I PRELIMINARES 3 1 Identidades notables Productos y potencias notables Uso del símbolo de sumatoria Símbolo de sumatoria:

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1 ÍNDICE I PRELIMINARES Identidades notables Productos y potencias notables Uso del símbolo de sumatoria Símbolo de sumatoria: Notación y Ejemplos Factoriales. Permutaciones. Números combinatorios. Binomio de Newton Factoriales y Permutaciones Número combinatorio.binomio de Newton

2 ÍNDICE

3 UNIDAD I PRELIMINARES Identidades notables. Productos y potencias notables. A continuación mostramos algunas identidades notables que por su uso frecuente es conveniente recordar, para ello utilizaremos letras a, b, c,...: Cuadrado de a + b (a + b) = (a + b)(a + b) = a + ab + ba + b (a + b) = a + ab + b Es decir, el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Cuadrado de a b (a b) = (a b)(a b) = a ab ba + b (a b) = a ab + b Es decir, el cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

4 UNIDAD I. PRELIMINARES Las reglas anteriores son válidas para la suma o diferencia de expresiones cualesquiera. Producto de una suma por una diferencia (a + b)(a b) (a + b)(a b) = a ab + ba b (a + b)(a b) = a b Es decir, el producto de una suma por su diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. Esta regla también es válida para para la suma y diferencia de expresiones cualesquiera. Cubo de a + b (a + b) = (a + b) (a + b) = (a + ab + b )(a + b) = a + a b + b a + a b + ab + b (a + b) = a + a b + ab + b Es decir, el cubo de una suma es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. Cubo de a b (a b) = (a b) (a b) = (a ab + b )(a b) = a a b + b a a b + ab b (a b) = a a b + ab b Es decir, el cubo de una diferencia es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. Las dos reglas anteriores también son válidas para expresiones cualesquiera. Cuadrado de a + b + c (a+b+c) = [(a+b)+c] = (a+b) +(a+b)c +c = (a +ab+b )+ac +bc +c = = a + b + c + ab + ac + bc

5 . Identidades notables 5 (a + b + c) = a + b + c + ab + ac + bc Es decir, el cuadrado de una suma de tres sumandos es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero. Esta regla se generaliza para cuatro o más sumandos, por ejemplo: (a + b + c + d) = a + b + c + d + ab + ac + +ad + bc + bd + cd Ejemplo. (a) (a + 6a) = (a ) + (a )(6a) + (6a) = a 6 + a + 6a (b) ( a bc) = ( a) ( a)(bc) + (bc) = 9 a abc + b c (c) (a a) = (a ) a a + a = a a + a (d) (a )(a + ) = (a ) = a (e) (ab + 6a)(ab 6a) = (ab ) (6a) = a b 6a (f) (a + 6a) = (a ) + (a ) 6a + (a )(6a) + (6a) = 8a 9 + 7a a a (g) ( 5a) = 5a + (5a) (5a) = 7 75a + 5a 5a (h) (a + a + b) = (a ) + a + b + (a )a + (a )b + ab = a + a + b + a + a b + ab

6 6 UNIDAD I. PRELIMINARES Uso del símbolo de sumatoria. Símbolo de sumatoria: Notación y Ejemplos. Supongamos que los sumandos de una suma S se pueden obtener dando valores enteros positivos consecutivos, desde m hasta n, a la variable k de una cierta expresión matemática E(k) dependiente de K, es decir, S = E(m) + E(m + ) + E(m + ) E(n ) + E(n ) + E(n) La escritura de la suma anterior se puede simplificar si utilizamos la letra griega de la siguiente forma: S = E(k) k=m Ejemplo. (a) Para expresar en forma de sumatorio abreviado la suma S = + r + r + r r n basta escribir: S = (b) Si expresamos en forma de sumatorio abreviado la suma S = n escribiremos: (c) Si queremos desarrollar la sumatoria S = + n r k k 5 + n escribimos: 5 + n = n = n (d) Para desarrollar la sumatoria 5 k= k(k + ) escribimos: 5 k= k(k + ) =

7 . Uso del símbolo de sumatoria 7 (e) Podemos expresar una sumatoria mediante otra cuyos índices sean distintos: n+ k! = k= n+ (k )! = k= (k )! También n k! =! +! +! +! n! = + +! +! n! k= n+ k= k! = n+ k, ya que: k! (k )! =! +! +! +! n! y k= k! =! +! +! +! n! = + +! +! n! k k! =! +! +! +! n + (n + )! = + +! +! n! i (f) Podemos utilizar sumatorias dobles, desarrollando en primer lugar la k= i= k i sumatoria interna de índice i y después la externa de índice k: k= i= i k i = k= ( + ) = k k k= = + + = + + = 7 ( + ) = k

8 8 UNIDAD I. PRELIMINARES Factoriales. Permutaciones. Números combinatorios. Binomio de Newton.. Factoriales y Permutaciones. Definición de factorial de un número. Sea r N {}, se define el factorial de r, se representa r!, de la forma siguiente: r! def = (factorial de r) = {, r = r(r )!, r >. En la práctica decimos que el factorial de un número n N, n > es el producto de los n primeros números naturales n! = n (n ) (n ).... Observaciones. Por la definición! = y! =. (n + )! = (n + ) n!. En efecto, ya que (n + )! = (n + ) { }} { n (n ) (n )... = (n + ) n! Definición de permutación ordinaria. Dado el conjunto A = {,,,...n}, llamamos permutaciones ordinarias de n elementos a las distintas ordenaciones que se pueden hacer con esos n elementos y se expresa P n. El número de permutaciones de n elementos viene dado por n!, es decir: P n = n! = n (n ) (n )... Ejemplo. Consideremos el conjunto A = {,, }, el número de permutaciones distintas que podemos formar con esos tres elementos viene dado por P =! = = 6 y las distintas permutaciones serían:

9 . Factoriales. Permutaciones. Números combinatorios. Binomio de Newton. 9 Observaciones. En Álgebra las permutaciones de tres elementos A = {,, } forman el grupo S y la notación específica es: ( ) ( ) ( ) σ i = ; σ j = ; σ k =. Número combinatorio.binomio de Newton. Definición de número combinatorio. Dados p, q N {}, con p q se define el número combinatorio de índice p y denominador q, se denota ( p q) y se lee p sobre q, en la forma: ( ) p p! = q q!(p q)!, Los números combinatorios juegan un papel muy importante en Matemáticas. Observaciones. Se cumplen las propiedades: ( ) ( ) p p. = =, p N {}, p ( ) p. = p, p N. ( ) ( ) p p. =, p, q N {}, p q. q p q ( ) ( ) ( ) p p p +. + =, p, q N {}, p q. q q + q + Observaciones. Si tenemos en cuenta la propiedad anterior podemos calcular de una forma sencilla todos los números combinatorios : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...

10 UNIDAD I. PRELIMINARES Esta disposición nos permite calcular cada número combinatorio como la suma de los dos que hay sobre él, y se obtiene la tabla conocida como triángulo de Tartaglia o de Pascal: 6... A partir de la definición de número combinatorio podemos expresar ( ) ( ) a + b = a + b = a + b ( ) ( ) ( ) (a + b) = a + a b + b = a + a b + b Si continuamos indefinidamente esta ley de formación hasta la potencia n-ésima podemos escribir: (a + b) n = ( ) n a n + ( ) n a n b + ( ) ( ) n n a n b + + a b n + n ( ) n b n n La fórmula anterior se conoce como Binomio de Newton y la probaremos por inducción en el Tema de la asignatura Análisis y Métodos Numéricos.