Matemáticas. Matemáticas AVANZA tiene como meta que el alumno alcance los contenidos mínimos de la materia.

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1 Matemáticas SERIE AVANZA ESO Presentación Matemáticas AVANZA tiene como meta que el alumno alcance los contenidos mínimos de la materia. Su planteamiento es sencillo y directo. Los contenidos se organizan en dobles páginas formadas por: Un texto claro y estructurado. Unas actividades de repaso y refuerzo del texto al que acompañan. Cada unidad se completa con elementos que facilitan el estudio: esquemas, resúmenes finales, autoevaluaciones..., sin olvidar el trabajo de las competencias básicas del área. Un material adecuado para distintas situaciones y contextos de aula: diversificación, adaptación curricular, PMAR...

2 8 Minuendo Sumandos actores Sustraendo Resto 0 3 Cociente Símbolo a = b de la raíz Radicando Raíz Sumando Sumando Suma o total Minuendo Sustraendo Diferencia Dividendo Resto actor actor Producto Divisor Cociente 3 Esquema del libro La estructura de las unidades didácticas es muy regular y sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de las actividades propuestas. Introducción a la unidad: dos elementos básicos, una base sólida y una motivación adecuada. Empezamos la unidad con la imagen de algún invento importante de la historia. Números naturales Números naturales SABER Sistemas de numeración Propiedades de las operaciones con números naturales Potencias. Operaciones con potencias Raíz cuadrada Operaciones combinadas En Saber se especifican los contenidos y en Saber hacer, los procedimientos de la unidad. SABER HACER Leer números romanos Efectuar operaciones combinadas con potencias y raíces CLAVES PARA EMPEZAR Valor de una cifra en un número Operaciones con números naturales Claves para empezar te permitirá recordar los contenidos previos necesarios para entender lo que estudiarás. El valor de cada cifra en un número depende de la posición que ocupa dentro del número. Calcula el valor de cada cifra en el número ACTIVIDAD 6 unidades 3 D = 30 unidades 0 C = 0 unidades UM = 000 unidades DM = unidades Determina el valor de la cifra 3 en estos números. a) b) 37 c) Suma Multiplicación Resta ACTIVIDAD Calcula el término que falta. a) = 68 b) = 8406 c) 84? = 7988 d) : 43 = # División Páginas de contenido: Saber y Saber hacer como un todo integrado La propuesta para Saber son unos textos claros y estructurados. Los ejemplos resueltos te ayudarán a afianzar esos saberes. Propiedades de las operaciones con números naturales DEBES SABER HACER Cómo se llaman los términos de una suma, del producto, de la resta y de la división? = 60 Suma 34? 0 = 340 Producto 8 - = 6 Diferencia Dividendo 43 4 Divisor.. Propiedades de la suma y de la multiplicación Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos o de los factores no varía el resultado. SABER HACER Efectuar operaciones combinadas con potencias y raíces Calcula el resultado de esta operación. 0 - (4 + ) : 6 +? (7-4) + 3 Pasos que hay que seguir. Efectuamos las operaciones que están entre paréntesis.. Calculamos las potencias y las raíces. 3. Resolvemos las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha. 4. Efectuamos las sumas y las restas de izquierda a derecha. 0 - (4 + ) : 6 +? (7-4) + 3 = = 0-6 : 6 +? = = 0-36 : 4 +? = = = = = Números naturales Tan importante como saber es Saber hacer. En esta sección aprenderás, paso a paso, los procedimientos expuestos en las páginas teóricas. Al lado de los textos explicativos hallarás informaciones complementarias. Además, en Resuelve el reto pondremos a prueba tus conocimientos, tu intuición y tu razonamiento matemático. La propiedad distributiva también se cumple respecto a la resta. 3? ( 4) = 3? 3? 4 RESUELVE EL RETO Por qué razón Bart Simpson dice: «Multiplícate por cero!» Propiedad asociativa. El orden en que se hagan las sumas no afecta a su resultado. Pasa lo mismo con las multiplicaciones. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. Un número por una suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos. 3. Identifica la propiedad que hemos utilizado en cada caso. a) = " Propiedad conmutativa de la suma b) (6? )? 4 = 6? (? 4) " Propiedad asociativa de la multiplicación c)? (3 + 9) =? 3 +? 9 " Propiedad distributiva.. Propiedades de la resta y de la división En una resta: el sustraendo más la diferencia es igual al minuendo. En una división: el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, y el resto tiene que ser menor que el divisor. D = d? c + r r < d 4. Calcula y comprueba que has hecho correctamente la operación. a) = 80 Comprobación: = 70 b) 3 Comprobación: d =, c = 6, r = " 3 =? Y además, < = = = 4 7 CÁLCULO MENTAL. Calcula el resultado de estas operaciones. a) 4? 9-3? 3 = d) 8 - ( 4-3? 4)? = b)? (6 + ) = e) : ( - )? 3 = c) : (6 - ) + 8 = f ) (? 7-3)? 4 = 8 Calcula. Para trabajar con potencias y raíces primero hay que calcular su valor. a) ( - 3 )? + 9 : 3 = = b) _ i? = = c) _ 4-69i : ( + ) = = d) 6 + : ( - 3) = = e) _8-4 i 3 - (3 4 : 9) = = f) _ 36 - i : = = 9 Determina los errores que se han cometido en esta operación y escríbela bien. _ + 6i? 8+ 3? 4 = ( + 4)? 9+ 3? = 9?? = 9? + 9? = = 6 = Las actividades que acompañan a Saber hacer tienen como objetivo consolidar y dominar los procedimientos aprendidos. Actividades de páginas teóricas: aplicación de los contenidos. Números naturales Raíz cuadrada La raíz cuadrada exacta de un número a es un número b tal que, si lo elevamos al cuadrado, obtenemos el número a. a = b, cuando b = a El radicando es el número a, es el símbolo de la raíz y decimos que b es la raíz cuadrada de a. CALCULADORA Para calcular la raíz de un número usamos la tecla. 69 " 69 3 Al final de cada apartado de contenidos, te proponemos actividades que debes saber resolver a partir de lo aprendido. Los números con raíz cuadrada exacta son cuadrados perfectos. 4. Calcula las raíces de estos cuadrados perfectos. a) =, ya que = f ) 36 = 6, ya que 6 = 36 b) 4 =, ya que = 4 g) 49 = 7, ya que 7 = 49 c) 9 = 3, ya que 3 = 9 h) 64 = 8, ya que 8 = 64 d) 6 = 4, ya que 4 = 6 i ) 8 = 9, ya que 9 = 8 e) =, ya que = j ) 00 = 0, ya que 0 = 00 0 Calcula estas raíces cuadradas. a) = d) = 3 Completa. La raíz cuadrada de un número y elevar al cuadrado este número son operaciones inversas. Si 49 = 7 entonces 7 = 49 Si 7 = 49 entonces 49 = 7 a) 3 =, por lo tanto 304 = Encontrarás numerosas actividades de cálculo mental. b) = e) 00 6 = c) = f ) = Completa. a) =, ya que = b) 79 =, ya que = 79 c) =, ya que = 96 d) =, ya que = 304 Completa. a) = d) 44= b) 44= 3 e) = c) 36 = f) 44= 9 b) 9 = 90, por lo tanto = c) 6 = 676, por lo tanto = d) 3 = 96, por lo tanto = 4 Comprueba si estas raíces están bien hechas. a) = SÍ NO b) = 39 SÍ NO c) = 00 SÍ NO d) 00 = SÍ NO Di si son correctas las afirmaciones siguientes. a) = 8, ya que 8 = 784 SÍ NO b) = 7, ya que 7 = 34 SÍ NO c) 00 9 = 3, ya que 3 = 9 SÍ NO

