Taller matemático. Razonamiento. Cristóbal Pareja Flores antares.sip.ucm.es/cpareja Facultad de Estadística Universidad Complutense de Madrid

Transcripción

1 Taller matemático Razonamiento Cristóbal Pareja Flores antares.sip.ucm.es/cpareja Facultad de Estadística Universidad Complutense de Madrid

2 1. Razonamiento matemático Conocimiento aceptado - Axiomas o postulados - Teoremas ( ) demostrados - (Definiciones) Conocimiento nuevo - (Posibles) teoremas nuevos - Conjeturas Demostración - Fundamentos, hipótesis - Razonamiento, procedimiento - Proposiciones o teoremas, tesis y ciencias experimentales - Observación - Validación experimental: métodos estadísticos (contraste de hipótesis ) - Conclusiones validadas empíricamente / 1

3 . Tipos de demostración Hipótesis razonamiento Conclusión - Demostración directa, hacia adelante o hacia atrás - Reducción al absurdo - Inducción, simple o compuesta - Otros: contraposición, por casos, descenso finito 3 / 1

4 3. Demostración directa, hacia adelante Ejemplo Demostrar que El cubo de un número impar es también impar n es impar n 3 es impar La clave es la definición de impar : - Los números pares son los de la forma k, siendo k entero. - Los números impares son los de la forma k + 1, siendo k entero. Hipótesis: n es impar + la definición de impar: k. n = k + 1 Cómo será n 3? Demostración, en resumen: Si n es impar, k. n = k + 1. Por tanto, n 3 = (k + 1) 3 = 8k 3 + 1n + 6k + 1 = (4k 3 + 6n + 3k) + 1 El paréntesis verde es también un entero: k = 4k 3 + 6n + 3k. Es decir: n 3 = k + 1. Impar. Q.E.D. 4 / 1

5 3. Demostración directa, hacia adelante Ejemplo Demostrar que Si a divide a b y b divide a c, entonces, a divide a c a b y b c b c La clave es la definición de divide : a b significa que a k = b, para algún k entero. Demostración, en resumen: Hipótesis: a b y b c. Esto es, a k 1 = b y b k = c Por tanto, (a k 1 ) k = c, es decir, a k = c, es decir, a c, con k = k 1 k Ejercicio Demuestra que La suma de tres enteros consecutivos es múltiplo de 3. 5 / 1

6 4. Demostración directa, hacia atrás Ejemplo Demostrar que si x > 0, entonces x + 1 x x > 0 x + 1 x Partimos de la conclusión. Al simplificarla, vemos la relación con la hipótesis: x + 1 x x +1 x x +1 x 0 (x 1) 0 Demostración, en resumen: Gracias a la hipótesis x > 0, hemos podido establecer la equivalencia (x 1) 0 x + 1 x Al ser (x 1) 0 cierto, aceptamos también la conclusión: x + 1 x. 6 / 1

7 4. Demostración directa, hacia atrás Ejemplo Demostrar que Si x, y R +, xy x+y x, y 0 Demostración. Partimos de la conclusión: xy x + y xy x+y 4xy (x + y) 4xy x + y + xy 0 x + y xy 0 (x y) Esta igualdad siempre es cierta, y equivale a la conclusión deseada. (La hipótesis importa sólo para asegurar que el radicando sea positivo.) Curiosidad 7 / 1

8 5. Reducción al absurdo A B Demostrar que A B equivale a demostrar que A B Contradicción A B Contradicción A B = Falso (A B) A B. En la hipótesis de A, tenemos A ( A B). Y de aquí, se tiene B. Ejemplo. Demostrar que es irracional. Suponemos que es racional: = a, siendo ésta fracción irreducible. b Entonces,a = b a es par a = k con k entero. Sustituyendo: (k) = b 4k = b k = b. b es par. "a es par y "b es par. Contradicción con La fracción a b es irreducible. 8 / 1

9 5. Reducción al absurdo Variante: contrarrecíproco A B Demostrar que A B equivale a demostrar que A B A B Ejercicio. Demuestra que Si el cuadrado de un número es impar, ese número es impar n es impar n es impar?? 9 / 1

10 6. Inducción simple 6.1. Un ejemplo Vamos a demostrar la propiedad P(n): n (n+1) n = (a) Caso(s) base: demostrar que se cumple la propiedad P(1). Para n = 1: 1 = 1 (1+1) = 1 (b) Paso inductivo: partiendo de P(n 1), demostrar P(n). 6.. Ejercicios Asumimos: n 1 = (n 1) n 10 / 1 (hip. ind.) Calculamos n = n 1 + n = (n 1) n + n = n 1 n+n = n (n+1) 1. Demuestra la fórmula de la suma en sucesiones cuadráticas: n n (n + 1) (n + 1) = 6. Demuestra la fórmula de la suma en sucesiones cúbicas: n 3 = n (n+1) 4

11 6. Ejercicios sobre inducción Inducción. Demuestra lo siguiente: (el ajedrez y los granos de trigo) 3. Si a 0 = 1 y a n = a n 1, se tiene que a n = n 1. m = 1, si m = n o n = 0 n m n = m 1 + m 1, si 0 < n < m n n 1 Demuestra que m n = m!. m n!n! 4. Definimos un número par así: n es par def k entero, tal que n = k. (a) Escribe una definición similar, para los números impares, y pon un ejemplo de ambas. (b) Demuestra que, si el cuadrado de un número es par, el del siguiente es impar. (c) Demuestra que el cubo de un número tiene su misma paridad. 11 / 1

12 Agradecimientos Estas diapositivas están basadas parcialmente en las siguientes fuentes: Miguel de Guzmán, José Manuel Gamboa, Cómo hablar, demostrar y resolver en Matemáticas, ed. Anaya 003. Aunque, obviamente, el responsable de cualquier defecto es mío por completo. 1 / 1