 5 y de 8 unidades. 5 = 5 9 = 3 m.c.m. (5, 9, 5, 8) = 3 5 = 90 5 = = 3 El número de libros ha de ser múltiplo de 5, de 9, de 5 y de 8, y el menor de ellos es 90. Los siguientes múltiplos de 90 son 80, 70 SOLUCIÓN: Por tanto hay 80 libros. MÍNIMOS EXIGIBLES - Reconocer la divisibilidad entre números usando varios criterios de divisibilidad. - Obtener el MCD y MCM de varios números por factorización. - Resolver problemas usando el MCD o MCM. -Realizar operaciones combinadas con números enteros en casos muy simples. - Aplicar la propiedad distributiva y sacar factor común en las operaciones con números naturales.