TEMA 1 MATEMÁTICAS 1º E.S.O.

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1 TEMA 1 MATEMÁTICAS 1º E.S.O. NÚMEROS NATURALES. SISTEMA DE NUMERACIÓN El conjunto de los números naturales es ilimitado y está formado por: N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número. Ejemplo: Determina el valor de la cifra 8 en el número unidades de millar = 8000 unidades Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí: Ejemplo: 5 mayor que 3 5 > 3 5 menor que 9 5 < Señala el valor de la cifra 3 en estos números: a) decenas de millar = unidades b) = c) = 2.- Escribe 3 números que tengan 4 unidades de millar, 7 decenas y 5 unidades. a) b) c) 3.- Escribe 4 números mayores que y menores que cuya cifra de las decenas sea igual que la cifra de las unidades. a) b) c) d) 4.- Si n es un número natural, qué valores puede tomar n si sabemos que es menor que 7? Y si es mayor que 12? Si es < 7 puede tomar los valores: Si es > 12 puede tomar 5.- Ordena de mayor a menor los siguientes números naturales: 8, 121, 3, 15, 61, 36, 0, 7. > > > > > > > 6.- Ordena de menor a mayor los siguientes números naturales: 3, 22, 1, 12, 0, 25, 37, 15, < 1 < 3 < 12 < 15 < 22 < 25 < 30 < Escribe un número de 4 cifras que tenga las mismas unidades de millar que decenas y una unidad más que centenas. 8.- Un número capicúa de 4 cifras tiene 5 centenas y 3 unidades De que número se trata?

2 SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO El sistema de numeración romano es aditivo, es decir, cada letra tiene siempre el mismo valor. El valor de las 7 letras utilizadas es: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 Escriba aquí la ecuación.d = 500 M = Reglas a seguir: o Suma: una letra escrita a la derecha de otra de igual o mayor valor, le suma a esta su valor. XVI = = 16 CLV = = 155 o Repetición: las letras I, X, C y M se pueden escribir hasta 3 veces seguidas. Las demás letras no se pueden repetir. III = 3 XXX = 30 CCC = 300 MMM = o Sustracción o restas: la letra I escrita a la izquierda de V o X, la X a la izquierda de L o C, y la C a la izquierda de D o M, les resta a esta su valor. IV = 4 XC = 90 CM = 900 o Multiplicación: una raya colocada encima de una letra o grupo de letras multiplica su valor por mil. V I = V I = XL = Expresa en el sistema de numeración decimal estos números romanos: a) XLVIII: f) IVCDXXX: b) CXCIV: g) DCCXCIII: c) CMLXXXIX: h) MMCCII: d) XXXIV: i) XCXL: e) MMMDLXXX: j) MXXIX: 10.- Expresa en números romanos: a) 166: d) : b) 449: e) : c) 911: f) : MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES La multiplicación es la expresión abreviada de una suma de varios sumandos iguales. Los términos de la multiplicación se llaman factores. El resultado final se llama producto. Ejemplo: expresa como un producto = 3 5 = 15 La multiplicación cumple las siguientes propiedades: o Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.

3 5 7 = = 35 o Asociativa: el orden en el que agrupamos los factores no altera el producto. (2 3) 4 = 2 (3 4) 6 4 = = 24 o Elemento neutro o unidad: es el 1, ya que cualquier número multiplicada por 1 es igual al mismo número. 5 1 = 5 o Distributiva: el producto de un número por una suma o resta es igual a la suma o resta de los productos del número por cada término. 3 (2 + 5) = = = Expresa como un producto: = = 12.- Aplica la propiedad distributiva: a) 7 (4 + 10) = b) 18 (7 2) = = = = = 13.- Mario ha comprado 5 cajas de pinturas. Si en cada caja hay 18 pinturas, cuántas pinturas tiene en total? 14.- Un edificio tiene 27 plantas. En cada planta hay 12 viviendas, y en cada vivienda, 7 ventanas. Cuántas ventanas hay en el edificio? DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto. División exacta: cuando el resto es cero. División entera o no exacta: cuando el resto es distinto de cero. Prueba de la división: dividendo = divisor cociente + resto 15.- Completa la tabla: Dividendo Divisor Cociente Resto

