Introducción al Cálculo Los números reales, axiomas de campo y orden, desigualdades
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- Carlos Herrero Fidalgo
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1 Introducción al Cálculo Los números reales, axiomas de campo y orden, desigualdades CNM-107 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c Reproducción permitida bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU.
2 Los números naturales Los números naturales: Históricamente surgen ante la necesidad de contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente hablando los números naturaless son aquellos que sirven para designar el número de elementos de um conjunto finito. N = {0,1, 2, 3,...}
3 Los números naturales Los números naturales: Históricamente surgen ante la necesidad de contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente hablando los números naturaless son aquellos que sirven para designar el número de elementos de um conjunto finito. N = {0,1, 2, 3,...} En N se definen las operaciones de adición (+) y multiplicación ( ), estas operaciones poseen las siguientes propiedades:
4 Los números naturales Los números naturales: Históricamente surgen ante la necesidad de contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente hablando los números naturaless son aquellos que sirven para designar el número de elementos de um conjunto finito. N = {0,1, 2, 3,...} En N se definen las operaciones de adición (+) y multiplicación ( ), estas operaciones poseen las siguientes propiedades:
5 1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z N vale x = y w = z o = x + w = y + z x w = y z
6 1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z N vale x = y w = z o = x + w = y + z x w = y z 2 Asosiatividad: Para cada x, y, z N vale (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z).
7 1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z N vale x = y w = z o = x + w = y + z x w = y z 2 Asosiatividad: Para cada x, y, z N vale (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z). 3 Conmutatividad: Para cada x, y N vale x + y = y + x; x y = y x.
8 1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z N vale x = y w = z o = x + w = y + z x w = y z 2 Asosiatividad: Para cada x, y, z N vale (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z). 3 Conmutatividad: Para cada x, y N vale x + y = y + x; x y = y x. 4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que para cada x N vale x + 0 = x = 0 + x; x 1 = x = 1 x.
9 1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z N vale x = y w = z o = x + w = y + z x w = y z 2 Asosiatividad: Para cada x, y, z N vale (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z). 3 Conmutatividad: Para cada x, y N vale x + y = y + x; x y = y x. 4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que para cada x N vale x + 0 = x = 0 + x; x 1 = x = 1 x. 5 Distributiva: Para cada x, y, z N vale x (y + z) = x y + x z.
10 1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z N vale x = y w = z o = x + w = y + z x w = y z 2 Asosiatividad: Para cada x, y, z N vale (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z). 3 Conmutatividad: Para cada x, y N vale x + y = y + x; x y = y x. 4 Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que para cada x N vale x + 0 = x = 0 + x; x 1 = x = 1 x. 5 Distributiva: Para cada x, y, z N vale x (y + z) = x y + x z.
11 Los números enteros Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales.
12 Los números enteros Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales. Z = {..., 2, 1,0, 1,2, 3,...}
13 Los números enteros Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales. Z = {..., 2, 1,0, 1,2, 3,...} N Z
14 Los números enteros Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales. Z = {..., 2, 1,0, 1,2, 3,...} N Z En Z están definidas la adición + y la multiplicación
15 Los números enteros Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales. Z = {..., 2, 1,0, 1,2, 3,...} N Z En Z están definidas la adición + y la multiplicación La adición en Z cumple una nueva propiedad (no válida en N)
16 Los números enteros Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales. Z = {..., 2, 1,0, 1,2, 3,...} N Z En Z están definidas la adición + y la multiplicación La adición en Z cumple una nueva propiedad (no válida en N) 1 Inverso aditivo: Para cada x Z, existe un y Z tal que x + y = y + x = 0. El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.
17 Los números enteros Los números enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números naturales. Z = {..., 2, 1,0, 1,2, 3,...} N Z En Z están definidas la adición + y la multiplicación La adición en Z cumple una nueva propiedad (no válida en N) 1 Inverso aditivo: Para cada x Z, existe un y Z tal que x + y = y + x = 0. El elemento y para el cual x + y = 0 se llama inverso aditivo de x.
18 Los números racionales Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros.
19 Los números racionales Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros. n m o Q = n : m Z, n Z, n 0
20 Los números racionales Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros. n m o Q = n : m Z, n Z, n 0 Z Q
21 Los números racionales Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros. n m o Q = n : m Z, n Z, n 0 Z Q En Q están definidas +, y cumplen una nueva propiedad
22 Los números racionales Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros. n m o Q = n : m Z, n Z, n 0 Z Q En Q están definidas +, y cumplen una nueva propiedad 1 Invertividad: Para cada x Q, existe un único y Q tal que x + y = y + x = 0.
