MATEMÁTICAS 2º E.S.O. TEMA 1 DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS.

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1 MATEMÁTICAS º E.S.O. TEMA 1 DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS Divisibilidad. Criterios de divisibilidad. 1.. Números primos y compuestos. 1.. Descomposición de un número en sus factores primos. 1.. Mínimo común múltiplo (m.c.m.). 1.. Máximo común divisor (M.C.D.) El conjunto de los números enteros. Relación de orden, representación gráfica y valor absoluto Operaciones con números enteros: suma, resta, multiplicación y división Operaciones combinadas. Jerarquía de las operaciones Potencias de números naturales, Operaciones con potencias Potencias y raíces de números enteros 1

2 1. Cuándo se dice que entre dos números hay una relación de divisibilidad?. Si entre dos números hay una relación de divisibilidad, qué se dice que es el mayor del menor? Y el menor del mayor?. Comprueba si entre los siguientes números hay relación de divisibilidad. a) 1 y 1 b) 6 y 1 c) 6 y 1. Contesta razonadamente a las siguientes preguntas: a) Es múltiplo de? b) Es múltiplo de 7? c) Es 11 múltiplo de 1? d) Es 1 divisor de 90?. Enuncia los criterios de divisibilidad de,,,, 6, 8, 9 y Clasifica los siguientes números según su divisibilidad entre,,,, 6, 8, 9 y Escribe todos los divisores de los siguientes números:, 8, 10, 7, 10, 6 y. 8. Completa la siguiente tabla: Divisible por Escribe todos los divisores de 1 comprendidos entre y. Escribe todos los divisores de 7 comprendidos entre y 00. Escribe todos los divisores de comprendidos entre 800 y Encuentra el primer múltiplo de tres cifras de cada una de los siguientes números: Halla todos posibles valores de X para que: a) 8X sea divisible entre b) 8X sea divisible entre 6 c) X9679 sea múltiplo de 11 d) X sea múltiplo de y. e) 960X sea divisible entre 9 f) 867X sea divisible entre y, pero no entre.

3 1. Completa para que los siguientes números sean múltiplos de 6. (Escribe todos los resultados posibles) Dos números entre 10 y 10 son divisibles entre 7. Cuáles son? 1. Tres números entre 67 y 9 son divisibles entre 11. Cuáles son? 1. Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Cuántos múltiplos tiene un número cualquiera? Cómo se hallan? b) Cuál es el múltiplo más pequeño que tiene un número? Y su divisor más pequeño? c) Cuál es el divisor más grande de un número? d) Es 6 múltiplo de 8? e) Se pueden encontrar todos los divisores de un número? f) Se pueden encontrar todos los múltiplos de un número? 16. Escribe tres números capicúa de cinco cifras que sean divisibles entre y, y otros tres que sean divisibles por y Halla el valor de X para que el número XX sea divisible por. 18. Qué es un número primo? Y un número compuesto? 19. A partir de la Criba de Eratóstenes escribe todos los números primos menores de Descompón en factores los siguientes números: Cómo se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números?. Halla el m.c.m. de: a) y 6 d) 1, 18 y 8 b) 7 y 90 e) 60, 7 y 90 c) 6 y 0 f) y 60. Cómo se calcula el máximo común divisor (M.C.D.) de varios números?. Halla el M.C.D. de: a) y 6 e) 6, 9 y 1 b) 16 y 7 f) 1, 18 y c) 8 y g) 6, 60 y 7 d) 1, y 10 h) 7, 108 y 70

