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1 real de con Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura

2 real de con

3 Índice real de con real de con. Propiedades. Significado geométrico. Propiedades. Significado geométrico. Propiedades. Significado geométrico

4 real de con 1. real

5 real real de con Definición Consideremos un conjunto V = {u, v, w,...}, en el que definimos las siguientes operaciones: Suma: u + v por es: ku, (k R) El conjunto V, con las operaciones suma y producto por es, es un si se verifican las propiedades que veremos a continuación

6 real Propiedades Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w) Conmutativa: u + v = v + u real de con Elemento neutro: existe un elemento que designaremos por 0, tal que cualquiera que sea el elemento u se verifica u + 0 = u Elemento opuesto: cualquiera que sea el elemento u, existe otro, u (opuesto de u), tal que u + ( u) = 0 k(u + v) = ku +kv (k R) (k + h)u = ku +hu (k, h R) k(hu) = (kh)u (k, h R) 1u = u, donde 1 es el elemento unidad del conjunto de los números reales A los elementos de V se les llama

7 Ejemplos de s es reales real de con Ejemplos de s es Los conjuntos R 2 = R R; R 3 = R R R;...;R n = R... n R, con las operaciones suma y producto por números reales. Por ejemplo, en el R 3, cada vector es una terna de números reales (x, y, z), y las operaciones suma y producto por un número real λ son las siguientes: (x, y, z) + (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) λ (x, y, z) = (λx, λy, λz) El conjunto de las matrices de números reales de m = 2 filas y n = 3 columnas, con las operaciones de suma de matrices y producto de un por una matriz (válido también para otros valores de m y n). El conjunto de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n = 3, con las operaciones usuales de suma de polinomios y producto de un polinomio por un número real (válido también para otros valores de n). El conjunto de funciones reales continuas definidas en el intervalo [0, 1], con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de una función por un número real.

8 real de con de

9 de real de con Definición Un vector u de V es combinación de los u 1, u 2,..., u n de V, si puede expresarse así: siendo a 1, a 2,..., a n números reales. Ejemplo u = a 1u 1 + a 2u a nu n, En el R 3, podemos escribir el vector ( 4, 4, 32), como combinación de los : (2, 3, 4), (1, 0, 1) y ( 1, 1, 3) de la siguiente manera: ( 4, 4, 32) = 3(2, 3, 4) 5(1, 0, 1) + 5( 1, 1, 3)

10 Sub engendrado real de con Definición Sea V un. Se dice que W es un sub de V, si se verifican las siguientes condiciones: 1 W es un subconjunto no vacío de V 2 La suma de dos de W es otro vector de W 3 El producto de un número real por un vector de W es otro vector de W

11 Ejemplo de sub engendrado real de con Ejemplo En el R 3, consideremos el subconjunto W formado por los cuya tercera componente es nula, es decir, W verifica: W = {(x, y, 0) : x, y R}. 1 Es un subconjunto no vacío de R 3, ya que, al menos, el vector nulo pertenece a W 2 La suma de dos de W es otro vector de W 3 El producto de un número real cualquiera por un vector de W es otro vector de W El conjunto W es un con las operaciones suma y producto por un número real usadas en el R 3. Por lo tanto, W es un sub de R 3.

12 Sub engendrado real de con Definición Sea S = {u 1, u 2,..., u n} un conjunto de de un V. Se llama sub engendrado por S, y se le designa por L(S) o por < u 1, u 2,..., u n >, al sub formado por todas las combinaciones es que se pueden hacer con los de S, es decir: L(S) = {a 1u 1 + a 2u a nu n} Los u 1, u 2,..., u n se dice que forman un sistema generador del L(S) Ejemplo En el R 3, el sub engendrado por los u = (1, 1, 3) y v = (2, 5, 6) es: L(u, v) = < u, v > = {a 1u + a 2v} = = {a 1(1, 1, 3) + a 2(2, 5, 6)} = = {(a 1 + 2a 2, a 1 5a 2, 3a 1 + 6a 2)}

13 real de con

14 real de con Definición Un conjunto de es mente dependiente si al menos uno de ellos se puede expresar como combinación de los restantes. En caso contrario se dice que son mente independientes. Ejemplo En el ejemplo que veíamos anteriormente, los : ( 4, 4, 32), (2, 3, 4), (1, 0, 1) y ( 1, 1, 3) son mente dependientes pues el primero se puede escribir como combinación del resto.