3 c) D = 7 30 c = 84 r = 6 f ) 9 4 = = tienen que cambiar en total? tres cuadros. El primero vale Obtendrán en total 9. Debes saber hacer...: repaso esencial. 6 Operaciones combinadas DEBES SABER HACER... Cómo se hacen operaciones combinadas de suma y resta? Para calcular sumas y restas sin paréntesis, tenemos que hacer las operaciones de izquierda a derecha. Para calcular sumas y restas con paréntesis, tenemos que hacer primero les operaciones que están dentro de los paréntesis.. Resuelve estas operaciones. a) = b) (9-3) - (39-6) - = = = = = = = = 3 = = = 40 - = = 9 Cuando en una expresión aparecen operaciones de suma, resta, multiplicación y división, el orden en el que tenemos que hacer las operaciones es el siguiente:.º Las operaciones que están entre paréntesis y corchetes..º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. En un gran número de páginas se incluye Debes saber hacer..., que es la sección donde repasarás contenidos o procedimientos que debes conocer para afrontar los nuevos contenidos. Esta sección también se refuerza con ejemplos resueltos. 6. Resuelve estas operaciones. a) 9 - : + 3? 6 = b) 4? 9 + (9-8) - : 6 = = = = 4? : 6 = = = = = = 6 = 37 - = = 3 6 CÁLCULO MENTAL. Calcula. a) 9 : 3 +? 7 = b) (4 + 4? )? - 4 = 4 Páginas de actividades finales: una manera práctica de aprender a aprender. INALES Sistemas de numeración 30 Indica el valor posicional de la cifra 3. a) 396 b) 463 c) Completa la tabla. Dividendo Divisor Cociente Resto Las actividades constan de tablas, esquemas y otros recursos para que las puedas desarrollar, completar o resolver en el mismo libro. 3 Indica el valor posicional de todas las cifras. a) 4 96 b) 3 70 c) d) 3 Escribe, en cada caso, tres números. a) Tiene ocho unidades, nueve centenas y dos unidades de millar. b) Tiene siete decenas, cinco unidades de millar y es capicúa de cuatro cifras. c) Tiene cuatro decenas de millar, cinco centenas y acaba en cero Resuelve estas divisiones y haz la prueba. a) 37 : = b) 4 63 : 8 = c) 9 : 37 = d) 0 : 9 = e) 9 00 : 3 = f ) 36 0 : 0 = 38 Encuentra el divisor. c = 36 r = 8 Divisor: b) D = 8 03 c = r = Divisor: 33 Expresa en el sistema de numeración decimal. Divisor: a) XXI " d) XLVIII " 39 Completa la tabla. b) DCXLVI " e) CMXXIV " c) DXXX " f ) MXXIX " Dividendo Divisor Cociente Resto 9 4 Cada actividad te ofrece la dificuldad que tiene. 34 Qué números del sistema decimal son estos números romanos? a) XIX " d) IVCDXX " b) CDXL " e) MMCIII " c) MMCIV " f ) MMMDLXXX " Propiedades de las operaciones con números naturales Potencias Subraya la base y rodea el exponente de estas potencias. a) 3 3 b) 34 c) 4 4 Escribe estas potencias como producto de factores y calcula su resultado. 3 Aplica la propiedad distributiva y calcula. a) 6? ( + 4) = b) 8? ( ) = c)? ( ) = a) 3 4 = = b) 6 = = c) 8 4 = = d) 7 6 = = d) ( )? = e) 3 = = 6 Problemas con números naturales 63 Un edificio tiene planta baja y cuatro pisos. La planta baja tiene m de altura y cada uno de los pisos mide 3 m. Cuál es la altura del edificio? Números naturales 67 En el taller tienen que cambiar las ruedas de 4 motos, camiones de 6 ruedas y 6 coches. Cuántas ruedas También encontrarás una gran cantidad de problemas que permitirán adaptar tus conocimientos a contextos reales. La altura del edificio es m. 64 Un barco traía 0 pasajeros y ha hecho paradas en tres puertos. En el primero han bajado 6 pasajeros, en el segundo han subido 6 y en el tercero han bajado 84. Cuántos pasajeros quedan a bordo? Tienen que cambiar ruedas. 68 Seis personas tienen 000 para los gastos de un viaje. Tienen que viajar en tren y en avión. El billete de tren cuesta 38 y el de avión,. Tienen suficiente dinero para hacer el viaje? Quedan a bordo pasajeros. tienen suficiente dinero para el viaje. 6 Para hacer un pastel grande de manzana se necesitan 3 manzanas y para hacer uno pequeño hacen falta manzanas. Cuántas manzanas son necesarias para hacer cuatro pasteles grandes y seis pequeños? SABER HACER Resolver problemas cuyos datos están relacionados 69 En una tienda de regalos hay Los Saber hacer de las actividades finales te ayudarán a reforzar los procedimientos básicos trabajados en la unidad. Se trata de ejercicios resueltos que muestran, paso a paso, un método general de resolución. Son necesarias manzanas. 66 En una hucha hay 46 y en otra, 4. a) Si todo el dinero son monedas de, cuántas monedas hay entre las dos huchas? Hay monedas. b) Si juntamos el dinero de las dos huchas, por cuántos billetes de lo podemos cambiar? 38, el segundo cuesta 7 más que el primero y el último vale 9 menos que el segundo. Si venden los tres cuadros, cuánto dinero obtendrán? primero. Tomamos el dato conocido. «El primer cuadro vale 38.» segundo. Calculamos los otros datos a partir del dato conocido. «El segundo cuesta 7 más que el primero.» = «El tercero vale 9 menos que el segundo.» - 9 = 36 tercero. Resolvemos el problema. Habría billetes = 9 9 3

