Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 97
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- César Joaquín Gallego Botella
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2 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 97 Note que a i representa a una suma desde el primer término de la sucesión i a para i hasta el último término que en este caso es a n para i n. Es decir, en i se inicia la suma de los sucesivos términos de a i e i n indica donde se finaliza la suma. Nota. En este texto se estudiarán las sumatorias finitas simples y dobles, que deberían llamarse series finitas. En un curso posterior es estudiarán las sumatorias infinitas de los términos de una sucesión, a éstas se suelen llamar series. Número de Términos. Dada a i con 0 p n, p N {0} el número de términos siempre es ip igual a n p + para el caso particular de p, dicho número es n. Propiedades a i a j i j a k El valor de la sumatoria no depende del símbolo que se use como índice. c cn p+, 0 p n, c es una constante real que no depende ip del índice i. Para el caso particular de i i n. i ca i c a i, c es una constante. a i + b i a i + i i i b i
3 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Propiedad Telescópica: a i+ a i a n+ a p ; 0 p n, ip también a i a i+ a p a n+, 0 p n. ip 6. a b a i ip a i ip n r ip r n+r ip+r a i+r ; p r 0, 0 p n a i r ; 0 p n 7. Sea p n, entonces a i ip p a i i i a i Observación. Todas estas propiedades se prueban en forma sencilla, en base a la definición o bien por inducción. Sumatorias Notables.. 3. k nn + k nn + n + 6 k 3 [ ] nn +
4 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias kp r k r p rn p+, r, 0 p n r Observación. Todas estas sumas se prueban por inducción, algunas de ellas se encuentran en los ejemplos o bien en los ejercicios resueltos. Ejemplo 5 Desarrollar las siguientes sumatorias: a 8 kk b k4 n k+k + k + k0 De la definición se tiene: a b 8 kk , k4 note que son términos como debería ser. n k0 k+k + k nn + n +. Note que en este caso se tiene n 0 + n términos. Ejemplo 6 Escribir usando, las siguientes sumas: hasta n + términos hasta p términos
5 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 00 De inmediato se tiene:. k +, note que n 0 + n + términos. k0. Notemos que a k 3k k + 5, k,,... la sumatoria debe terminar en 3k 4 k de donde en ambos casos 4 k 4, por tanto 3k k De inmediato se tiene p k 4k + k + k + 3. Ejemplo 7 Sea a 3,...,a n 6n 3 calcular 6 a k a k+. k3 Note que la sumatoria consta de cuatro términos, así, 6 a k a k+ a a 4 + a 3 a 5 + a 4 a 6 + a 5 a 7 k Ejemplo 8 Vamos a calcular las siguientes sumatorias, aprovechando para ello la propiedad telescópica. a b 0 i ip i + i + n+ i i +
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8 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 04 a k a k kk + k + k kk kk + k + k + kk +. 3 Luego, 3. Dada Calcule i ii + i a i a i a n a 0 i 3 nn + n nn + n + 3 ii + nn + n + 3 ii y i n+ kn kk +. Por la propiedad 6, se tiene: n ii i + i + i n+ kn kk + i0 n ii + i n nn + 3 n+ n kk + kk + 3 n + n + n + 3 n nn + 3 n + [n + n + 3 n n] 3 3 n + 7n + 7n + 6
9 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Calcular: a j + 3 b j n k + a b n+ n+ j + 3 j 3 j 3 4 n + n + j j j kn k + n + k n + nn + nn + n + 6 nn + n Calcule la sumatoria y luego verifique su cálculo por inducción. n+ + k k n+ n+ n+ + k + k n + + n+ n + n+ Ahora, por inducción vamos a demostrar que: n+ + k n + n+
10 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 06 i Para n 0 cumple. + k por tanto se ii Sea válido para n, o sea, se verifica que: n+ + k n + n+ H.I. Por demostrar para n +, o sea que: n+ + k n + + n+ T En efecto: n+ n+ + k + k + + n+ n + n+ + + n+ n + + n+ n + + n+ 6. Demostrar que: kk + n n + Demostración. i Para n : ii Hipótesis inductiva, para n p: kk p kk + p p +
11 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 07 Por demostrar para n p + : En efecto, como: p kk + p+ kk + p + p +. p p + p kk + + p + p + p p + + p + p + p+ pp + + kk + p + p + p + p + p + p + p + 7. Demostrar: p i 4i + i + i n n + 3 i0 Demostración. i Para n : i i 4i + i + i ii Hipótesis inductiva, para n k: k i i 4i + i + i k k + 3 Por demostrar, para n k + : k+ i 4i + i + i k k + 5. i H.I. T.