4 . Halla el m.c.m. y el M.C.D. de: a) ² y b) ² y ³ c) ² y ³ d) ², ² y ² 6. Calcula el MCD y el mcm de los siguientes grupos de números: 1 y 6 y 6 60 y y 0 0 y 60 1 y 0 8 y 7 y y 0 0 y y 0 81 y 00 y y y 1, 6 y 10 1, 18 y 100 y , 1 y 0 1, 176 y 0 0, y 0 7. Se apilan en una torre cubos de 0 cm de arista y al alado en otra torre cubos de 6 cm de arista. A qué altura coinciden ambas torres? 8. Se desea dividir un terreno rectangular de 100 metros de ancho y 10 m. de largo en parcelas cuadradas lo más grandes posibles. cuánto mide el lado de cada parcela? 9. De cuántas formas posibles se pueden guardar 80 bolígrafos en estuches iguales? Indica en cada caso el número de estuches necesarios y el número de bolígrafos. 0. Tenemos dos cuerdas de 0 m. y 0 m., respectivamente, y las queremos cortar en trozos iguales lo más grandes posibles. Cuánto medirá cada trozo? 1. Disponemos de piezas de cartulina rectangulares de 1 cm por 18 cm y las unimos para formar un cuadrado. Cuánto mide el lado del cuadrado más pequeño que se puede formar? cuántas piezas se usan?. Disponemos de 0 pinturas blancas y 6 pinturas verdes que se desean comercializar en bolsas con el mismo número de unidades y sin mezclar los colores. Cuántas se pueden poner en cada bolsa teniendo en cuenta que el número de ellas deber estar entre 1 y 0?. Los miembros de un coro se reúnen en grupos con el mismo número de individuos. Si se juntas de en sobran. Si se juntan de en sobran. Si lo hacen de 6 en 6 sobran. Si hubiera uno más se podían formar los grupos perfectamente. Cuántos eran?. Puedo agrupar mi colección de monedas de en, de en y de 7 en 7 sin que sobre ninguna. Cuántas tengo sabiendo que son más de 1 y menos de 0?

5 . En la estación de Salamanca sale un tres cada minutos, en la de Soria cada minutos y en la de Burgos cada hora. Si a las 8 de la mañana han salido juntos, a qué hora volverá a coincidir la salida de los tres trenes? 6. Luis tiene 78 canicas amarillas, 10 blancas y 16 verdes. Quiere meterlas en cajas con el mayor número posible de canicas y con el mismo número de ellas en cada caja. Si no puede mezclar los calores en las cajas cuántas meterá en cada una? Cuántas cajas necesitará? 7. Tres motoristas se entrenan, salen juntos de la línea de salida y pasan por la misma cada 70, 7 y 80 segundos. Después de cuántos minutos volverán a pasar juntos por la línea de salida? 8. En la biblioteca de mi centro hay entre 1000 y 1100 libros. Averigua cuántos son exactamente si pueden agruparse en cajas de, de 9, de 1 y de Un autobús pasa por la parada cada minutos y otro cada minutos. Coinciden en la parada a las 10 de la mañana. A qué hora volverán a coincidir? 0. La longitud de la rueda delantera de un tractor mide 190 cm y la trasera 0 cm. Se les hace una señal a cada una de las ruedas. Después de cuántas vueltas volverán a coincidir? 1. Por quién está formado el conjunto de los números enteros?. Escribe el opuesto de los siguientes números: -,, -, -67,, +, 0 y -.. Representa en la recta numérica los números: -,, -, +6, -8, +, 0 y -1.. Ordena de menos a mayor los números: a) b) c) - -6 op(op(-)) op(-) op( -9 ) -11. Qué es valor absoluto de un número entero? Cómo se representa? 6. Halla el valor absoluto de Verdadero a falso: a) 6 < - 18 b) 6 > 9 c) < 8 d) < 6 e) 1 < 10 f) 0 < g) 9 < - 1 h) 19 > i) 7 > - 6 j) 9 > 8 k) 16 > 1 l) 7 > - 18

6 8. Halla el valor de: a) Op(op(-)) d) op(op(+)) b) op(+) e) op(-7) c) Op - f) op( -) 9. Escribe > o <: a) Op(-) - d) - -1 op(+1) b) op(-10) -10 e) -(op(+1)) - 17 c) - op(+6) f) - op(op(-)) 0. Cómo se realiza la suma de los números enteros? 1. Suma : a) +1 + = b) -9 + = c) = d) = e) = f) = g) - - = h) = i) = j) - - = k) = l) - = m) 9 = n) -1 1 = ñ) 6 = o) = p) = q) -6 1 = r) - + = s) + - = t) - = u) -1-1 = v) + -6 = w) - + = x) - = y) + = z) - =. Calcula: a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) =. Qué dice la regla de los signos?. Calcula: a) (- 9) + (-7) = b) (+) - (- 6) = c) (-) + (-1) = d) (+ ) + (-) = e) (+ ) - (-) = f) (+8) + (-6) = g) (+ 1) + (-18) = h) (- ) - (-) = i) (+9) + (-6) = j) (- ) + (-7) = k) (+ ) - (-) = l) (-) + (-6) = m) (-) + (+ ) = n) (-) - () = ñ) (-1) + (+6) o) (-6) + (-) = p) (-) - (1) = q) (-) + (-1) = r) (-) + (+ ) = s) (-1) - (1) = t) (-1) + (-) u) (+ ) + (-) = v) (-7) - (1) = w) (+) - (-) = 6