15 real de con Otra forma de definir los conceptos anteriores es la siguiente: Definición Los u 1,u 2,...,u n son mente dependientes si existe una combinación de los con algún coeficiente no nulo que sea igual al vector cero, es decir: con algún a i 0,i = 1,..., n. Definición a 1u 1 + a 2u a nu n = 0, Los u 1,u 2,...,u n son mente independientes si cualquier combinación de los que sea igual al vector cero, tiene que tener todos los coeficientes nulos, es decir: a 1u 1 + a 2u a nu n = 0, solo es posible con todos los a i = 0, i = 1,..., n.

16 real de con Ejemplo Supongamos que queremos estudiar la dependencia en R 3 del conjunto de : {(3, 3, 2), (1, 1, 1), (2, 2, 3)}. Vamos a tratar de escribir un vector como combinación del resto: (3, 3, 2) = a 1(1, 1, 1) + a 2(2, 2, 3) Identificando las componentes, obtenemos el siguiente sistema: 3 = a 1 + 2a 2 3 = a 1 + 2a 2 2 = a 1 + 3a 2 La solución de este sistema es a 1 = 1 y a 2 = 1, por tanto el vector (3, 3, 2) se puede escribir como combinación del resto y, en consecuencia, los dados son mente dependientes.

17 Base de un real de con Definición Sea V un y B un subconjunto de de V. Se dice que B es una base de V si se verifican las siguientes condiciones: B es un sistema generador de V B es mente independiente Definición Llamamos dimensión del V al número de elementos que tiene cualquiera de sus bases.

18 Ejemplos de bases y dimensiones de s es real de con Ejemplos 1 El R 2 está formado por pares de números reales (x, y). Tiene como base canónica B = {(1, 0), (0, 1)}, porque B es sistema generador de R 2 porque cualquier par de números reales (x, y) es combinación de B: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1). B es mente independiente porque si x(1, 0) + y(0, 1) = (0, 0), entonces x = 0 e y = 0. Por tanto, R 2 tiene dimensión 2. 2 El R 3 está formado por ternas de números reales (x, y, z). Tiene como base canónica B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, por lo que tiene dimensión 3. 3 En R 3, el W engendrado por el vector u = (1, 2, 3) tiene por base al propio vector u, pues u es no nulo y genera todo el W. Por tanto la dimensión de W es 1. 4 La base más sencilla del de los polinomios de grado menor o igual a 2 es {x 2, x, 1} y por lo tanto tiene dimensión 3.

19 Coordenadas de un vector real de con Definición Sea V un de dimensión n y B = {u 1, u 2,..., u n} una base de V. Se llaman coordenadas de un vector v de V, respecto de la base B, al conjunto de números reales a 1, a 2,..., a n, que permite expresar el vector v como combinación de los de la base, es decir: v = a 1u 1 + a 2u a nu n

20 Coordenadas de un vector real de con Ejemplo En el R 3, vamos a calcular las coordenadas del vector (1, 0, 0), respecto de la base: Para ello planteamos, B = {(1, 1, 0), (0, 0, 2), (3, 0, 1)} (1, 0, 0) = a 1(1, 1, 0) + a 2(0, 0, 2) + a 3(3, 0, 1), e igualamos coordenada a coordenada para obtener el siguiente sistema de ecuaciones 1 = a 1 + 3a 3 0 = a 1 0 = 2a 2 + a 3 cuya solución: a 1 = 0, a 2 = 1/6, a 3 = 1/3, son las coordenadas del vector (1, 0, 0) en la base B

21 real de con 2. con

22 Vectores fijos en el real de con Definición de vector fijo Llamamos vector fijo de un a un segmento orientado cuyos extremos están determinados. Designaremos por AB a un vector fijo del que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. Definición de vector nulo Si en un vector su origen coincide con su extremo, se dice que es el vector fijo nulo. Todo vector fijo no nulo AB en el queda caracterizado por un par de puntos (A, B) o por su módulo, dirección y sentido.