4 Números naturales Números naturales SABER Sistemas de numeración Propiedades de las operaciones con números naturales Potencias. Operaciones con potencias Raíz cuadrada Operaciones combinadas SABER HACER Leer números romanos Efectuar operaciones combinadas con potencias y raíces CLAVES PARA EMPEZAR Valor de una cifra en un número El valor de cada cifra en un número depende de la posición que ocupa dentro del número. Calcula el valor de cada cifra en el número 036. ACTIVIDAD unidades 3 D = 30 unidades 0 C = 0 unidades UM = 000 unidades DM = 0000 unidades Determina el valor de la cifra 3 en estos números. a) b) 37 c) 4 3 Operaciones con números naturales Suma Resta ACTIVIDAD Sumando Sumando Suma o total Minuendo Sustraendo Diferencia Dividendo Calcula el término que falta. a) = 68 b) = c) 84? = d) : 43 = 7 Multiplicación 4 7 # División Resto 0 actor actor Producto Divisor Cociente

5 Sistemas de numeración.. Sistema de numeración decimal En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras diferentes: 0,,, 3, 4,, 6, 7, 8 y 9. Además, es un sistema posicional; cada cifra tiene un valor según su posición dentro del número. Cada 0 unidades forman una unidad del orden inmediatamente superior. La cifra 0 se usa para indicar que un número no tiene unidades del orden que ocupa. Centena de millón Decena de millón Unidad de millón Centena de millar Decena de millar Unidad de millar Centena Decena Unidad 07 " No tiene decenas. S. Descompón el número en los órdenes de unidades = D. de millón + 3 U. de millón + 4 CM + 6 DM + 9 D. Calcula el valor posicional de las cifras del número Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad de millón de millón de millón de millar de millar de millar Unidades 0 Decenas Centena = 00 unidades 8 Unidades de millar = 8000 unidades 9 Decenas de millar = unidades 0 Centenas de millar 9 Unidades de millón = unidades Decenas de millón = unidades Centena de millón = unidades.. Sistema de numeración romano El sistema de numeración romano utiliza siete letras diferentes: I = V = X = 0 L = 0 C = 00 D = 00 M = 000 Es un sistema aditivo, es decir, cada letra vale siempre lo mismo. Descompón en órdenes de unidades = U. de millón + CM + DM + UM + C + D + U 6