23 Los números racionales Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros. n m o Q = n : m Z, n Z, n 0 Z Q En Q están definidas +, y cumplen una nueva propiedad 1 Invertividad: Para cada x Q, existe un único y Q tal que x + y = y + x = 0. Si x 0, existe un único y Q tal que x y = y x = 1.
24 Los números racionales Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros. n m o Q = n : m Z, n Z, n 0 Z Q En Q están definidas +, y cumplen una nueva propiedad 1 Invertividad: Para cada x Q, existe un único y Q tal que x + y = y + x = 0. Si x 0, existe un único y Q tal que x y = y x = 1. Cuando x 0, el número racional y para el cual x y = 1, se llama el inverso mutiplicativo de x y se denota por x 1 o por 1 x.
25 Los números racionales Los números racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver algunas necesidades matemáticas sólo con los números enteros. n m o Q = n : m Z, n Z, n 0 Z Q En Q están definidas +, y cumplen una nueva propiedad 1 Invertividad: Para cada x Q, existe un único y Q tal que x + y = y + x = 0. Si x 0, existe un único y Q tal que x y = y x = 1. Cuando x 0, el número racional y para el cual x y = 1, se llama el inverso mutiplicativo de x y se denota por x 1 o por 1 x.
26 Los números irracionales Los números irracionales: Diversos problemas relacionados con geometría dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes son inconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotan por Q
27 Los números irracionales Los números irracionales: Diversos problemas relacionados con geometría dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes son inconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotan por Q Ejemplos de números irracionales son 2, 2, 3, 3, π,π
28 Los números irracionales Los números irracionales: Diversos problemas relacionados con geometría dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes son inconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotan por Q Ejemplos de números irracionales son 2, 2, 3, 3, π,π +, no son operaciones en Q No necesariamente la suma o la multiplicación de dos números irracionales es de nuevo un número irracional, por ejemplo = 0, 2 2 = 2. Pero 0,2 no son números irracionales.
29 Los números irracionales Los números irracionales: Diversos problemas relacionados con geometría dieron surgimiento a nuevos números cuyas magnitudes son inconmensurables, i.e., no admiten representación racional. Se denotan por Q Ejemplos de números irracionales son 2, 2, 3, 3, π,π +, no son operaciones en Q No necesariamente la suma o la multiplicación de dos números irracionales es de nuevo un número irracional, por ejemplo = 0, 2 2 = 2. Pero 0,2 no son números irracionales.
30 Los números reales Los de números reales: La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales, que se denota por R, o sea R = Q Q.
31 Los números reales Los de números reales: La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales, que se denota por R, o sea R = Q Q. Una representación geométrica de R es la recta real
32 Los números reales Los de números reales: La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales, que se denota por R, o sea R = Q Q. Una representación geométrica de R es la recta real
33 Los números reales Los de números reales: La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales, que se denota por R, o sea R = Q Q. Una representación geométrica de R es la recta real R
34 Los números reales Los de números reales: La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales, que se denota por R, o sea R = Q Q. Una representación geométrica de R es la recta real R
35 Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z R, x = y w = z o = x + w = y + z x w = y z.
36 Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z R, x = y w = z AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z R, o = x + w = y + z x w = y z. (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z).
37 Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z R, x = y w = z AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z R, o = x + w = y + z x w = y z. (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z). AC3 Conmutatividad: Para cada x, y R, x + y = y + x; x y = y x.
38 Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z R, x = y w = z AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z R, o = x + w = y + z x w = y z. (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z). AC3 Conmutatividad: Para cada x, y R, x + y = y + x; x y = y x. AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x R, x + 0 = x = 0 + x; x 1 = x = 1 x.
39 Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z R, x = y w = z AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z R, o = x + w = y + z x w = y z. (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z). AC3 Conmutatividad: Para cada x, y R, x + y = y + x; x y = y x. AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x R, x + 0 = x = 0 + x; x 1 = x = 1 x. El real 0 es llamado módulo o elemento neutro para la adición. El real 1 es llamado módulo o elemento neutro para la multiplicación.
40 Axiomas de campo AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, z R, x = y w = z AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z R, o = x + w = y + z x w = y z. (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z). AC3 Conmutatividad: Para cada x, y R, x + y = y + x; x y = y x. AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x R, x + 0 = x = 0 + x; x 1 = x = 1 x. El real 0 es llamado módulo o elemento neutro para la adición. El real 1 es llamado módulo o elemento neutro para la multiplicación.
41 Axiomas de campo AC5 Invertividad: Para cada x R, existe un único número real llamado el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por x, tal que x + ( x) = 0.
