en el espacio queda caracterizado por un par de puntos A y B, o bien por su módulo, dirección y sentido junto con el origen, siendo:

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1 TEMA 10: VECTORES EN EL ESPACIO Vectores fijos y libres en el espacio vectorial. 10. Operaciones con vectores libres. Bases del espacio vectorial Producto escalar. Módulo y ángulo de vectores Producto vectorial Producto mixto Vectores fijos y libres en el espacio vectorial. Se llama vector fijo de origen A y extremo B al segmento orientado de origen en el punto A y extremo en el punto B. Lo designaremos por AB. Al vector cuyo origen coincide con su extremo se le llama vector nulo AA.Un vector fijo, no nulo, AB en el espacio queda caracterizado por un par de puntos A y B, o bien por su módulo, dirección y sentido junto con el origen, siendo: 1) Módulo del vector fijo AB es la longitud del segmento de extremos los puntos A y B. Y se denota por AB. El módulo del vector nulo es cero. Se dice que un vector es unitario si su módulo es la unidad, 1. ) Dirección del vector fijo AB a la dirección de la recta que pasa por A y B. Dos vectores son paralelos AB y CD si tienen la misma dirección, es decir, si las rectas en las que se apoyan son paralelas, y se denota por AB // CD. Dos vectores AB y CD son ortogonales o perpendiculares si las rectas en las que se apoyan son perpendiculares, y se denota por AB CD. 3) Sentido del vector fijo AB al sentido de recorrido de la recta AB cuando nos trasladamos desde A hacia B. Podemos hablar de sentidos iguales o contrarios si ambos vectores tienen la misma dirección. Cada dirección tiene dos sentidos opuestos. Dos vectores fijos AB y CD son equipolentes si ambos vectores son nulos o si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Y se denota por AB CD.Geométricamente, quiere decir que si ambos no están en la misma recta, uniendo A y C, B y D se obtiene un paralelogramo. Dado un vector fijo AB podemos formar un conjunto con todos los vectores fijos equipolentes a él, a dicho conjunto se le llama vector libre, se denotan por letras minúsculas u, v,.. Al conjunto de los vectores 1

2 libres del espacio lo llamamos espacio vectorial y se denota por V 3. El vector libre nulo tiene módulo 0 y carece de dirección y sentido, se denota por o. Si AB es un vector libre del espacio y O un punto cualquiera del espacio, existe un único representante de este vector que tiene su origen en el punto O. Ejercicio 1: página 69, ejercicio Operaciones con vectores libres. Bases en el espacio vectorial. 1) Adición de vectores. y AB La suma de dos vectores a y b es el vector el representante de b y O un punto arbitrario. OB siendo OA representante de a b a+ b b b a+ b a > o bien, a a La suma de vectores es una operación interna y verifica las siguientes propiedades: 1.- Asociativa: ( a+ b)+ c = a+ ( b + c ). Demostrarlo geométricamente..- El elemento neutro de la suma es el vector nulo. a + o = o + a = a 3.- El vector opuesto al vector a es otro vector de igual dirección y módulo, pero de sentido opuesto, se denota por - a. a + (- a) = (- a) + a = o 4.- Conmutativa: a + b = a + b. Por ser la operación suma de vectores una operación interna y verificar las propiedades anteriormente descritas (asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento opuesto) se dice que (V 3, +) es un grupo conmutativo (abeliano). ) Producto de un número real por un vector. Dado a vector libre, no nulo, y K IR, K 0 se llama producto de un nº real por un vector al vector cuyo módulo es k a, la misma dirección que a, sentido igual a a si k > 0 y opuesto a a si k < 0. Se denota por k a. Si k o a son nulos entonces: 0 a = o k o = o.

3 El producto por un escalar es una operación externa y verifica las siguientes propiedades: 5.- Distributiva respecto de la suma de vectores: k( a + b ) = k a + k b 6.- Distributiva respecto de la suma de escalares:(k + m) a = k a + m a 7.- Asociativa mixta: (k.m) a = k (m a ) = m (k a ) a = a Si en un conjunto, en nuestro caso V 3, definimos una operación interna (+) y otra externa ( IR) y se verifican las 8 propiedades anteriormente mencionadas, se dice que dicho conjunto tiene estructura de un espacio vectorial, es decir, la terna (V 3, +, IR) tiene estructura de espacio vectorial y a sus elementos se les llama vectores. En un espacio vectorial podemos hablar de base, para definir dicho concepto necesitamos definir: Ponemos un ejemplo concreto en la pizarra de un vector que se ponga como combinación lineal de i, j k. Dibujar el vector como diagonal de un cubo. Señalar el nombre de los planos y ejes. Decimos que un vector u, no nulo, es combinación lineal de los vectores u 1, u,..., u n del espacio vectorial, si existen a 1, a,..., a n números reales, no todos nulos, tales que u = a 1 u 1 + a u a n n que depende linealmente de u 1, u,..., u n. Decimos que el conjunto { u 1, u,..., u n } es linealmente dependiente (l.d.) si al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás. (Esto incluye que uno sea proporcional a otro). Si un vector u, no nulo, no depende linealmente de los vectores u 1, u,..., u n del espacio vectorial, se dice que u es linealmente independiente de u 1, u,..., u n. Decimos que el conjunto { u 1, u,..., u n } es linealmente independiente (l.i.) si ninguno de ellos depende de los demás. u. También decimos u Observaciones: a) Si en un conjunto de vectores se encuentra el vector nulo, dicho conjunto es linealmente dependiente. b) Un vector no nulo es linealmente independiente. c) Dos vectores no proporcionales son linealmente independiente (del mismo modo dos vectores proporcionales son l.d.). Un conjunto de vectores B = { u 1, u, u 3 } es una base del espacio vectorial si es un conjunto l.i. y cualquier vector u del espacio se puede expresar como combinación lineal de ellos (sistema generador). Dicha base se dice que es ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos. Dicha base se dice que es normada si todos los vectores son unitarios. Dicha base es ortonormal si es ortogonal y normada. Se llama base canónica del espacio vectorial al conjunto de vectores B = { i, j, k } siendo i, j y k unitarios y ortogonales dos a dos. 3