7 . Calcula: a) (-9) - (-1) + (+1) + (-01) - (-) = b) (-) (-1) + (-) = c) (-16) + (-) + (-7) (+) = d) (-) (-1) + (-) + (-) = e) (-) + (-) (- 8) (+) = f) (+) - (- ) - (- 8) + (- )- (+ 6) = 6. Calcula: a) (+--) - (-7-) + (-8-) + (-1+7) = b) (7--) + (-8-) - (-+) - (-+) = c) -(-+-) + (-+) + (--) - (-+) = d) -(6--1) - (+6-) + (-6) - (-6+) - (-6) = e) (+1-1-) -( -6-1) + (-1-7) + (-1+9) = f) (--6) + (--) - (-6+1) - (-+) = g) -(-7+-6) + (-7+) + (--) - (-17+1) = 7. Multiplica y divide: a) (-0) : (-) = (+) : (-) = b) (+) (-) = (+1 ) (+1) = c) (-1) (+) (-1) = (-) (-) (+) = d) (-1) (-) : (-) = (-1) : (-7) (-) = e) (+) : (-7) (-) = (-10) (-6) : (-) = f) (-1) (-) : (-8) = (+6) : (-6) (-) = 8. Halla el valor de : a) ( 8) + ( ) ( ) b) 7: ( ) (+) ( ) ( 6) ( ) c) 0: ( 8) ( 0): (+6) d) ( 8) ( 7) e) ( ) ( 9) + ( ): (-) ( 6) ( ) f) 6: + ( ) 1: ( ) g) ( ) [ ( ) + ( ) ] h) ( ) ( 7) ( ) (8 6) i) 6 [ (+) (+7) ] j) 10 (+0) : [ 7 + ( ) ] k) [ ( 9) + ( ) ] : 6 l) (9 6) ( ) + (1 + ) : ( ) 7

8 9. Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) 6 [6 7 ( - )] (+7) + (- ) = b) [ ( 6) + (- 7 + )] [- (- ) + (- 6 + )]- (- 7+) = c) ( 7 + 6) : (- 9) = d) ( ) : ( ) = e) [(- ) (- ) (- )] : (- ) = f) [ (- 6 + ) + ]- 1 = g) (- ) (6 + ) = h) 7 + [- (- ) + ] 1 = i) 6 [ ( ) + ] + = j) (- ) + [- (+ - ) + 1] = k) [- (- 1) (- 6) ] + 7 = l) (- ) + [7 + (- 6)] : (- ) = m) ( 6 : ) +(6: + ) - (- 1 : ) = n) (- 0) : (+10) (- 1) : (- ) = ñ) + : (- 1- +) ( - - 7) : (- 10) = o) [1 ( 9 ) 7] + = p) 7 [ ( : ) + 7] = q) 8 [ ( + ) : 6 ] : = r) + 6 : 9 0 : ( ) = s) [ + ( : +)] (16 7) = t) [ + : (6 )] [- : + : ] = u) + 8 : [ (6 10) 17] = v) - [ (- - 6) (- 6)] [- (- 8)] = w) - + [ ( + )] : = x) [ (- 0 10)] : 7 + [ (- 1)] = y) - (-) + (-) = z) -1 (-1) = 60. Calcula: a) b) c) d)

9 e) f) f g) ( ) + + ( ) + + ( 7) + 1 h) + ( 7) + ( 6) i) ( 1) - + ( ) + 6 ( 7) 8 + j) 1 ( 1) k) ( ) ( 6) 1 11 l) 1 ( 1) ( ) + ( 10) m) ( ) + ( + ) + + (7 + 1 ) n) ( + ) (8 1) + ( + 1) 8 o) (7 ) (1 ) p) ( ) + ( ) q) 7 + ( 6) + (6 + ) r) + ( 11) (8 + ) + (1 ) 61. Comprueba los resultados: 9