42 Axiomas de campo AC5 Invertividad: Para cada x R, existe un único número real llamado el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por x, tal que x + ( x) = 0. Para cada número real x 0, existe un único número real llamado el inverso multiplicativo de x y denotado por x 1 ó 1, tal que x x x 1 = x 1 x = 1.
43 Axiomas de campo AC5 Invertividad: Para cada x R, existe un único número real llamado el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por x, tal que x + ( x) = 0. Para cada número real x 0, existe un único número real llamado el inverso multiplicativo de x y denotado por x 1 ó 1, tal que x x x 1 = x 1 x = 1. AC6 Distributiva: Para cada x, y, z R, x (y + z) = x y + x z.
44 Axiomas de campo AC5 Invertividad: Para cada x R, existe un único número real llamado el inverso aditivo u opuesto de x y denotado por x, tal que x + ( x) = 0. Para cada número real x 0, existe un único número real llamado el inverso multiplicativo de x y denotado por x 1 ó 1, tal que x x x 1 = x 1 x = 1. AC6 Distributiva: Para cada x, y, z R, x (y + z) = x y + x z.
45 Diferencia y División Empleando la propiedad de invertividad PC5, se definen las operaciones de resta y división de números reales, en efecto para cada x,y R, x y = x + ( y); Si y 0, x y = x 1 y = x y 1.
46 Diferencia y División Empleando la propiedad de invertividad PC5, se definen las operaciones de resta y división de números reales, en efecto para cada x,y R, x y = x + ( y); Si y 0, x y = x 1 y = x y 1.
47 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la adición:
48 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la adición: Para cada x,y, z R, x + y = x + z = y = z.
49 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la adición: Para cada x,y, z R, x + y = x + z = y = z. Demostración: x + y = x + z Hipótesis
50 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la adición: Para cada x,y, z R, x + y = x + z = y = z. Demostración: x + y = x + z Hipótesis ( x) + x + y = ( x) + x + z (AC1)
51 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la adición: Para cada x,y, z R, x + y = x + z = y = z. Demostración: x + y = x + z Hipótesis ( x) + x + y = ( x) + x + z (AC1) ( x + x) + y = ( x + x) + z (AC2)
52 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la adición: Para cada x,y, z R, x + y = x + z = y = z. Demostración: x + y = x + z Hipótesis ( x) + x + y = ( x) + x + z (AC1) ( x + x) + y = ( x + x) + z (AC2) 0 + y = 0 + z (AC5)
53 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la adición: Para cada x,y, z R, x + y = x + z = y = z. Demostración: x + y = x + z Hipótesis ( x) + x + y = ( x) + x + z (AC1) ( x + x) + y = ( x + x) + z (AC2) 0 + y = 0 + z (AC5) y = z (AC4)
54 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la adición: Para cada x,y, z R, x + y = x + z = y = z. Demostración: x + y = x + z Hipótesis ( x) + x + y = ( x) + x + z (AC1) ( x + x) + y = ( x + x) + z (AC2) 0 + y = 0 + z (AC5) y = z (AC4)
55 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la multiplicación:
56 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la multiplicación: Para cada x,y, z R, (x 0 x y = x z) = y = z.
57 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la multiplicación: Para cada x,y, z R, (x 0 x y = x z) = y = z. Demostración: x 0 x y = x z Hipótesis
58 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la multiplicación: Para cada x,y, z R, Demostración: (x 0 x y = x z) = y = z. x 0 x y = x z Hipótesis (x 1 ) (x y) = (x 1 ) (x z) (AC1)
59 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la multiplicación: Para cada x,y, z R, Demostración: (x 0 x y = x z) = y = z. x 0 x y = x z Hipótesis (x 1 ) (x y) = (x 1 ) (x z) (AC1) (x 1 x) y = (x 1 x) z (AC2)
60 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la multiplicación: Para cada x,y, z R, Demostración: (x 0 x y = x z) = y = z. x 0 x y = x z Hipótesis (x 1 ) (x y) = (x 1 ) (x z) (AC1) (x 1 x) y = (x 1 x) z (AC2) 1 y = 1 z (AC5)
61 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la multiplicación: Para cada x,y, z R, Demostración: (x 0 x y = x z) = y = z. x 0 x y = x z Hipótesis (x 1 ) (x y) = (x 1 ) (x z) (AC1) (x 1 x) y = (x 1 x) z (AC2) 1 y = 1 z (AC5) y = z (AC4)
62 Consecuencias de los axiomas de campo Ley cancelativa de la multiplicación: Para cada x,y, z R, Demostración: (x 0 x y = x z) = y = z. x 0 x y = x z Hipótesis (x 1 ) (x y) = (x 1 ) (x z) (AC1) (x 1 x) y = (x 1 x) z (AC2) 1 y = 1 z (AC5) y = z (AC4)
63 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y R x 0 = 0.