12 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 08 En efecto, como: k i 4i + i + i k k + 3 i k i i 4i + i + i k 4k + k + 3k k k k 4k + k + 3k + 5 k+ i 4i + i + i k k k 4k + k + 3k + 5 i 3 + k k 5 + 4k + 8 k + 3k k k Demuestre y calcule: Demostración. a Desarrollando: k k 4k. k k n + n k k [k k ] [k k + k ] 4k
13 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 09 b k k 4k 4 k 4 nn+ n n + n 9. Calcular: S k k + Por fracciones parciales k k + A k + B k + k A ; k B, así: S [ k ] k + Ak + + Bk [ ] n + n n + 0. Calcular: S k 4 + k + k 4 + k así: S k 4 + k + k 4 + k S n + k 4 + k + k 4 + k [ + + k k + k 4 + k ] kk + ] [ n + + k k + k 4 + k + nn + n + división de polinomios + kk +, kk + n + [ k ] k +
![Bk [ ] n + n n + 0.](/docs-images/42/23036556/images/page_13.jpg "Calcular: S k 4 + k + k 4 + k así: S k 4 + k + k 4 + k S n + k 4 + k + k 4 + k [ + + k k + k 4 +")
14 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 0. Calcular: S k + k k + S S. Calcular: k + k + k k k + [ ] k k + S [ ] k + k k + k k k + n + k + log k k k k + S log, desarrollando tenemos: k S log n + + log + log log 3 n S log 3 43 n + n n + n... log 33 n n n! 3. Calcular: S S S log + k + k n k + log kk + [ logk + logkk + ] logk + log k [logk + logk + ] S logn + log logn + log log n + n +
15 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 4. Calcular: S k + k + k 4 Haciendo + k + k 4 + k + k 4 k + k k se tiene: Por otra parte: S k + k k + k + k. k + k k + k + k Ak + B + k k + Ck + D + k + k k Ak + B + k + k + Ck + D + k k k A + Ck 3 + A + B C + Dk + A + B + C Dk + B + D A + C 0 A + B C + D 0 A + B + C D B + D 0 A C 0 B D, de donde S + k k + k + k + k k + n + n + k + k + 5. Calcular: S k 5k + 3 5k 5k + 5k 6 3k 4 6 k 4 k+
16 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias S S k 5k + 3 5k 5k + 35k 5k + 35k k S 8 S 8 5k 5n k n 9 3 k 4 + k n + 4 5n n + k n 3 k 4 k 3 k k k k+ 6. Calcular: n+ S j 4 j k 4 Haciendo j k en la primera sumatoria y para j k ; j n + k n +, luego n+ S k 4 k 4 k 4 + n + 4 k 4 n Calcular: S Nótese que S? 3k + 5k +, tal que: 3k k + 6 } k 5,
17 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 3 con lo que S S 5 5 S 5 3k + 5k + 5k + k Calcular: S k + 78 k S S ?, tal que k + k + 3 } k 77, así: S 77 k + k + 3. con ayuda de fracciones parciales: k + k + 3 A k + + B Ak Bk + k + 3
18 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 4 Si k 3 B ; si k A, luego: S S 77 [ k + ] k + 3 [ 77 k k + k + ] k + 3 [ ] 0, Calcular: S n S n k + 3 k + 3 kk + 3k, de donde kk + A k + A 3 y B, así: S n S n 0. Probar por inducción que: Prueba. B k + [ 3 k ] [ ] k + 3 k k3 k k + 3 k 3 0 n + 3 n n + 3 n kn+ k j j+ ; n j i Para n k k j j+ j
![+ k + ] k + 3 [ 79 + 3 ] 0,404087553 80 9. Calcular: S n 5 3 + 7 3 3 + 9 3 4 3 3 +.](/docs-images/42/23036556/images/page_18.jpg ".. S n k + 3 k + 3 kk + 3k, de donde kk + A k + A 3 y B, así: S n S n 0.")