6 Números naturales SABER HACER Leer números romanos Escribe los siguientes números romanos en el sistema numérico decimal. a) XXVII b) IVCXCVI Pasos que hay que seguir. Transformamos cada letra en el equivalente que tiene en el sistema numérico decimal; debemos tener en cuenta que la raya que aparece encima de las letras multiplica su valor por Examinamos los números: si un número es más alto que el anterior, del segundo restamos siempre el primero. a) X 0 X 0 b) I? 000 a) X 0 X 0 V V I I V? 000 I I b) I V? 000? C 00 C 00 X 0 C 00 X C V V I I Regla de la multiplicación en los números romanos Si un número romano tiene una raya encima, su valor se multiplica por mil. LI = Sumamos los números resultantes. a) X 0 X 0 V I I b) I V? 000? " = 7 C 00 X C V I = 4 96 Escribe estos números romanos en el sistema de numeración decimal. a) II " b) VIII " c) XI " d) XXV " e) LXXV " f ) CXXXIII " g) CLXXI " h) DCCLXVIII " i) MCCXII " j) MMDLXXVIII " k) MDCCLXXXVI " l) MMMCCLXXIV " 3 Expresa en el sistema de numeración decimal. a) IV " g) XCVI " b) IX " h) CXLII " c) XIV " i ) CDIX " d) XL " j ) CDXLI " e) CM " k) CMXLI " f ) XC " l ) MCMXXXIV " 4 Escribe los siguientes números en el sistema de numeración decimal. a) IXCCXXII " e) IX " b) XXCCXLI " f ) VXXII " c) LCDLXXXVII " g) XIV " d) XLCDXLIV " h) IVV " 7

7 Propiedades de las operaciones con números naturales DEBES SABER HACER Cómo se llaman los términos de una suma, del producto, de la resta y de la división? = 60 Suma 34? 0 = 340 Producto Sumandos actores 8 - = 6 Diferencia Dividendo 43 4 Divisor Minuendo Sustraendo Resto 0 3 Cociente.. Propiedades de la suma y de la multiplicación La propiedad distributiva también se cumple respecto a la resta. 3? ( 4) = 3? 3? 4 Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos o de los factores no varía el resultado. Propiedad asociativa. El orden en que se hagan las sumas no afecta a su resultado. Pasa lo mismo con las multiplicaciones. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. Un número por una suma es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos. 3. Identifica la propiedad que hemos utilizado en cada caso. a) = " Propiedad conmutativa de la suma b) (6? )? 4 = 6? (? 4) " Propiedad asociativa de la multiplicación c)? (3 + 9) =? 3 +? 9 " Propiedad distributiva.. Propiedades de la resta y de la división En una resta: el sustraendo más la diferencia es igual al minuendo. En una división: el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, y el resto tiene que ser menor que el divisor. D = d? c + r r < d RESUELVE EL RETO Por qué razón Bart Simpson dice: «Multiplícate por cero!» 4. Calcula y comprueba que has hecho correctamente la operación. a) = 80 Comprobación: = 70 b) 3 Comprobación: d =, c = 6, r = " 3 =? Y además, < 8

8 Números naturales Completa e indica las propiedades que se aplican a cada igualdad. a) = +4 " Propiedad 9 Sin hacer la división, indica cuáles de estas divisiones tienen resto igual a 0. a) D = d = 9 c = 3 r =? b) 96 + = " Propiedad c)? 7 =? " Propiedad d) 4? = 8? 4 " Propiedad Tiene resto cero: SÍ NO b) D = 986 d = 7 c = 8 r =? e) ( + 7) + 3 = + ( + 3) " f ) + (8 + 37) = ( +8) + 37 " g)? (7? 0) = (? 7)? 0 " h) (4? )? 4 = 4? (? 4) " 6 Aplica la propiedad distributiva y calcula. a)? ( - 3) = b) (4-6)? 4 = c)? ( ) = d) ( )? 8 = e) 6? ( + 6) = f ) ( )? 6 = 7 CÁLCULO MENTAL. Detecta el error de estas expresiones y escríbelas correctamente. a) 4? (9-6) = 4? 9 + 4? 6 Tiene resto cero: SÍ NO 0 Calcula el dividendo de estas divisiones teniendo en cuenta que el resto es igual a 0. a) Cociente: 4 Divisor: 8 Dividendo: b) Cociente: Divisor: Dividendo: c) Cociente: 363 Divisor: 4 Dividendo: d) Cociente: 48 Divisor: 7 Dividendo: e) Cociente: 400 Divisor: 0 Dividendo: SABER HACER b) (7 + 8)? = 7? 8 + 7? c) (3 + )? = 3 +? d)? (0-3) =? Si D es el dividendo; d, el divisor; c, el cociente y r, el resto, calcula si son correctas las divisiones siguientes. a) D = 436 d = 7 c = 6 r = 9 La división es correcta: SÍ NO b) D = 083 d = 8 c = 37 r = 7 Calcular el divisor de una división de la que conoces dividendo, cociente y resto Calcula el divisor de una división de la que el dividendo es 34, el cociente, y el resto, 9. primero. Restamos el dividendo menos el resto. D - r = 34-9 = 3 segundo. Dividimos el resultado por el cociente y obtenemos el divisor. 3 : = El divisor de la división es. Halla el divisor. a) D = 79 c = 3 r = 3 Divisor: b) D =.30 c = 47 r = 4 Divisor: c) D = 30 c = 3 r = La división es correcta: SÍ NO Divisor: 9