4 d) Tres vectores l.i. forman una base del espacio. e) Cualquier base del espacio tiene 3 vectores, es decir, su dimensión es 3. f) Cualquier conjunto de 4 ó más vectores son l.d. g) Tres vectores no nulos y no coplanarios forman una base de V 3 ya que: 1.- Son linealmente independientes, por ser no coplanarios..- Sistema generador, porque OP = OX + X P = OX+ XX + X P = OX + OY + OZ Sea u un vector, no nulo, del espacio y B = { u 1, u, u 3 } una base, entonces existen x, y, z números reales, no todos nulos tales que u = x u 1 + y u + zu 3. Se dice que (x,y,z) son las coordenadas cartesianas del vector u respecto de la base B. Podemos definir una aplicación lineal entre V 3 y IR 3 que a cada vector u de V 3 le asocia sus coordenadas (x,y,z), que son únicas. Las coordenadas de los vectores de la base canónica (y de cualquier base) son i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1). Ejercicios página 69, ejercicios: 56 al 65 (56 a b, 58, 59, 61 a, 63 en clase) 10.3 Producto escalar. Módulo y ángulo de vectores. El producto escalar de dos vectores u y v se designa u v y se define del modo siguiente: u v = u v cos ( u v ) si u, v vector nulo. u v = 0 si al menos uno de ellos es el vector nulo. Interpretación geométrica. Proy. de u sobrev cos =, u Proy. de u sobre v = u cos 4

5 Con lo cual el producto escalar se podría escribir de la siguiente forma: u v = u Proy. de v sobre u, es decir, el producto escalar mide longitud. Propiedades del producto escalar. 1.- El producto escalar de un vector por si mismo es un nº positivo o nulo. u u 0.- El producto escalar es conmutativo. 3.- Es homogénea k(u v) = (ku) v = u (kv) 4.- Distributiva del producto escalar respecto de la suma de vectores. u (v + w) = u v + u w Expresión analítica del producto escalar. Sea B={ u 1, u, u 3 } una base de V 3 sabemos que u = xu1 yu zu3 v = x u1 yu zu 3. Por tanto u v = (xu1 yu zu3) (xu 1 yu zu 3) =... = u 1v1 u1v u1v3 x = (x, y,z) u v u v u v y 1 3 u v u v u v z Si consideramos una base ortonormal, que es lo más usual, el producto escalar quedaría de la siguiente forma: u v = xx + yy + zz. Se llama espacio vectorial euclídeo al par (V 3,.), lo importante es que en él podemos medir. Debemos tener en cuenta: a) Módulo de un vector. Ya sabemos que u u = forma: u x + y + z u u u u, cuya expresión analítica quedaría de la b) Ángulo de dos vectores. Ya sabemos qué u v = u v cos ( u v ) u v. Despejando obtenemos cos ( u v) =. u v De forma analítica tendríamos: cos ( u v ) = x + y xx + yy + zz + z x + y + z. c) Si dos vectores son perpendiculares el producto escalar es cero. d) El ángulo de dos vectores varía de 0º a 180º. Página 69, ejercicios: del 66 al 8, 104. En clase 70, 7, 74, 69, 80. Ejercicio 7: (70) En una base ortonormal tenemos que u = (1, -1, ) y v = (-1,, 3) a) u v b) u, v c) ángulo que forman. d) La medida de la proyección de v sobre u. 5