19 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 5 ii Sea válido para n, o sea, se cumple n. Por probar para n +, o sea, n+ n+ k j+, j en efecto: kn+ j n+ kn+ k kn+ j j n+ j k n + + n + + n + j+ j j+ j j+ j + n + n + + n++ n + + n++ n + Nótese que n + + es par y que n + + es impar.. Sabiendo que a+ 5 a 5 +5a 4 +0a 3 +0a +5a+, demostrar que S k 4 cumple con la ecuación: [ ] nn + n+ 5 +5S+0 +0 encuentre el valor de S cuando n 5. nn + n nn + +n Haciendo a, a, a 3,..., a n en el desarrollo dado, tenemos:
20 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 6 n + 5 n + 5 n 5 + 5n n n + 5n + sumando miembro a miembro y simplificando, obtenemos: n n n n n + n [ ] nn + n + 5 nn + n + + 5S nn n, despejando S y para n 5 se tiene S [ ] Si fk k a fk fk + k+ k k+ b Aproveche a y calcule la suma de n términos De inmediato, fk fk + k k + k + k k k + k+ k + kk + + k k k + k + k k + Observe que nos va generando los términos de la suma, luego: k k+ [ ] k + fk fk + k k + f fn + n +
21 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 7 3. Demuestre por inducción kn k + nn + n + 6 Demostración. i Para n, k k ii Sea válido para n j, se verifica que: j kj k + jj + j + 6 Por demostrar para n j +, o sea, En efecto: j+ kj + k + j + j + j j+ kj + k + j+ [kj k + + k] j+ j+ kj k + + k j kj k + + j + j j j + j + 6 jj + j + + j + j + j + j + j + 3 6
22 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 8 4. Si u i n + 3n, calcule el valor de i in+ u i y u n. así, u i u i in+ i i in+ u i 3nn +, ahora como u i n + 3n n + 3n, n u i u i u n n + 3n [n + 3n ] u n i i simplificando se llega a u n 4n Demostrar que: n+ k k n + n + Demostración. i Para n : 3 k k ii Hipótesis inductiva, para n j: j+ k k j + j +. Por demostrar para n j +, o sea, j+3 k k j + j + 3.
23 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 9 En efecto, como: j+ k k j+ j + j + k k + j+ j + + j+3 j + 3 j + j + + j+ j + + j+ j + 3 como j + es impar y j + es siempre par, entonces: j+3 k k j + j + j + + j + 3 j + 3j + 4j + 8j j + j + 9 j + 3j + + 4j + 5 j + 7j + 6 j + j Se define 0!,!,...,n +! n!n +. Por tanto, n +! 3...n n +. Calcular: a kk! b k + k! a kk! k + k! [k + k! k!] [k +! k!] n +!!
24 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 0 b k + k! [k + k]k! k + k! kk! k + k +! [n +!!] n+ kk! n +! + k n+ kk!! n +! + n +!!! n +! + n +! n +! n +!n 7. Calcular: a n kn+ k k +! b n k0 k + k k +! a n kn+ k k +! n kn+ k + k +! n+! n! n kn+ k! k +! b Con el fin de evitar artificios algebraicos como el efectuado en a, a continuación damos un método similar al de fracciones parciales para separar en fracciones términos que contienen factoriales. k + k A k +! k +! + B k! + C k! Tres constantes pues el grado del numerador es dos, dos constantes si el grado es uno como en a y los denominadores decrecientes a partir de k +! uno por cada constante.