9 3 Potencias de números naturales Una potencia es una manera abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: a n = a? a? a? a? a n veces a es la base, el factor que se repite. base 3 4G exponente n es el exponente, el número de veces que se repite la base.? = " lo leemos «elevado a» o «al cuadrado». 4? 4? 4 = 4 3 " lo leemos «4 elevado a 3» o «4 al cubo». 3? 3? 3? 3 = 3 4 " lo leemos «3 elevado a 4» o «3 a la cuarta». CALCULADORA Para calcular potencias con la calculadora utilizamos la tecla x. 4 6 " 4 x 6 = 4096 S. Escribe en forma de potencia las siguientes multiplicaciones. Multiplicación Potencia Lo leemos????? 6 «elevado a 6» o «a la sexta» 4? 4? «4 elevado a 3» o «4 al cubo» 6. Halla el valor de las siguientes potencias de base 0. a) 3 =?? = 8 > b) 9 = 9? 9 = 8 : c) 34 = > 3? 3? 3? 3 = 8 3veces veces 4 veces 3.. Potencias de base 0 Una potencia de base 0 y exponente un número natural es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. 7. Halla el valor de las siguientes potencias de base 0. a) 0 3 = > 0? 0? 0 = 000 : b) 0 = > 0? 0? 0? 0? 0 = > 3veces 3ceros veces ceros 3 Expresa en forma de potencia e indica su base y el exponente. a) Cuatro al cubo " b) Tres a la sexta " 4 Calcula. a) 4 = c) 0 3 = b) 6 = d) 3 3 = 0

10 Números naturales 4 Operaciones con potencias DEBES SABER HACER... Cómo expresamos un número como una potencia con exponente? Cualquier número es igual a una potencia con base este mismo número y exponente. = = 6 = 6 Antes de hacer las operaciones, comprueba si las dos potencias tienen la misma base. 4.. Producto y cociente de potencias con la misma base Para multiplicar dos o más potencias con la misma base, mantenemos la misma base y sumamos los exponentes. a m? a n = a m+n Para dividir dos potencias con la misma base, mantenemos la misma base y restamos los exponentes. a m : a n = a m-n S 8. Calcula estos productos. a) 7 4? 7 = 7 4+ = 7 6 b) 8 3? 8 = = Calcula estos cocientes. a) 9 : 9 3 = 9-3 = 9 b) 6 7 : 6 = = Potencias de exponente y 0 Una potencia de exponente es igual a la base " a = a. Una potencia de exponente 0 es igual a " a 0 =. 0. Calcula. a) = b) 3 0 = c) 3 = 3 d) 8 0 = Resuelve estas operaciones y escribe su resultado con una sola potencia. a) 7? 4 = c) 0 4? 0 = e) 4 6? 4 4 = g)? 3 = b) 3 : 3 = d) 6 : = f ) 7 3 : 7 = h) 8 : =

11 4.3. Potencia de una potencia RESUELVE EL RETO Cuál es el número mayor que se puede escribir con tres cifras? Para elevar una potencia a otra potencia, mantenemos la misma base y multiplicamos los exponentes. (a m ) n = a m? n. Calcula. a) (6 ) 3 = 6? 3 = 6 b) (8 ) 4 = 8? 4 = Producto y cociente de potencias con el mismo exponente Utilizando estas propiedades podemos simplificar los cálculos. 4? 4 = (? ) 4 = : 3 = (6 : ) 3 = 3 3 La potencia de una multiplicación es igual al producto de las potencias de sus factores. (a? b) n = a n? b n La potencia de una división es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor. (a : b) n = a n : b n S. Expresa como producto de dos potencias. a) (7? ) 3 = 7 3? 3 b) ( : 4) = : 4 3. Expresa estas operaciones como una sola potencia y calcula. a) 3 : 3 = ( : ) 3 = 3 3 = 7 b) 6? 6 = (? ) 6 = 0 6 = Escribe el resultado con una sola potencia. a) ( ) 3 = d) (7 6 ) 4 = b) (3 4 ) = e) (9 ) 4 = c) ( 3 ) 3 = f ) (0 0 ) = 8 CÁLCULO MENTAL. Escribe con una sola potencia. a) 4? 6 : 7 = d) 0? 0 6 : 0 3 = b) 3 : 3 3? 3 = e) 7 6 : 7 3? 7 4 = c) 3? 6 : = f ) 0 9 : 0? 0 = 7 Completa. a) (3 ) = 3 6 c) ( ) 3 = b) (4 ) = 4 d) ( ) = 8 9 CÁLCULO MENTAL. Completa con el número que falta. a) 7 : 3 = 4 c) 9 : 9 = 9 3 b) : 6 = 9 d) 3 9 : 3 = 3

