Matemáticas. Números naturales y operaciones

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1 Matemáticas Departamento de Matemáticas Números naturales y operaciones 1.- Para qué sirven los números: - Para contar, para ordenar, para hacer operaciones y problemas, para medir, para expresar códigos, etc Para medir. Empleamos el número seguido de la unidad de medida correspondiente. 5 litros, 7 m, 1.2. Para ordenar. Son los números ordinales: 1 primero 6 sexto 20 vigésimo 70 septuagésimo 2 segundo 7 séptimo 30 trigésimo 80 octogésimo 3 tercero 8 octavo 40 cuadragésimo 90 nonagésimo 4 cuarto 9 noveno 50 quincuagésimo 100 centésimo 5 quinto 10 décimo 60 sexagésimo 1.3. Para expresar códigos. Representamos una determinada información en forma de números. Por ejemplo: Los códigos de barras del "super", el D.N.I., el N.I.F., la matrícula de un coche Nuestro sistema de numeración: - Es decimal y posicional. - Tiene a cifra 0. - Tiene diez signos distintos con los que formamos cualquier número (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). - Está formado por infinitos números naturales. El conjunto de todos los números naturales se representa por la letra N Posicional: Es posicional porque el valor de una cifra depende de su posición en el número. Ejemplo: 2456, 4526, etc Decimal: Es decimal porque diez unidades de un orden forman una unidad del orden siguiente. Así: 10u = 1d; 10d = 1c; 10c = 1um; etc. 3. Descomposición (y composición) de números: Podemos descomponer los números de dos formas: a) En órdenes de magnitud. Por ejemplo: 624 = 6c, 2d, 4u. b) En forma polinómica. Por ejemplo: 624 = = Comparación y ordenación de números: Para comparar y ordenar números naturales podemos emplear la recta numérica:

2 5. Multiplicación. Concepto: - La multiplicación se puede interpretar: a) Como una suma de sumandos iguales. b) Como el conjunto de posibilidades conseguidas al combinar los elementos de dos o más conjuntos.. Ejemplos: Un labrador planta 12 filas de 5 árboles en cada una. Cuántos árboles plantó en total? Plantó 12 x 5 = 60 árboles en total. Sandra tiene 4 faldas de colores (blanca, negra, verde y marrón) y 3 camisetas de colores (azul, blanca y roja). Quiere saber cuantas posibilidades tiene de vestirse de forma diferente y cuales son esas combinaciones. Para saber cuales son todas las posibilidades solo hay que: 4 x 3 = 12 posibilidades. Para saber cuales son las combinaciones se hace el diagrama en árbol:

3 Números Naturales. Potencia y raíz cuadrada 1.-Potencias: 1.1. Concepto: - Una potencia es un producto de factores iguales expresado de forma simplificada. Ejemplo: 5 x 5 x 5 x 5 se puede escribir 5 4 y se lee "5 elevado a 4. Base Es el factor que se repite 5 4 Exponente Indica el número de veces que se multiplica la base. Notas: 1- Cuadrados: Las potencias de exponente 2 son cuadrados. Ejemplo: 7 2 (siete elevado al cuadrado). Recordamos los cuadrados de los 12 primeros n : 0 2 = 0 0 = = 7 7 = = 1 1 = = 8 8 = = 2 2 = = 9 9 = = 3 3 = = = = 4 4 = = = = 5 5 = = = = 6 6 = Cubos: Las potencias de exponente 3 son cubos. Ejemplo: 2 3 (2 al cubo). Recordamos los cubos de los 5 primeros n : 0 3 = = = = = = = = = = = = Potencias de base 10: Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique el exponente. Ejemplo: 10 2 = = = Las potencias de base 10 nos permiten: a) Expresar abreviadamente números grandes: Ejemplo: = b) Descomponer números: Ejemplo: = = Potencias de exponente 1: Las potencias de exponente 1 son iguales a la base: Ejemplo 7 1 = 7; 15 1 = Potencias de exponente 0: Las potencias de exponente O son iguales a la unidad: Ejemplo: 5 =1 8 = Operaciones con potencias: Producto de potencias de la misma base: Para multiplicar potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes. Ejemplo: = = 2 6 = = Cociente de potencias de la misma base: Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base e se restan los exponentes. Ejemplo: 2 8 : 2 6 = 28-6 = 2 2 =2 2 = Potencia de otra potencia: Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes. Ejemplo: (2 3 ) 2 = = 2 6 = = 64