25 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Así, de se tiene que k + k A + Bk + + Ckk +. Si k A. Si k 0 A + B B. Si k A + B + C C. Se obtienen los mismos resultados por igualdad de coeficientes, por tanto queda k + k k +! k +! + k! k!, con lo que n k0 k + k k +! n k + k + k +! n + k +! + k! k! n + k! n + k +! +! n! + n! 0! n! + n! k! k! 8. Calcular: 3! + 4! ! +... n términos Notemos que a k k k+! k, k,,..., n siguiendo el método del problema anterior se tiene: de donde k A + Bk +. k k +! A k +! + B k +!,
26 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Si k A y si k 0 B, luego k + k +! k k +! k +! k k k +! k+ k +! finalmente para la propiedad telescópica se tiene que: k +! k +! k! n+ n+ n +! n +! 9. Calcular: S n kk + k +...k + p, p 0. Nótese que: A kk +...k + p + B k + k +...k + p kk +...k + p Ak + p + Bk Si k 0 A p y si k p B p, luego: S n S n p Nótese que: [ [ p kk +...k + p...p n + n +...n + p k + k +...k + p ]. ] u k kk +...k + p y u k+ k + k +...k + p
27 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Calcular: ai + bj, a, b constantes. i j i ai + bj j ai i i + b j j j [ nn + ain + b ] an nn + + bn[nn + ] 3. Calcule: 7 i j 0. j i 7 i j 0 j i j j 7 i 0 i 7 i7 [ ] j j 80 j 40 j j 40nn + 40n 40n 3. Calcule: i i j j 3 i.
28 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 4 i i j j 3 i 33. Calcular la suma de n términos de: i j i 3 i 3 j i i j i j [ 3 i i i 3 i i n 3 3 n n n ] i 3 a b [ ] n + n + c nn + + nn + + n + + n + n + [ n nn + + n + 3 n + n + + n n + n + 3 a S n j [ 3 j k jj + k j + j k j j 6 kk + k + + kk + k 3 + 3k + k ] nn + n + n + 3
29 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 5 b S n j k k + jj + k + k + k + k j j j + k nn + c S n k n + k n + j n + j k n + k j n + k j n + j n n + k n + j k n n Calcule: n n n. Note que la suma se puede expresar por: k k k j j k kk + k n + n n + k + k 35. Calcular: a n+ i i i+j b j m i k + i c k j i k + j i
30 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 6 a b c n+ i i i+j j j i n+ i n+ i j i n+ j i i i n+ n+ i i i i i 4n n 3 n+5 5 n m k + m i k + i i + i i m k + i i + i [ ] [ m nn + + n i m + i i i [ 4 nn m ] m + k j k i k + jj + k + k + k j j k + j + j k nn + i i i ] i + k Calcule la suma de todos los números del siguiente cuadro n
31 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 7 Primera forma: Sumando por filas n es decir, expresándolo como doble sumatoria, queda: i i k ii + i i + i i i 6 nn + n + + nn + nn + n + 6 Segunda forma: Sumando por columnas. n n n n + n + 3 n n in i + n + i i i i i n + nn + nn + n + 6 nn + n + 6 naturalmente da el mismo resultado. 37. Calcular: S n i i jx i con x j Expandiendo la doble suma se tiene:
32 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 8 S n + 3x + 6x + 0x 3 + 5x 4 nn xs n x + 3x + 6x 3 + 0x 4 + 5x Restando miembro a miembro, resulta: x n n n x n + nn + x n. xs n + x + 3x + 4x 3 + 5x nx n nn + x n x xs n x + x + 3x 3 + 4x n x n + nx n nn + x n+. Restando miembro a miembro nuevamente: x S n + x + x + x x n nx n nn + + x n+ x S n xn nn + 3 S n x x [ x n x 38. Calcular la suma del siguiente cuadro: n + filas. x n + nn + x n nn + x n+ nn + 3 x n ] nn + x n+ La suma se puede expresar como sigue: o bien, 4 9 k + k + k +... k k5
33 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 9 Luego, la suma pedida es: i+ i0 ki + k i+ k i0 i [i + 4 i 4 ] n + 4 i0 k 3.0. Ejercicios Propuestos. Desarrollar las siguientes sumatorias: a 6 k3 3 k k + b k n + k! c n+ kn+ k n k Respuesta. a b n +! + n +! n + 3! n n + n! c n+ + n+ + n n+ n+. Escribir usando el símbolo las siguientes sumas: a hasta n términos. b n. c Respuesta. a i i i
34 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 30 b c n+ 57 j 3 k 4j 5 j 3. Calcular: a k k + b k Respuesta. k 3 k c 0 n+ n k kn a nn n b nn n 3 9 c nn + 3n + 7n + 4. Calcular: a i + i + i0 n 3 b k 3 k + k n a i a i+ c, a 0. d i0 60 k4 a i+ k k +! Respuesta. a b 3 n+ n c a n+ d 4! 6!