4 16.- El dividendo de una división es 1 512, el divisor es 8 y el cociente es 189. Halla el resto sin efectuar la división. D = d c + r = r = r = r 0 = r El resto es El dividendo de una división es 1 349, el divisor es 27 y el resto es 26. Halla el cociente sin efectuar la división. D = d c + r 18.- Pedro tiene 79 para comprar sillas. Sabiendo que cada una cuesta 7, cuántas sillas puede comprar? Cuánto le sobra? 19.- Vamos a repartir 720 entre tres personas y se sabe que la primera recibirá 280. Cuánto recibirán las otras dos si el resto se reparte en partes iguales? POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. = a a a a (n veces) a es la base, el factor que se repite. n es el exponente, el número de veces que se repite la base. a n POTENCIAS DE BASE 10 Una potencia de base 10 y exponente un número natural es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente. Ejemplo: Halla el valor de las siguientes potencias de base 10. a) 10 3 = = b) 10 5 = = PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes. a m a n = a m + n

5 Ejemplo: Escribe estos productos de potencias como una sola potencia. a) = = 3 6 b) = = 2 6 COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE Para dividir dos potencias con la misma base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes. a m : a n = a m-n Ejemplo: Calcula el cociente de potencias: 3 5 : 3 2 = = 3 3 = = 27 POTENCIAS DE EXPONENTE 1 Una potencia de exponente 1 es igual a la base a 1 = a Ejemplo: 5 3 : 5 2 = 5 1 = 5 POTENCIAS DE EXPONENTE 0 Una potencia de exponente 0 es igual a 1 a 0 = 1 Ejemplo: 5 3 : 5 3 = 5 0 = 1 POTENCIA DE UNA POTENCIA Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes. Ejemplo: Calcula la siguiente potencia: (3 3 ) 2 = = 3 6 = 729 POTENCIA DE UNA MULTIPLICACIÓN Potencia de una multiplicación es igual al producto de las potencias de sus factores. (a b) n = a n b n Ejemplo: Calcula de dos maneras (3 2) 3 : a) Aplicando la definición de las potencias: (3 2) 3 = (3 2) (3 2) (3 2) = = 216 b) Aplicando la propiedad anteriormente reseñada: (3 2) 3 = = 27 8 = 216 POTENCIA DE UNA DIVISIÓN Potencia de una división es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor. (a : b) n = a n : b n Ejemplo: Calcula de dos maneras (8 : 2) 3 : a) Aplicando la definición de las potencias: (8 : 2) 3 = (8 : 2) (8 : 2) (8 : 2) = = 64 b) Aplicando la propiedad anteriormente reseñada: (8 : 2) 3 = 8 3 : 2 3 = 512 : 8 = 64

6 20.- Indica cuál es la base y el exponente. a) 2 8 Base: Exponente: b) 3 12 Base: Exponente: 21.- Escribe como potencia de base 10. a) Un millar b) Un millón c) Mil millones d) Un billón 22.- Escribe el número que corresponde a cada descomposición polinómica: a) = b) = c) = 23.- Escribe las descomposición polinómica de los números siguientes: a) = = 24.- Calcula las siguientes potencias: a) 2 8 = b) 7 4 = c) 9 3 = d) 13 1 = e) 25 0 = 25.- Escribe como una sola potencia: a) = b) = c) = d) = 26.- Escribe cada potencia como producto de dos potencias de igual base. a) 8 5 = b) 4 6 = c) = 27.- Expresa como una sola potencia: a) 6 8 : 6 3 = b) 2 15 : 2 7 = c) 6 5 : 3 5 = d) 4 6 : 2 6 = 28.- Calcula: a) (2 7 : 2 4 ) : 2 2 = b) (7 9 : 7 3 ) : 7 4 = c) 11 5 : (11 6 : 11 3 ) = d) 4 5 : (4 6 : 4) =