64 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y R x 0 =
65 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y R x 0 = x y = 0 = x = 0 y = 0.
66 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y R x 0 = x y = 0 = x = 0 y = 0. x 0 = x 1 0.
67 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y R x 0 = x y = 0 = x = 0 y = 0. x 0 = x 1 0. ( x) = x.
68 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y R x 0 = x y = 0 = x = 0 y = 0. x 0 = x 1 0. ( x) = x. x 0 = (x 1 ) 1 = x.
69 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y R x 0 = x y = 0 = x = 0 y = 0. x 0 = x 1 0. ( x) = x. x 0 = (x 1 ) 1 = x. (x + y) = ( x) + ( y).
70 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y R x 0 = x y = 0 = x = 0 y = 0. x 0 = x 1 0. ( x) = x. x 0 = (x 1 ) 1 = x. (x + y) = ( x) + ( y). x 0 y 0 = (x y) 1 = x 1 y 1.
71 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y R x 0 = x y = 0 = x = 0 y = 0. x 0 = x 1 0. ( x) = x. x 0 = (x 1 ) 1 = x. (x + y) = ( x) + ( y). x 0 y 0 = (x y) 1 = x 1 y 1.
72 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y,z, w R, y 0, w 0 x y + z w = x w + y z y w
73 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y,z, w R, y 0, w 0 x y + z w = x w + y z y w x y z w = x z y w
74 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y,z, w R, y 0, w 0 x y + z w = x w + y z y w x y z w = x z y w x = ( 1) x
75 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y,z, w R, y 0, w 0 x y + z w = x w + y z y w x y z w = x z y w x = ( 1) x ( x) ( y) = x y
76 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y,z, w R, y 0, w 0 x y + z w = x w + y z y w x y z w = x z y w x = ( 1) x ( x) ( y) = x y (x y) = ( x) y = x ( y)
77 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y,z, w R, y 0, w 0 x y + z w = x w + y z y w x y z w = x z y w x = ( 1) x ( x) ( y) = x y (x y) = ( x) y = x ( y) x y = x y = x y
78 Más consecuencias de los axiomas de campo Para cada x, y,z, w R, y 0, w 0 x y + z w = x w + y z y w x y z w = x z y w x = ( 1) x ( x) ( y) = x y (x y) = ( x) y = x ( y) x y = x y = x y
79 Reales positivos Axioma (PO1) Existe un subconjunto R + de R tal que 1 Para cada x,y R +, se tiene que x + y R + ; x y R +. 2 Para cada x R, se cumple una y solamente una de las siguientes proposiciones x R + ; x = 0; x R +.
80 Reales positivos Axioma (PO1) Existe un subconjunto R + de R tal que 1 Para cada x,y R +, se tiene que x + y R + ; x y R +. 2 Para cada x R, se cumple una y solamente una de las siguientes proposiciones x R + ; x = 0; x R +. Los elementos del conjunto R + se llaman reales positivos. Los números reales diferentes del cero que no son números reales positivos, son llamados reales negativos, y se denotan por R. R = R R + {0}.
81 Reales positivos Axioma (PO1) Existe un subconjunto R + de R tal que 1 Para cada x,y R +, se tiene que x + y R + ; x y R +. 2 Para cada x R, se cumple una y solamente una de las siguientes proposiciones x R + ; x = 0; x R +. Los elementos del conjunto R + se llaman reales positivos. Los números reales diferentes del cero que no son números reales positivos, son llamados reales negativos, y se denotan por R. R = R R + {0}.
82 Reales positivos Axioma (PO1) Existe un subconjunto R + de R tal que 1 Para cada x,y R +, se tiene que x + y R + ; x y R +. 2 Para cada x R, se cumple una y solamente una de las siguientes proposiciones x R + ; x = 0; x R +. Los elementos del conjunto R + se llaman reales positivos. Los números reales diferentes del cero que no son números reales positivos, son llamados reales negativos, y se denotan por R. R = R R + {0}.
83 Observación Como consecuencia de la notación y del axioma (PO1) se tiene
84 Observación Como consecuencia de la notación y del axioma (PO1) se tiene 0 / R + 0 / R x R x R + (1)
85 Observación Como consecuencia de la notación y del axioma (PO1) se tiene 0 / R + 0 / R x R x R + (1) Reescribiendo PO1 a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo, b) Todo número real es positivo, es el cero o es negativo.