35 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 3 5. Determine el término que falta en las siguientes igualdades: a 6k? 6 6n + 6 b? 3 3 k + 5 n c d i0 n+4 i+? i? n+ kk +? k Respuesta. a 6k+6 b 3 k+7 c i 4 y i 7 d k k 6. Calcular: a b c Respuesta. a b 583 c Calcular: n+ a k k
36 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 3 b n+ k k k0 Respuesta. a n + b n + n + 8. Calcule la suma de n términos de: a n, para n impar. b n + n + 3n +... Respuesta. a n + n b nn + n + 9. Sumar n términos de: a b Respuesta. a 4 nn + n b 4 3 n6n + 4n + 0. Sumar n + términos de: Respuesta. 4n 3 + 9n + 6n +
37 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 33. Calcular la suma de n términos de: 3 a b c d e Respuesta. a b 4 c d 3 4n+53 n n+n+ 5 4 nn+3 n+n+ 3 n+ 6n 5 3 n n 4 n+ +n+4 n+ e n+35 n+5n+6 5 n+5. Determine el número natural n para el cual se cumpla: n n 3 k k 4 kn Respuesta. n 4 3. Calcular: i a b i m j4 j i 4j i 3 i+j
38 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 34 c d e f g m n in+ j 4j + 4j, m > n ik i i k j j j j j n + k n + j n + j k k+j k + j j Respuesta. a nn + 3 b m 3 3 n c m n n n d n n + n e n + f n 3 n n + 4 n g 6 nn + n + + n Demostrar por inducción: a b c kn i kk + n n + i n + i n log + logn + k
39 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias 35 d e f k j j j cosk x 5. Calcular: a b n+ k n + j j sen nx sen x kk+k+...k+p nn+...n+p+, p N. p + k k k 3 + k + k + k Respuesta. a 4 4n + 3 b n n + + n+ n+ n+ 6. Calcule la suma de n términos de: a b c Respuesta. a nn + n + n + 3 b nn + n + n 3 6 c nn + n +
40 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Determine la suma de n términos los que se encuentran entre paréntesis Respuesta. 3 nn + [ 3nn + + ] 8. Demostrar: j k j in i + i 9. Si S k i i k ; k,,..., n. Demuestre que: k + jn+ S j 3 n k Hallar el número de esferas en un apilamiento sobre una base rectangular cuyos lados contienen 5 y 0 esferas, si el tope es una línea. Respuesta Demuestre que la suma de todos los naturales impares que son menores que 6n y que no son múltiplos de 3, es 6n.. Probar que la suma de los productos en parejas distintas de los n primeros números naturales impares es: 6 nn 3n n. 3. Demuestre que la suma de los productos de todas las parejas de números distintos que se pueden sumar con los n primeros números naturales es: 4 nn 3n +.
41 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Esferas iguales son apiladas en forma de una pirámide de base cuadrada. Hallar el número de esferas en una pirámide incompleta que tiene n capas si cada lado de la base contiene n esferas. Respuesta. nn + 7n Sea la sucesión definida por: a, a,...,a n a n, n. a Examinando algunos valores, conjeture una fórmula para a n, luego verifíquela por inducción. b Calcular n+ k4 ka k para n. Respuesta. b n n Calcular: k + k a k +! b c k k +! k + 5k + 5 k + 4! Respuesta. a n+ n+! b n n+! c 8 n+4n+!
42 Luis Zegarra A. Sucesiones, inducción y sumatorias Si a i i i i, simplifique a i+ a i y aplíquela para calcular: k Si S i i j demuestre que: j j S i S n i+ nn + n + n + 3n Ocupe la identidad cos n + x cos n x sennx sen x, para demostrar que: senkx cos x cos n + x cos x. sen x
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