7 29.- Escribe cada potencia como cociente de dos potencias de igual base. a) 4 10 = b) 7 9 = c) 12 6 = Hay múltiples respuestas. Hay que tener en cuenta que la resta de los exponentes sea igual al exponente de cada apartado Expresa como una potencia: a) (5 4 ) 2 = b) (7 3 ) 3 = c) (6 5 ) 2 = 31.- Expresa como producto o cociente de potencias. a) (3 2) 4 (3 2) 5 = b) (14 5) 7 : (14 5) 4 = 32.- Sustituye las letras por su valor para que se cumpla la igualdad. a) (3 5 ) n = 325 b) (12 n ) 6 = 1218 c) (8 3 ) n = Escribe como producto de una potencia por la potencia de una potencia. a) 7 8 = b) = c) = 34.- Escribe como cociente de una potencia entre la potencia de una potencia. a) 7 8 = b) = c) = RAÍCES CUADRADAS La raíz cuadrada de un número a es otro número b tal que, al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número a. 2 a = b, cuando b 2 = a ; en la raíz cuadrada no se pone el 2 en el símbolo Símbolo de la raíz a = b Raíz Radicando Ejemplo: 4 = 2 Radicando: 4 Raíz: 2

8 Una raíz cuadrada es exacta cuando el resto es cero. A los números cuya raíz cuadrada es ex acta se les denomina cuadrados perfectos. Ejemplo: 25 = 5 Prueba: (raíz exacta) 2 = radicando, es decir, 5 2 = 25 Una raíz cuadrada es entera cuando tiene resto. Ej.: 26 = 5 y resto 1 Prueba: (raíz exacta) 2 + resto = radicando, es decir, = Halla la raíz cuadrada de los siguientes cuadrados perfectos. a) 4 = b) 9 = c) 16 = d) 49 = e) 81 = f) 121 = g) 196 = h) 225 = i) 625 = j) 3136 = 36.- Calcula la raíz cuadrada entera y el resto. a) 103 = ; resto b) 119 = ; resto c) 87 = ; resto d) 77 = ; resto e) 66 = ; resto f) 55 = ; resto JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES Cuando en una expresión aparecen operaciones combinadas, el orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente: 1) Las operaciones que hay entre paréntesis, corchetes y llaves. 2) Las potencias y raíces. 3) Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 4) Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. Ejemplo: : 7 = = 31 2 = Calcula a) = b) (11-7) (8 + 2) = c) 3 ( ) : = 4

9 d) (3 3-2) = e) = f) ( 9-4) ( 9 + 4) = g) (5 2-1) : = h) (2 3-1) = i) : 3 = j) : 5 = k) : = APROXIMACIONES DE NÚMEROS NATURALES Aproximar un número es sustituirlo por otro número cercano a él. Dos métodos para aproximar un número son el truncamiento y el redondeo. Aproximación por truncamiento. Truncar un número a un cierto orden es sustituir por ceros las cifras de los órdenes inferiores a él. Ejemplo: Truncamos a las centenas el número Truncamiento = Aproximación por redondeo. Para redondear un número a un cierto orden: Si la cifra siguiente a la cifra del orden considerado es mayor o igual que 5, aumentamos esta última en una unidad y truncamos el resto. Si es menor, la mantenemos igual y truncamos el resto. Ejemplo: Redondea a las centenas el número Redondeo = Trunca a las decenas: a) b) Redondea estos números a las decenas de millar: a) b) Indica el valor posicional que tiene la cifra 1 en estos números. a) b) c) d)