23 Vectores fijos en el real de con Definición de módulo de vector fijo Se llama módulo del vector AB, y se denota AB, a la longitud del segmento de extremos los puntos A y B. Definición de dirección de un vector fijo Se llama dirección del vector AB a la dirección de la recta que pasa por A y B. Definición de sentido de un vector fijo Se llama sentido del vector AB al sentido de recorrido de la recta AB cuando nos trasladamos de A a B. Como estándar, denotaremos u o v a los fijos.

24 Ejemplos Ejemplo Los de la siguiente figura tiene igual módulo, dirección y sentido. real de con

25 Ejemplos Ejemplo Los de la siguiente figura tiene igual dirección y sentido pero distinto módulo. real de con

26 Ejemplos Ejemplo Los de la siguiente figura tiene igual dirección pero distinto módulo y sentido. real de con

27 Ejemplos Ejemplo Los de la siguiente figura tiene distinto módulo, dirección y sentido. real de con

28 real de con. Propiedades. Significado geométrico

29 Definición de producto real de con Definición El producto de dos u y v se designa por u v y se obtiene del siguiente modo: u v = { u v cos( u, v ), si u y v son no nulos 0 si u o v es el vector nulo

30 Propiedades del producto real de con 1. El producto de un vector por sí mismo es un número positivo o nulo: u u 0 2. El producto es conmutativo: u v = v u 3. Propiedad homogénea: k( u v ) = (k u ) v o k( u v ) = u (k v ) siendo k R. 4. Propiedad distributiva respecto de la suma: u ( v + w ) = u v + u w

31 Significado geométrico del producto real de con Consideremos las figuras anteriores donde se representan los u y v. Al proyectar el vector v sobre la dirección del vector u o viceversa, obtenemos: Proyección de v sobre u = medida del segmento AB = AB = vector proyección de v sobre u

32 Significado geométrico del producto real de con El producto de dos cualesquiera u y v es igual al módulo de u por la proyección de v sobre u o viceversa: u v = u v cos( u, v ) = u (proyección de v sobre u ) u v = u v cos( u, v ) = v (proyección de u sobre v )

33 Cálculo del módulo y el ángulo de un vector Calcularemos el módulo de un vector como la raíz cuadrada positiva del producto del vector por sí mismo: u = u u real de con Diremos que un vector u es unitario si tiene módulo igual a 1 ( u = 1). Calcularemos el coseno del ángulo formado por dos como la división del producto entre el producto de sus módulos: cos( u, v ) = u v u v Diremos que dos u y v son ortogonales si su producto es 0.

34 Expresión anaĺıtica del producto real de con Sea B = ( u 1, u 2, u 3) una base cualquiera y u, v dos cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y (x, y, z ). Entonces el producto de ambos en términos de coordenadas se puede expresar así: u v = (x u1 + y u 2 + z u 3) (x u 1 + y u 2 + z u 3) = xx ( u 1 u 1) + xy ( u 1 u2) + xz ( u 1 u 3) + yx ( u 2 u 1) + yy ( u 2 u2) + yz ( u 2 u 3) + zx ( u 3 u 1) + zy ( u 3 u2) + zz ( u 3 u 3)

35 Expresión anaĺıtica del producto real de con B es una base normada si está formada por unitarios, es decir, u 1 u 1 = u 2 u 2 = u 3 u 3 = 1. En este caso, la expresión anaĺıtica del producto es: u v = xx + yy + zz + (xy + yx )( u 1 u2) + (xz + zx )( u 1 u 3) + (yz + zy )( u 2 u 3) B es una base ortogonal si los de la base son ortogonales tomados de dos en dos, es decir, u 1 u 2 = u 1 u 3 = u 2 u 3 = 0. En este caso, la expresión anaĺıtica del producto es: u v = xx ( u 1 u1) + yy ( u 2 u2) + zz ( u 3 u3) B es una base ortonormal si es una base normada y ortogonal. En este caso, la expresión anaĺıtica del producto es: u v = xx + yy + zz

36 Ejemplos de producto real de con Ejemplo El producto de dos fuerzas f 1 y f 2 en el, que tienen, respectivamente, 5 y 2 newton de intensidad y forman un ángulo de 60 o es: Ejemplo Puesto que f 1 f 2 = f 1 f 2 cos( f 1, f 2) = 5 2 0,5 = 5 u v = u v cos( u, v ) = v (proyección de u sobre v ), la proyección del vector u = (2, 1, 3) sobre el vector v = ( 3, 4, 2) considerando una base ortonormal es: proyección de u sobre u v v = = 2( 3) v ( 3) =