10 6. Realiza los siguientes ejercicios de 1º de ESO: 10

11 6. Cuál es el significado de la potencia x n, donde x y n son dos números naturales? 6. Enuncia las propiedades de las potencias de números naturales. 6. Calcula: Escribe con una sola potencia : : : 6 8 : : : : 7 10 :10 : 67. Escribe con una sola potencia: Simplifica escribiendo el resultado en un sola potencia: 7 1 : 8 : : : 1 : 9 : 7 1 : :1 7 6 : : 18 : 6 1 : : : 1 : 6 1 : : : 1 : : 11

12 69. Realiza las siguientes operaciones con potencias de la misma base y expresa el resultado en forma de potencia: a) = 7 : 8 = b) = (7 ) = c) : = ( ) : 18 = d) ( 6 ) :( ) = ( ) = e) ( 17 : 7 ):( ) = :( : )= f) ( ) ( ) : = 10 :( ) = g) ( 17 ):( ) 10 = :( : )= 70. Realiza las siguientes operaciones con potencias del mismo exponente y expresa el resultado en forma de potencia: a) (81 : ):9 = ( ): = b) :6 = 1 = c) 7 = 0 :0 = d) (16 : ): = (9 ):1 = e) 7 :9 = 1 :6 = f) 7 :1 = 0 :8 = 71. Escribe el número que falta en la casilla en cada caso: = = 9 = = : = : = : = :7 =7 ( ) = ( ) 6 = 0 ( ) = (7 ) = Enuncia las propiedades de las potencias de los números enteros. 7. Halla el valor de las siguientes potencias: (-1) 7 (-) (+) (-) (-) (-) 6 (-) 1 (-10) (-) 0 (-8) 1

13 7. Compara los valores de cada par de potencias: a) y b) 10 y c) y d) y e) 11 y 10 ( ) ( 11) 7. Calcula: (-) = (- ) 6 = (-) = (-) 7 = 0 = 0 = 0 = 0 = (-) 0 = (-) 0 = 1 = 7 1 = (-10) = 1 = 1 = 1 = - = -1 = (-) = (-1) = (-)² = - ² = (-) 0 = - 0 = 76. Halla el valor de x en cada caso: a) ( - ) x = 16 x² = + b) ( - ) x = - 7 x 6 = +1 c) ( + 6) x = 6 x = d) ( - ) x = -1 x³ = -6 e) (- 10) x = x 7 = -1 f) x = 01 ( - 10) x = Calcula el valor de: 78. Calcula el valor de: 6 ( ) a) 0 b) 10 ( 10) 10 ( 10) 1 c) ( ) ( 1) : ( ) ( 9) : ( ) d) 1

14 79. Reduce a una sola potencia: a) ( ) ( ) b) c) 6 ( ) 6 d) 16 ( ) e) 1 : 8 f) 10 : ( 10) 80. Expresa como potencia de un único número: a) 7 ( 7) : ( 7) 6 b) c) d) 10 7 e) f) 81. Escribe como una sola potencia el resultado de: 8 : 6 a) 1 : ( ) : b) 10 : ( ) : ( ) c) : d) 8 e) 7 : 7 ( 7) 9 : : f) g) 6 : ( ) : h) 8. Opera y simplifica: a) 10 : ( ) : 0 7 b) 1 : c) 9 d) e) 8 : 9 ( ) f) : 1 g) h) 8 ( ) : 0 7 i) ( 1) : 1

15 8. Enuncia las propiedades de las raíces de los números enteros: 8. Calcula, si existen, las siguientes raíces: 8. Calcula: a) 1 b) 6 c) 00 d) 8 e) 16 f) g) h) a) ( ) ( ) : 7 b) 1 ( ) 9 ( ) c) 7 6 : ( ) ( d) ) ( ) 7 1 e) ( 7) 7 : 6 f) ( ) ( ) g) 1 18 : ( ) 1 ( ) : ( ) 8 h) i) ( 9) 7 1

16 86. Calcula: 16

17 17