12 Números naturales Raíz cuadrada La raíz cuadrada exacta de un número a es un número b tal que, si lo elevamos al cuadrado, obtenemos el número a. a = b, cuando b = a El radicando es el número a, es el símbolo de la raíz y decimos que b es la raíz cuadrada de a. Símbolo de la raíz a = b Radicando Raíz CALCULADORA Para calcular la raíz de un número usamos la tecla. 69 " 69 3 Los números con raíz cuadrada exacta son cuadrados perfectos. 4. Calcula las raíces de estos cuadrados perfectos. La raíz cuadrada de un número y elevar al cuadrado este número son operaciones inversas. Si 49 = 7 entonces 7 = 49 Si 7 = 49 entonces 49 = 7 a) =, ya que = f ) 36 = 6, ya que 6 = 36 b) 4 =, ya que = 4 g) 49 = 7, ya que 7 = 49 c) 9 = 3, ya que 3 = 9 h) 64 = 8, ya que 8 = 64 d) 6 = 4, ya que 4 = 6 i ) 8 = 9, ya que 9 = 8 e) =, ya que = j ) 00 = 0, ya que 0 = 00 0 Calcula estas raíces cuadradas. a) = d) = b) = e) 00 6 = c) = f ) = Completa. a) =, ya que = b) 79 =, ya que = 79 c) =, ya que = 96 d) =, ya que = 304 Completa. a) = d) 44= b) 44= 3 e) = c) 36 = f) 44= 9 3 Completa. a) 3 =, por lo tanto 304 = b) 9 = 90, por lo tanto = c) 6 = 676, por lo tanto = d) 3 = 96, por lo tanto = 4 Comprueba si estas raíces están bien hechas. a) = SÍ NO b) = 39 SÍ NO c) = 00 SÍ NO d) 00 = SÍ NO Di si son correctas las afirmaciones siguientes. a) = 8, ya que 8 = 784 SÍ NO b) = 7, ya que 7 = 34 SÍ NO c) 00 9 = 3, ya que 3 = 9 SÍ NO 3

13 6 Operaciones combinadas DEBES SABER HACER... Cómo se hacen operaciones combinadas de suma y resta? Para calcular sumas y restas sin paréntesis, tenemos que hacer las operaciones de izquierda a derecha. Para calcular sumas y restas con paréntesis, tenemos que hacer primero les operaciones que están dentro de los paréntesis.. Resuelve estas operaciones. a) = = = = = b) (9-3) - (39-6) - = = = = 40 - = = = = 9 = 3 Cuando en una expresión aparecen operaciones de suma, resta, multiplicación y división, el orden en el que tenemos que hacer las operaciones es el siguiente:.º Las operaciones que están entre paréntesis y corchetes..º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. 6. Resuelve estas operaciones. a) 9 - : + 3? 6 = b) 4? 9 + (9-8) - : 6 = = = = 4? : 6 = = = = = = 6 = 37 - = = 3 6 CÁLCULO MENTAL. Calcula. a) 9 : 3 +? 7 = b) (4 + 4? )? - 4 = 4

14 Números naturales SABER HACER Efectuar operaciones combinadas con potencias y raíces Calcula el resultado de esta operación. 0 - (4 + ) : 6 +? (7-4) + 3 Pasos que hay que seguir. Efectuamos las operaciones que están entre paréntesis. 0 - (4 + ) : 6 +? (7-4) + 3 =. Calculamos las potencias y las raíces. = 0-6 : 6 +? = 3. Resolvemos las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha. 4. Efectuamos las sumas y las restas de izquierda a derecha. = 0-36 : 4 +? = = = = = = = = 4 Para trabajar con potencias y raíces primero hay que calcular su valor. 7 CÁLCULO MENTAL. Calcula el resultado de estas operaciones. a) 4? 9-3? 3 = d) 8 - ( 4-3? 4)? = b)? (6 + ) = e) : ( - )? 3 = c) : (6 - ) + 8 = f ) (? 7-3)? 4 = 8 Calcula. 3 a) ( - 3 )? + 9 : 3 = = b) _ i? = = c) _ 4-69i : ( + ) = = d) 6 + : ( - 3) = = e) _8-4i 3 - (3 4 : 9) = = f) _ 36 - i : = = 9 Determina los errores que se han cometido en esta operación y escríbela bien. _ + 6i? 8+ 3? 4 = ( + 4)? 9+ 3? = 9?? = 9? + 9? = = 6 =

