Unidad 3: Operaciones y propiedades de los números naturales

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1 Unidad 3: Operaciones y propiedades de los números naturales 3.1. Adición de números naturales Definición: Se llama suma de dos números a y b al número s de elementos del conjunto formado por lo a elementos del primer conjunto y los b elementos del segundo conjunto. a + b = s o La operación se llama adición o suma. o Cada número que se suma se llama sumando o término. Corolarios de la definición o Si en la suma de dos sumandos uno de ellos es cero, la suma es igual al otro sumando. s + 0 = s o Todo número natural n es igual a la suma de n sumandos iguales a 1. o Todo número natural se obtiene sumándole 1 al que le antecede en la sucesión fundamental. o Todo número natural es igual a la suma de los valores relativos de sus cifras. Ejemplo: 123 = o Toda suma es mayor o igual que cada uno de sus sumandos. a + b a y a + b b Propiedades de la adición de números naturales Es conmutativa, asociativa, disociativa, uniforme (tiene resultado único) y tiene varias propiedades de monotonía que no veremos.

2 Realice las siguientes sumas 1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) n ) Como es a+b con respecto a a? (>,, <,, =) 13) Como es a+b con respecto a b? (>,, <,, =) 14) Exprese los siguientes como suma de sus valores relativos: a) 123 b) 1456 c) 2587 Suma de números concretos Realice las siguientes sumas 15) 300 km km km 16) $100 + $200 + $580 17) 30 días + 15 días + 90 días 18) 12 hs + 50 m + 15 s + 38 m + 3 hs 19) 3 m + 75 cm + 2 m + 4 mm + 42 cm + 1 mm 20) 3 d 13 hs 2 m + 15 hs 38 m 40 s + 21 s + 2 d 12 hs 21) 13 hs + 59 m + 3 s + 12 hs 22) 1 h + 3 m + 12 m + 2 hs + 32 s 23) 1 kg gr + 3 kg + 10 gr 24) 3 kg + 1 Tn gr + 1 kg gr + 1 Tn 3.2. Sustracción de números naturales Definición: Restar de un número m un número s, es encontrar un número d tal que sumado a s dé por resultado m. m s d d s m o La operación se llama sustracción o resta; el primer número, m, minuendo; el segundo número, s, sustraendo; y el resultado, d, diferencia o resta. o El minuendo y el sustraendo también se llaman términos. o La sustracción es la operación inversa de la adición.

3 Corolarios de la definición o Si el sustraendo es cero la diferencia es igual al minuendo. m 0 = m o Si el sustraendo es igual al minuendo la diferencia es 0. m - m = 0 o Si a un número se le suma otro y al resultado se le resta este último, se obtiene el primer número. Si a + b = r r b = a o Si a un número se le resta otro y al resultado se le suma este último, se obtiene el primer número. Si a - b = r r + b = a Propiedades de la sustracción de números naturales Es uniforme (tiene resultado único) y tiene varias propiedades de monotonía que no veremos. Observación: No es conmutativa. 25) Realice las siguientes restas ; ; ; ; ) La suma de dos números es 4536; uno de ellos es 1236; Cuál es el otro? 27) Calcule ; ; m 0 = m m = a + b b = a b + b = 3.3. Multiplicación de números naturales Definición: Se llama producto de un número natural a por otro n, siendo n>1, al número natural p que se obtiene sumando n sumandos iguales a a. Propiedades de la multiplicación o a x 1 = a o a x 0 = 0

4 o Es uniforme, conmutativa, asociativa y disociativa. o Es distributiva con respecto a la suma y a la resta. o Tiene varias leyes de monotonía que no veremos. 28) Realice las siguientes multiplicaciones 1870 x x x x x x x x ) Calcule 218 x x x 851 a x 1 = a x 0 = 3.4. División de números naturales División exacta Definición: Dividir un número natural D por otro d 0, siendo D múltiplo de d, es encontrar un número c tal que multiplicado por d resulte igual al número D. D es el dividendo. d es el divisor. c es el cociente. Notación: D : d = c D = c d Observación: No es posible la división por cero. Corolarios de la definición: o (a.b) : b = a o (a:b). b = a o 0 : d = 0