86 Observación Como consecuencia de la notación y del axioma (PO1) se tiene 0 / R + 0 / R x R x R + (1) Reescribiendo PO1 a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo, b) Todo número real es positivo, es el cero o es negativo.
87 Desigualdades Definición (Desigualdad) Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como x < y y x R +. (2)
88 Desigualdades Definición (Desigualdad) Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como x < y y x R +. (2) Observación Si en (2) x = 0, se tiene 0 < y y 0 = y R +. Luego
89 Desigualdades Definición (Desigualdad) Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como x < y y x R +. (2) Observación Si en (2) x = 0, se tiene 0 < y y 0 = y R +. Luego R + = {x R : x > 0}.
90 Desigualdades Definición (Desigualdad) Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como x < y y x R +. (2) Observación Si en (2) x = 0, se tiene 0 < y y 0 = y R +. Luego R + = {x R : x > 0}. Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene R = {x R : x < 0}.
91 Desigualdades Definición (Desigualdad) Si x, y son números reales. x < y se lee x es menor que y, se define como x < y y x R +. (2) Observación Si en (2) x = 0, se tiene 0 < y y 0 = y R +. Luego R + = {x R : x > 0}. Analogamente si en (2) y = 0 usando (1) se tiene R = {x R : x < 0}.
92 Más desigualdades x > y se lee como x es mayor que y x > y x y R +
93 Más desigualdades x > y se lee como x es mayor que y x > y x y R + x y se lee como x es menor o igual que y x y y x R + x = y
94 Más desigualdades x > y se lee como x es mayor que y x > y x y R + x y se lee como x es menor o igual que y x y y x R + x = y x y se lee como x es mayor o igual que y x y x y R + x = y
95 Más desigualdades x > y se lee como x es mayor que y x > y x y R + x y se lee como x es menor o igual que y x y y x R + x = y x y se lee como x es mayor o igual que y x y x y R + x = y
96 Consecuencias de los axiomas de orden Teorema (Ley de tricotomía) Si x, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y.
97 Consecuencias de los axiomas de orden Teorema (Ley de tricotomía) Si x, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y. Demostración: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el número x y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
98 Consecuencias de los axiomas de orden Teorema (Ley de tricotomía) Si x, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y. Demostración: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el número x y, se tiene una de las siguientes afirmaciones x y R + ; x y = 0; x y R ;
99 Consecuencias de los axiomas de orden Teorema (Ley de tricotomía) Si x, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y. Demostración: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el número x y, se tiene una de las siguientes afirmaciones o de forma equivalente, x y R + ; x y = 0; x y R ;
100 Consecuencias de los axiomas de orden Teorema (Ley de tricotomía) Si x, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y. Demostración: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el número x y, se tiene una de las siguientes afirmaciones o de forma equivalente, x y R + ; x y = 0; x y R ; x < y; x = y; x > y.
101 Consecuencias de los axiomas de orden Teorema (Ley de tricotomía) Si x, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones x < y; x = y; x > y. Demostración: Como consecuencia del Axioma (PO1) para el número x y, se tiene una de las siguientes afirmaciones o de forma equivalente, x y R + ; x y = 0; x y R ; x < y; x = y; x > y.
102 Consecuencias de los axiomas de orden Teorema (Propiedades adicionales) Transitividad: Para cada x, y, z R. (x < y y < z) = x < z.
103 Consecuencias de los axiomas de orden Teorema (Propiedades adicionales) Transitividad: Para cada x, y, z R. (x < y y < z) = x < z. Monotonía de la suma: Para cada x,y, z R. x < y x + z < y + z.
104 Consecuencias de los axiomas de orden Teorema (Propiedades adicionales) Transitividad: Para cada x, y, z R. (x < y y < z) = x < z. Monotonía de la suma: Para cada x,y, z R. x < y x + z < y + z. Monotonía de la multiplicación: Para cada x, y,z R. z > 0 x < y x z < y z. z < 0 x < y x z > y z.
105 Consecuencias de los axiomas de orden Teorema (Propiedades adicionales) Transitividad: Para cada x, y, z R. (x < y y < z) = x < z. Monotonía de la suma: Para cada x,y, z R. x < y x + z < y + z. Monotonía de la multiplicación: Para cada x, y,z R. z > 0 x < y x z < y z. z < 0 x < y x z > y z.
106 Propiedades adicionales Ley de los signos Para x, y R. x < 0 y < 0 = x y > 0. x > 0 y < 0 = x y < 0.
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