37 real de con. Propiedades. Significado geométrico

38 Definición de producto real de con Definición El producto de dos u y v es otro vector que se designa por u v y que se obtiene del siguiente modo: 1 Si u y v son dos no nulos, y no proporcionales, u v es un vector que tiene: módulo: u v sin( u, v ) dirección: perpendicular a los u y v sentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de u a v. 2 Si u = 0 ó v = 0 o si u y v son proporcionales, entonces se tiene que u v = 0

39 Propiedades del producto real de con 1. Anticonmutativa: u v = v u 2. Homogénea: k( u v ) = (k u ) v = u (k v ) (k R). 3. Distributiva respecto de la suma: u ( v + w ) = u v + u w

40 Significado geométrico del producto Sean u y v los de la figura. real de con Si trazamos por B una perpendicular a la recta OA, corta a ésta en el punto B y se verifica que: de donde: sin( u, v ) = BB, v BB = v sin( u, v ).

41 Significado geométrico del producto real de con Multiplicando ambos miembros por el módulo del vector u obtenemos: u BB = u v sin( u, v ) = u v, y como u BB es el producto de la base por la altura del paralelogramo OACB se tiene que el módulo del producto de u y v es igual al área del paralelogramo que tiene por lados los u y v.

42 Expresión anaĺıtica del producto real de con Sea B = ( u 1, u 2, u 3) una base ortonormal y u, v dos cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y (x, y, z ). Entonces el vector u v tiene las siguientes componentes: ( ) u y z v = y z, z x z x, x y x y, Podemos recordar lo anterior relacionándolo con el cálculo de los determinantes: u1 u2 u3 u v = x y z x y z (El último determinante solo es una regla para recordar el cálculo de una producto, puesto que no tiene sentido matemático el determinante de una matriz cuyos elementos sean mezclados con números)

43 Ejemplo de producto real de con Ejemplo El producto de los (1, 2, 3) y (0, 3, 5) da como resultado: u 1 u2 u3 (1, 2, 3) (0, 3, 5) = = u1 5u2 + 3u3, es decir el vector (1, 5, 3)

44 real de con. Propiedades. Significado geométrico

45 Definición de producto real de con Definición El producto de tres u, v y w es un número real que se designa por [ u, v, w ] y que se obtiene del siguiente modo: [ u, v, w ] = u ( v w )

46 Propiedades del producto real de con 1. [ u, v, w ] = [ v, w, u ] = [ w, u, v ] 2. [ u, w, v ] = [ v, u, w ] = [ w, v, u ] = [ u, v, w ] 3. [ u, v, w ] = 0 si y solo si, u, v, w son mente dependientes. 4. [a u, b v, c w ] = abc[ u, v, w ] 5. [ u + u, v, w ] = [ u, v, w ] + [ u, v, w ]

47 Significado geométrico del producto Sean u, v y w los de la figura. real de con [ u, v, w ] = u ( v w ) = u v w cos( u, v w )

48 Significado geométrico del producto real de con Como u cos( u, v w ) = OH es la altura del paralelepípedo construido sobre los tres, y como v w es el área de la base, resulta que: [ u, v, w ] = base altura = volumen. El valor absoluto del producto de tres es igual al volumen del paralelepípedo que tiene por aristas a los tres.

49 Expresión anaĺıtica del producto Sea B = ( u 1, u 2, u 3) una base ortonormal y u, v, w tres cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z), (x, y, z ) y (x, y, z ). Entonces el producto [ u, v, w ] tiene la siguiente expresión anaĺıtica: real de con [ u, v, w ] = u ( v w ) ( = (x u + y v + z y z w ) y z u + z x z x = x y z y z + y z x z x + z x y x y x y z = x y z x y z = det( u, v, w ) v + x y x y ) w es decir, [ u, v, w ] = det( u, v, w )

50 Ejemplo de producto real de con Ejemplo El producto de los (0, 1, 3), (2, 4, 6) y (1, 2, 1) es: [(0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)] = det((0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)) = 4

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