15 INALES Sistemas de numeración 30 Indica el valor posicional de la cifra 3. a) 396 b) 463 c) Completa la tabla. Dividendo Divisor Cociente Resto Indica el valor posicional de todas las cifras. a) 496 b) 370 c) 7890 d) 3 Escribe, en cada caso, tres números. a) Tiene ocho unidades, nueve centenas y dos unidades de millar. b) Tiene siete decenas, cinco unidades de millar y es capicúa de cuatro cifras. c) Tiene cuatro decenas de millar, cinco centenas y acaba en cero. 37 Resuelve estas divisiones y haz la prueba. a) 37 : = b) 463 : 8 = c) 9 : 37 = d) 0 : 9 = e) 900 : 3 = f ) 360 : 0 = 38 Encuentra el divisor. a) D = 60 c = 36 r = 8 Divisor: b) D = 803 c = r = Divisor: c) D = 730 c = 84 r = 6 Divisor: 33 Expresa en el sistema de numeración decimal. a) XXI " d) XLVIII " b) DCXLVI " e) CMXXIV " c) DXXX " f ) MXXIX " 34 Qué números del sistema decimal son estos números romanos? a) XIX " d) IVCDXX " b) CDXL " e) MMCIII " c) MMCIV " f ) MMMDLXXX " Propiedades de las operaciones con números naturales 3 Aplica la propiedad distributiva y calcula. a) 6? ( + 4) = b) 8? ( ) = c)? ( ) = d) ( )? = 39 Completa la tabla. Dividendo Divisor Cociente Resto Potencias 40 Subraya la base y rodea el exponente de estas potencias. a) 3 3 b) 34 c) 4 4 Escribe estas potencias como producto de factores y calcula su resultado. a) 3 4 = = b) 6 = = c) 8 4 = = d) 7 6 = = e) 3 = = f ) 9 4 = = 6

16 Números naturales 4 Escribe las expresiones en forma de potencia, si es posible. a)???????? " b) 4? 7? 4? 7? 4? 7 " c) 49? 49? 0? 0 " d) 7 " 43 Expresa con números. a) Diecisiete a la cuarta " b) Trece al cubo " c) Dos a la quinta " d) Quince a la sexta " 44 Escribe cómo se leen las siguientes potencias. a) 3 b) 7 c) 4 3 d) CÁLCULO MENTAL. Calcula las siguientes potencias. a) 3 4 = c) = b) 7 = d) 6 0 = 46 Completa la tabla y calcula. 49 Calcula las operaciones siguientes. a) 3 8 : 3 = d) 7 4 : 7 = b) 7 : 3 = e) 6 : 4 = c) 0 8 : 0 8 = f ) 0 : 0 = 0 Completa con una potencia. a) 7 6 = 7 4? d) 8 3 = 7 3? b) 3 = : 6 e) 8 7 = : 7 c) 8 =? f ) 3 4 = 3 7 : Calcula el resultado. a) ( 4 ) 3 = c) (3 4 ) 6 = b) ( ) = d) (7 ) 3 = Completa con números para que las igualdades sean verdaderas. a) 9? 9 6 = 9 d) 3 : 3 4 = 3 6 b)? = 9 e) (7 ) 4 = 7 6 c) 8 8 : 8 = 8 f ) ( ) = 3 Raíz cuadrada 3 Completa. a) 44= c) 44= b) 44= 9 d) 44= 0 7 Al cuadrado Al cubo A la cuarta 4 Completa. a) 6 =, ya que = b) 44 =, ya que = 44 c) 89 =, ya que d) 400 =, ya que = 89 = Completa. a) = 3 c) 4 = 8 b) 7 = d) 3 = Haz estas operaciones con potencias. a) 3? 8 = d) 0? 0 = b) 3 6? 3 4 = e)? = c) 0 6? 0 3 = f ) 7 4? 7 8 = Operaciones combinadas CÁLCULO MENTAL. Efectúa las siguientes operaciones. a) 0 + 4? 8 = b) : 3-3 = c) 7 +? 6 = d) 3? +? 9 = e) 9 : 3-6 : = f ) 4? 9-7? = 7

17 INALES 6 Calcula. a) (9 + 3)? 4 = b) 6 : ( - 3) = c) (7 + ) : = d) 7 - (7 + ) : 3 = e) 0 : (6-4) + 4 = f) (6-3)? - = 7 Haz estas operaciones. a) 8-3?? 4 = 9 CÁLCULO MENTAL. Calcula mentalmente el número que falta. a) 3? + 3? = 60 b) 3? 40-3? = 60 c)? -? 6 = 0 60 Calcula el resultado. a)? = b) 4 - ( 3 + ) = c) (9 - ) : = d) 3 +? (8-6) = b)? 9 : = e) 3 +? ( - ) = f ) 0 + 4? (3 - ) = c) + 4? - 7? 3 = g)? (4-3 ) - = h)? ( + 3 ) - 4? ( 3-6) = d) 4 : + 3? 9 - = e) (4 + 6) : 6 +? 3 = 6 Calcula el resultado de estas operaciones. 3 a)? _ --i = f )? (7-3) : (3 - ) = b) _ 8 + 3? i : = g) -? (0-6) : 0 = c) ? ( - ) = h)? 3 -? (8 + 4) = d) 9-9? - 6 : 4= 8 Calcula el valor de estas expresiones. a) 3? (00-90) +? ( + ) = 6 Calcula. 3 3 a) 3? = b) 7? (6 : ) - (6 : 3)? = b) _ 3? : + i = c) 66 : ( - 9) + 7? (6 : ) - : = 3 c) : = d) 7? ( ) : ( - ) + 7? (8-6 + ) = d) 8 : 9 -_ 6-4i = e) 3? ( : 3 - ) + (8 + 0) : 4 - = e) : ? = f ) 38 - (30 : 6 + )? - 6? 3 : = f ) 00 : : 3 = 8