10 41.- Expresa los siguientes números romanos en el sistema de numeración decimal. a) IV = b) IX = c) XXIX = d) XLIX = e) LXXXIX = f) XCVIII = g) CDXL = h) CMXCIX = i) MMXIII = j) XCIX CMXCIX = 42.- Expresa en números romanos estas cantidades. a) 19 = b) 47 = c) 88 = d) 94 = e) 333 = f) 990 = g) 449 = 940 = h) = i) = 43.- Calcula. a) ( ) : 3 3 = b) 4 3 (4 7 : 4 4 ) = c) (8 5 : 8 3 ) 8 2 = d) 7 5 : ( ) = 44.- Resuelve. a) (3 5 ) 2 (3 2 ) 4 = b) (7 3 ) 3 (7 2 ) 4 = c) (9 5 ) 3 (9 4 ) 3 = d) (11 6 ) 2 (11 3 ) 4 = 45.- Indica como una sola potencia. a) (6 2 ) 5 : (6 3 ) 3 = b) (8 7 ) 2 : (8 3 ) 4 = c) (10 8 ) 3 : (10 4 ) 5 = d) (2 9 ) 2 : (2 3 ) 5 =

11 46.- Calcula las siguientes expresiones. a) 3 9 : [(3 2 ) 5 : 3 7 ] 3 3 = b) (7 2 ) 3 (7 5 : 7 2 ) : (7 2 ) 4 = 47.- Calcula las siguientes raíces cuadradas exactas: a) 144 = b) 324 = c) 784 = d) 7921 = e) = 48.- Halla la raíz cuadrada y el resto de: a) 161 = ; resto: b) 395 = c) 876 = d) = e) = 49.- Resuelve. a) : 4 - (180 : 9) : 5 = b) ( ) : = c) (17-5) - 28 : 2 = d) ( ) : = 50.- Calcula el valor de estas expresiones. a) 66 : (15-9) + 7 (6 : 2) - 12 : 2 = b) 7 ( ) : (12-5) + 7 ( ) = c) 3 (15 : 3-2) + (8 + 20) : 4 1 = d) 38 - (30 : 6 + 5) : 2 = e) 8 (28-14 : 7 4) : ( ) = f) [200-3 (12 : 4-3)] : 7 = 51.- Efectúa estas operaciones. a) 7 (5 + 3) = b) ( ) : (4 2 12) = c) (10 2 : 5 2 ) = 52.- Aproxima, mediante truncamiento y redondeo, a las centenas. a) Truncamiento Redondeo b) c) d)

12 53.- En un partido de baloncesto, los máximos anotadores han sido Juan, Jorge y Mario. Juan ha logrado 19 puntos, Jorge 5 puntos más que Juan y Mario 7 puntos menos que Jorge. Cuántos puntos han obtenido entre los tres? 54.- Si ganase 56 más al mes podría gastar: 420 en el alquiler de la casa, 102 en gasolina para el coche, 60 en la manutención y 96 en gastos generales, y ahorraría 32. Cuánto gano al mes? 55.- María tiene 11 años y es 4 años menor que su hermano. Entre los dos tienen 19 años menos que su madre. Cuántos años tiene la madre? 56.- Un generador eléctrico consume 9 litros de gasolina a la hora y una bomba de agua 7 veces más. Cuántos litros consumen entre los dos al cabo de 5 horas? 57.- Pedro tiene 100 para comprar sillas. Sabiendo que cada una cuesta 7, cuántas sillas puede comprar? Cuánto le sobra? 58.- Un coche va a 110 km/h y otro a 97 km/h. Cuántos quilómetros le llevará de ventaja el primer coche al segundo al cabo de 9 horas? 59.- Fernando y María están esperando una fiesta y compran 12 botellas de 2 litros de naranja, 12 de limón y 12 de cola. a) Cuántos litros han comprado? b) Si cada botella de 2 litros cuesta 2, cuánto dinero se han gastado? a) b) 60.- En un vivero tienen plantados pinos. a) Si los venden en grupos de 12 pinos a 4 cada grupo, cuánto dinero obtienen? b) Cuántos pinos más necesitarían para vender pinos por un valor de 600? 61.- Tenemos 320 kg de naranjas que se quieren empaquetar en bolsas de 12 kg, 5 kg y 3kg. Cuántas bolsas se necesitan como mínimo?