5 Realice las siguientes divisiones 30) 100 / 2 ; 114 / 2 ; 150 / 3 ; 256 / 4 ; 1024 / 8 ; 1582 / 2 ; 124 / 2 ; 155 / 5 ; 210 / 7 ; 180 / 6 31) 1500 / 10 ; 4600 / 23 ; 1800 / 60 ; 180 / 30 ; 180 / 60 ; 320 / 80 ; 3608 / 88 ; 9801 / 99 32) 1500 / 100 ; 5200 / 260 ; 1800 / 600 ; / 124 ; 625 / 125 ; / 2013 ; 552 / ) 256 / 2 34) 512 / 2 35) 27 / 3 36) 1000 / ) 69 / 23 38) 140 / 35 39) (a.b) : b 40) (a:b). b 41) 0 : d Propiedades de la división Es uniforme, distributiva con respecto a la suma y a la resta. Observación: No es conmutativa. División entera Definición: Se llama cociente entero, al mayor número que multiplicado por el divisor da un producto menor o igual que el dividendo. D : d = c Relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto D = d. c + r r = D d. c 3.5. Potenciación de números naturales Definición: La potencia enésima de un número natural b es el producto de n factores iguales a b. Para esta definición, n es un número natural mayor que 1 La operación se llama potenciación. El número b se llama base. El número n se llama exponente. El resultado se llama potencia enésima de b o potencia de grado n de b. Ejemplos: La potencia quinta de 3 es 3 5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3

6 = 243 La potencia segunda de = 7 x 7 = 49 La potencia cuarta de 5 es 5 4 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 La potencia cero de un número distinto de cero es 1. La potencia primera de un número es igual a ese número. Se conviene en no escribir el exponente 1. La potencia segunda de un número se llama cuadrado del número. La potencia tercera de un número se llama cubo del número. Corolario de las definiciones de potenciación o Todas las potencias de 1 son iguales a = 1 1 = 1 2 = 1 3 = 1 4 = 1 5 = = 1 n = 1 42) Escriba las 10 primeras potencias de 2. 43) Escriba el cuadrado de los 10 primeros números. 44) Escriba el cubo de los 10 primeros números. Calcule 45) ) ) ) ) 3 3 Propiedades de la potenciación o Propiedad uniforme: La potencia enésima de un número natural existe y es única.

7 o Propiedad de monotonía: Elevando ambos miembros de una desigualdad a una misma potencia, distinta de cero, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que el de la dada. o La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación. (a x b) n = a n x b n o La potenciación es distributiva con respecto a la división. (a : b) n = a n : b n Producto de potencias de igual base El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas. b m x b n = b m+n Cociente de potencias de igual base El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la resta del exponente del dividendo menos el exponente del divisor. b m : b n = b m-n Potencia de otra potencia Toda potencia de una potencia es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente es el producto de los exponentes dados. (b m ) n = b mxn Cuadrado de la suma de dos números El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número, mas el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Resuelva 50) ) (5 x 2) 2 (1 x 3 x 2) 3 (2 x 8) 2 (1 x 0 x 9) 99 52) (36 : 12) : 2 3

8 53) (a 2 ) 4 (b 4 ) 2 [(c 2 ) 4 ] 3 54) (4a x) 2 (2y. 6x 2. 3m 3 ) Radicación de números naturales Definición: Dados números naturales a y n, siendo n > 1 y a una potencia enésima, se llama raíz enésima del número natural a al número x tal que elevado a la potencia enésima dé por resultado a. La operación se llama radicación o extracción de raíces, el signo es el signo radical, el número a, radicando o cantidad subradical, y el número n, índice. La raíz de índice 2 se llama raíz cuadrada y por convención, al escribirla, se suprime el índice. La raíz de índice 3 se llama raíz cúbica. La raíz de índice 4 se llama raíz cuarta, etc. Corolarios de la definición o Si se extrae la raíz enésima de un número y al resultado se lo eleva a la potencia enésima, se obtiene el primer número. n x = r r n = x o Si a un número se lo eleva a la potencia enésima, y al resultado se le extrae la raíz enésima, se obtiene el primer número. x n = r n r = x o La raíz de cualquier índice, del número 1, es igual a 1. n 1 = 1 Propiedades de la radicación o Propiedad uniforme: Si de ambos miembros de una igualdad se extraen las raíces de igual índice, se obtiene otra igualdad.

9 o Propiedad de monotonía: Si de ambos miembros de una desigualdad entre número naturales se extraen raíces de igual índice, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido que la dada. o La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación de potencias del mismo grado que indica el índice. o La radicación es distributiva con respecto a la división exacta de potencias del mismo exponente que indica el índice. Observación: La radicación no es conmutativa. Resuelva encontrando la raíz natural 55) ) ) )

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