4 2. Raíz cuadrada: 2.1. Concepto: - Encontrar la raíz cuadrada de un número, es encontrar otro número que elevado al cuadrado nos de el primero. 2 Ejemplo: 25 5 porque 5 2 = 25 - Es el signo de la raíz, se llama radical. - 2 Es el índice de la raíz y cuando es 2 se puede omitir Es el radicando. - 5 Es el resultado o raíz cuadrada Tipos: Exacta: Ejemplos: Aproximada: Ejemplo: Tengo 22 monedas. Puedo colocarlas formando un cuadrado? Para saberlo tengo que buscar un número que multiplicado por si mismo dé 22. No hay ningún número natural que multiplicado por si mismo dé 22. La raíz cuadrada de 22 es mayor que 4 pero menor que 5: La raíz cuadrada de 22 es un número decimal comprendido entre 4 y 5.

5 Números. Múltiplos y divisores Departamento de Matemáticas 1.- La relación de divisibilidad: Múltiplos y divisores Si al dividir dos números la división es exacta, al número que está en posición de dividendo lo llamamos múltiplo y al que está en posición de divisor (y de cociente), divisor. NOTAS: - El 0 es múltiplo de todos los números pero no es divisor de ninguno. - El 1 es divisor de todos los números pero solo es múltiplo de sí mismo. - El segundo múltiplo de cualquier número es el propio número. - Cada número es a la vez múltiplo y divisor de sí mismo. 2.- Tabla de números primos. Criba de Eratóstenes En la tabla vamos a tachar todos los números que son compuestos: 1 Tachamos todos los múltiplos de 2 (menos el 2), porque son compuestos. 2 Tachamos ahora los múltiplos de 3 (menos el 3). Cuál es el primer múltiplo de 3 que tachas? Fíjate que está eliminado el 6 porque es también múltiplo de 2. 3 Los múltiplos de 4 son múltiplos de 2 y ya están tachados. 4 Tacha los múltiplos de 5 (menos el 5). Cuál es el primer múltiplo que estaba aún sin tachar? 5 Por que están tachados ya los múltiplos de 6? (Observa que son también múltiplos de 2) 6 Suprime ahora los múltiplos de 7. El primer múltiplo sin tachar es?. Por qué? 7 Por qué no queda sin tachar ningún múltiplo de 8, de 9 o de 10? 8 Intenta suprimir todos los múltiplos de 11, menos el 11. Comprobarás que ya están tachados. El primer múltiplo de 11 que podrías tachar sería 11 x 11 = 121 no está en la tabla. Los números que quedan sin tachar son primos. Este procedimiento lo empleó por primera vez el matemático griego Eratóstenes. Por esto se llama CRIBA DE ERATÓSTENES.

6 3.- Criterios de divisibilidad - Por 2: Un número es divisible por 2 cuando acaba en cero o cifra par. - Por 3: Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. - Por 5: Un número es múltiplo de 5 cuando acaba en 0 ó en 5. - Por 11: Un número es múltiplo de 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y de las de lugar impar es múltiplo de 11. Ejemplo: 2134 es múltiplo de 11 porque (2+3) - (1+4) = 5-5 = 0, y 0 es múltiplo de Cálculo de los divisores de un número por el método del diagrama en árbol (Números grandes) Vamos a calcular todos los divisores de un número, por ejemplo los divisores de 60: 1 Descomponemos el número en factores primos: 60 = Escribimos todos los divisores de cada factor: D(4) = {1,4} D(3) = {1,3} D(5)={1,5} 3 Construimos un diagrama en árbol con los divisores obtenidos y resolvemos todos los productos que se puedan formar: 4 Finalmente escribimos ordenadamente, de menor a mayor todos los divisores obtenidos: D(60) = {1,2,3,4,5, 6,10,12,15,20,30,60}