18 Números naturales Problemas con números naturales 63 Un edificio tiene planta baja y cuatro pisos. La planta baja tiene m de altura y cada uno de los pisos mide 3 m. Cuál es la altura del edificio? 67 En el taller tienen que cambiar las ruedas de 4 motos, camiones de 6 ruedas y 6 coches. Cuántas ruedas tienen que cambiar en total? La altura del edificio es m. 64 Un barco traía 0 pasajeros y ha hecho paradas en tres puertos. En el primero han bajado 6 pasajeros, en el segundo han subido 6 y en el tercero han bajado 84. Cuántos pasajeros quedan a bordo? Tienen que cambiar 68 Seis personas tienen 000 para los gastos de un viaje. Tienen que viajar en tren y en avión. El billete de tren cuesta 38 y el de avión,. Tienen suficiente dinero para hacer el viaje? ruedas. tienen suficiente dinero para el viaje. Quedan a bordo pasajeros. SABER HACER 6 Para hacer un pastel grande de manzana se necesitan 3 manzanas y para hacer uno pequeño hacen falta manzanas. Cuántas manzanas son necesarias para hacer cuatro pasteles grandes y seis pequeños? Son necesarias manzanas. 66 En una hucha hay 46 y en otra, 4. a) Si todo el dinero son monedas de, cuántas monedas hay entre las dos huchas? Resolver problemas cuyos datos están relacionados 69 En una tienda de regalos hay tres cuadros. El primero vale 38, el segundo cuesta 7 más que el primero y el último vale 9 menos que el segundo. Si venden los tres cuadros, cuánto dinero obtendrán? primero. Tomamos el dato conocido. «El primer cuadro vale 38.» segundo. Calculamos los otros datos a partir del dato conocido. Hay monedas. «El segundo cuesta 7 más que el primero.» = b) Si juntamos el dinero de las dos huchas, por cuántos billetes de lo podemos cambiar? «El tercero vale 9 menos que el segundo.» - 9 = 36 Habría billetes. tercero. Resolvemos el problema = 9 Obtendrán en total 9. 9

19 INALES 70 En un festival de música étnica hay músicos de tres continentes. De Asia han llegado 30 músicos; de África, 7 músicos más que de Asia, y de Europa, 98 músicos menos que de Asia. Determina el número total de músicos que hay. 74 Un naranjo ha producido este año 40 kg de naranjas y el año anterior, 7 kg. Si el año pasado el kilo de naranjas costaba 3 y este año está a, han aumentado o han disminuido las ganancias respecto al año anterior? Las ganancias han. En total hay músicos. 7 Raquel tenía. Ha gastado la mitad en una entrada de cine y con la otra mitad ha comprado una participación de lotería, que ha resultado premiada con por cada euro jugado. Cuánto dinero ha ganado? 7 En la restauración de un edificio trabajan 4 hombres y 37 mujeres. Al lado restauran otro edificio en el que trabajan 7 hombres menos y 4 mujeres más que en el anterior. En qué edificio intervienen más personas? Ha ganado. Intervienen más personas en el edificio. 76 Un conductor de autobús ha conducido desde las 6 de la mañana hasta las 4 de la tarde y solo ha parado horas para comer. Si ha ido a una velocidad media de 64 km/h, cuántos kilómetros ha recorrido? 7 Para prevenir intoxicaciones alimentarias han organizado una serie de conferencias en un instituto. A la primera charla han asistido alumnos de.º de ESO, 00 alumnos de.º de ESO, 97 de 3.º de ESO y el resto, de 4.º de ESO, hasta un total de 406 alumnos. Cuántos estudiantes de 4.º de ESO han asistido a la conferencia? Ha recorrido km. 77 En una papelería tienen paquetes de 4 lápices de colores. a) Cuantos lápices de colores hay? Han asistido a la conferencia estudiantes. 73 Gerardo tiene 6 años, su hermana Ángela tiene 3 años más y su hermano Enrique tiene el doble de la edad de Gerardo. Cuando su madre tuvo a Enrique, tenía el triple de la edad actual de Ángela. Qué edad tiene ahora mismo su madre? Hay lápices de colores. b) Si en cada paquete hay la misma cantidad de lápices de cada color y sabemos que hay 8 colores diferentes, cuántos lápices de cada color hay en los paquetes? La madre ahora tiene años. Hay lápices de cada color. 0