6 Ejercicio 8: (7) Halla el valor o valores de α para que sean perpendiculares los vectores u = (3, -, 5α) y v = (1, -1, -α). Ejercicio 9: (74) Calcula las coordenadas de todos los vectores que lleven la misma dirección que a = (1,,-1) y tenga por módulo 15 unidades de longitud. Ejercicio 10: Cómo es el producto escalar de dos vectores con la misma dirección? Se verifican los productos notables? Ejercicio 11: (69) Se considera el tetraedro ABCD de la figura de arista a: a) Calcula los productos escalares AB. AC y AB. AD. b) Calcula AB. CD, Qué puedes concluir? Ejercicio 1: (80) Dos vectores u y v verifican que u 15, v 1 y u v =5. a) Calcula el producto escalar u. v, de qué tipo es el ángulo que forman u y v?. b) Calcula el ángulo que forman u y v. c) Calcula el ángulo que forma u - v con el vector v Producto vectorial. El producto vectorial de dos vectores libres de V 3, u y v, es otro vector cuyo módulo es u v sen ( ), dirección perpendicular al plano formado por u y v y sentido el del uv avance de un sacacorchos que gira siguiendo el camino más corto de u a v, si lo hace en sentido contrario a las agujas del reloj, el producto vectorial irá hacia arriba y si lo hace en el mismo sentido irá hacia abajo. Se denota por u x v ( u v ). Observaciones: 1) u x v = o u = o ó v = o ó u = v ) i x j = k j x k = i k x i = j Interpretación Geométrica. u A =b x h = u v sen( v) Área del paralelogramo formado por u y v es el módulo del producto vectorial de ambos. 6

7 Propiedades. 1.- Anticonmutativa: u x v = - v x u.- Homogénea: (k u ) x v = u x (k v ) = k ( u x v ) 3.- Distributiva del producto vectorial respecto de la suma de vectores u x ( v + w ) = u x v + u x w 4.- No tiene la propiedad asociativa. Expresión analítica del producto vectorial. Sea B = { i, j, k } una base ortonormal de V 3. sean u = (x, y, z) y v = (x', y', ) Entonces u x v = (x i +y j +zk ) x (x' i +y' j +k ), utilizando la propiedad distributiva y homogénea = xx' i x i + xy' i x j +x i x k + yx' j x i + yy' j x j + y j xk + zx' k x i + zy' k x j + z k xk = xy'k - yx'k - x j + zx' j + y i - zy' i Puesto que i x i = j x j = k x k = 0; i x j = - j x i = k ; j x k = -k x j = i ; -( i x k ) = + k x i = j = (y - zy') i - (x- zx') j + (xy' - yx') k y = y', es decir, u x v = i x x' j y y' k z z x i - x' z x j + x' i y k = x y' x' j y y' k z Página 70, ejercicios del 83, 85 al 93. En clase: 83, 89, 90 a Ejercicio 13: (83) Calcula el p. vectorial de los vectores u = 3 i -5 j +k y v = i + j +3k. Comprueba que el vector resultado es perpendicular a los dos dados. Ejercicio 14: Sea i = (1, 0, 0), j = (0,1,0), k =(0,0,1). Comprobar i x j = -( j x i ) = k Ejercicio 15: (89) Calcula todos los vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectores u = i +3 j -k y v =-4 i +3 j -5k. Ejercicio 16: (90 a) Calcula el área del paralelogramo determinado por los vectores u = i - j y v = j -k. Y del triángulo determinado por ambos? Ejercicio 17.- Simplificar las expresiones: a) ( u - v ) x ( u - v ) b) ( u + v ) x ( u - v ) 7

8 10.5 Producto Mixto. El producto mixto de tres vectores libres del espacio u, v y w es un número real que se designa por [ u, v, w ] y se obtiene de la siguiente forma u ( v x w ). Interpretación Geométrica. v x w es el área de la base. [ u, v, w] = u (v x w) = u v x w cos( u, v x w) = tiene por aristas a u, v, w dichos vectores. Volumen Paralelepípedo. Es decir, el volumen del paralelepípedo que coincide con el valor absoluto del producto mixto de Expresión analítica del producto mixto. Sea u = (x, y, z), v = (x', y', ) y w = (x'', y'', ') sus coordenadas respecto de una base ortonormal, entonces: [ u, v, w ] = u ( v x w ) = (x i +y j +zk ). x y' y'' ' x' - y x'' ' x' y' + z x'' y'' = x y z x' y' x'' y'' ' y' y'', ' x' - x'' [u, v, w ] =, ' x' x'' y' y'' x y z x' y' x'' y'' ' = Propiedades. 1.- [u, v, w ] = [ v, w, u ] = [ w, u, v ].- [u, w, v ] = [ v, u, w ] = [ w, v, u ] = - [ u, v, w ] 3.- [u, v, w ] = 0 u, v y w son linealmente dependientes. 4.- [au, b v,c w ] = abc [ u, v, w ] 5.- [u + u, v, w ] = [u, v, w ] + [u, v, w ] Página 71, ejercicios: del 94 al 99. En clase: 94 a, 97 a, 99. Ejercicio 18: (94 a) Calcula el producto mixto, por definición y mediante la expresión analítica, de u =(,4,-5), v =(-,-,5) y w =(-,4,6). Ejercicio 19: Calcula [ i, j, k ] Ejercicio 0: (97 a) Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores (aristas) u = (0,, -), v = (-3, 0, -1) y w = (3, -8, 0). Cuál es el volumen del tetraedro formado por los tres vectores? (1/6) Ejercicio 1: Calcula los valores de a para que el volumen del paralelepípedo formado por los vectores u = (1, a, 5), v = (8, 1, -9) y w = (-a, 3, 0) valga 173 unidades cúbicas. 8