190. Dado el paralelepípedo OADBFCEG en el espacio afín ordinario, se considera el sistema de referencia afín R = ( O, OA, OB, OC ).

Transcripción

1 Hoja de Problemas Geometría VIII 90. Dado el paralelepípedo OADBFCEG en el espacio afín ordinario, se considera el sistema de referencia afín R O, Sean: OA, OB, OC ). OG la recta determinada por los puntos O G. C DEF dos planos, I, J los puntos de intersección de la recta OG con los planos C DEF, respectivamente. Se pide: a) La ecuación vectorial de la recta OG de los planos C DEF. b) Demostrar que OI IJ JG viendo antes que C DEF. c) Demostrar que I, J son los baricentros de los triángulos C DEF, respectivamente. a) Consideramos la figura adjunta. i) Ecuación de la recta OG. OX λ OG λ OA OB OC ) ii) Ecuación del plano C. OX OA λ µ AC X punto de λ R) OG ) X punto de C) OA λ OB - OA ) µ OC - OA ) - λ- µ) OA λ OB µ OC λ, µ R) iii) Ecuación del plano DEF OX OD λ DE µ DF OA OB ) λ OE - OD ) µ OF - OD ) X punto del plano DEF) /

2 OA OB ) λ OE OA OB ) µ OF - OA - OB ) OA OB ) λ OA OC - OA - OB ) µ OB OC - OA - OB ) - λ) OA - µ) OB λ µ) OC λ, µ R) b) i) Veamos que los planos C DEF son paralelos. Para ello basta ver que DE es paralelo a AC es paralelo a BC que DF ii) Si hacemos en a) ii) λ µ se tiene que OX OA OB OC ) de donde OX OG OI iii) Si hacemos en a) iii) λ µ se tiene que OX OA OB OC ) de donde OX OG OJ de estas relaciones, ii) iii) se tiene que IJ OJ OI OG OI JG OG OJ OG OG OG IJ JG c) i) Veamos que I es el baricentro del triángulo C. En efecto: OA OB OC ) OG OI, de donde I es baricentro de C. ii) Veamos que J es el baricentro del triángulo DEF. En efecto, OD OE OF ) OA OB OA OC OB OC ) OA OB OC ) OG OJ. de donde J es el baricentro de DEF. 9. Dado el tetraedro CD, se considera el sistema de referencia R, AC, AD ). Se pide: a) Ecuación vectorial del plano que pasa por el punto medio de CD es paralelo a las rectas AD BC. b) Demostrar que este plano corta a las aristas del tetraedro no paralelas al mismo, en sus puntos medios. /

3 c) Demostrar que los puntos medios de estas aristas forman un paralelogramo. a) Consideremos la figura adjunta. Una determinación lineal del plano pedido es α I, I es el punto medio del segmento CD AD el vector direccional de AD BC el vector direccional de BC La ecuación vectorial del plano es: AD, BC ) donde: AM AI t AD s BC AD AC ) t AD s AC - ) -s s ) AC t ) AD t, s R b) Si en la ecuación del plano IKJL hacemos, s - t -, entonces AM AJ, luego J α s 0 t -, entonces AM AC AK, luego K α s - t 0, entonces AL AD AL luego L α c) IKJL es un paralelogramo si solo si JL KI son vectores equipolentes. JL AL- AJ KI AI - AK AD AD - AC - AC AD AD luego IKJL es paralelogramo. /

4 9. Se considera el espacio vectorial euclídeo vectoriales: R, en él los siguientes subespacios a) W Vect,, 0), 0,, 6) ) b) W Vect,, ) ) c) W Vect 7, 8, 5), 6,, ),,, 6) ) Hallar los subespacios vectoriales ortogonales correspondientes. El subespacio vectorial n r,, 0) 0,, 6) 6, -6, ) W está engendrado por el vector o también por el vector n r, -, ). Luego W Vect, -, ) ). Puede obtenerse también imponiendo la condición de que el vector n r sea ortogonal a los vectores que engendran W. Si w r,, z) pertenece al subespacio vectorial W entonces:,, z),, ) z 0 que es precisamente la ecuación del plano vectorial W. Puesto que rang 7, 8, 5), 6,, ),,, 6) ) los vectores son linealmente independientes engendran todo el espacio Por tanto W 0) R. 9. En el espacio vectorial euclídeo por R se considera el subespacio vectorial W dado z 0 z 0 Hallar las ecuaciones paramétricas de W. El vector v r,, -) es ortogonal al primer plano vectorial. El vector w r, -, ) es ortogonal al segundo plano vectorial. Por tanto, el plano ortogonal a la recta dada W es: W Vect v r, w r ) 4/

5 donde,,, z) t,, -) s, -, ) que son las ecuaciones paramétricas del plano. O también: t s t s z -t s 94. Sean a r b r dos vectores del mismo módulo, no nulos. Calcular en función de cos a r,b r ), por medio del producto escalar, a) cos a r,a r b r ) b) cos a r,a r -b r ) c) cos b r,a r b r ) d) cos b r,a r -b r ) Interpretar geométricamente estos resultados en el plano euclídeo. Antes de resolver cada una de estas cuestiones calculemos: i) a r b r a r b r cosa r,b r ) a r cos a r,b r ) r r r r r r ii) a b a b )a b ) a r a r b r b r a r a r cosa r,b r ) iii) a r cos a r,b r )) r r r r r r a b a -b ) a -b ) a r - a r b r b r a r - a r cos a r,b r ) a r - cosa r,b r )) a) cos a r,a r b r r r r rr r r a a b) aa ab ) v r r r r r a a b a a b r r r a cos a. b)) r r cos a b) r r r a cos a, b) r a r r a a r r r a cos a. b) r r cos a, b) fórmula que epresa que el ángulo de a r,a r b r ) es la mitad del ángulo a r,b r ). c) cos a r,a r b r ) cos a r,a r b r ) a que a r b r b r a r a r b r b) Produciendo como en a), teniendo en cuenta iii) resulta: 5/

6 cos a r,a r -b r ) r r cos a b) d) cos b r,a r -b r ) - cos a r,a r -b r ) a que b r a r -b r ) - a r a r - b r ) La interpretación geométrica de estos resultados se da en la figura de arriba. Los paralelogramos DC NM son evidentemente rombos, a que tienen los cuatro lados iguales. Los segmentos AD MN son diagonales de los rombos dividen a los ángulos en dos partes iguales. Por tanto: ángulo BAD ángulo BAC ángulo NAC π - ángulo MAN π - ángulo N. 95. Hallar vectorialmente la mediana AM de un triángulo C cuando se conocen los lados del mismo. Se tiene: m a c. c AM. AM 4 a. a BM ). BM ) b. b a. a c. c) c a. c a c. c a. a a. c 4 6/

7 b c a a que bb. a c) a. a c. c a. c c a b a c 4 4 siendo a, b c los módulos de a, b c respectivamente., De donde m a b c a NOTA.- Análogamente se obtienen las restantes medianas, resulta: m m b c a a c b b c 96. Calcular el área de un triángulo C, a) vectorialmente, b) analíticamente. a) Consideremos el triángulo C. Para hallar el área del triángulo tomemos el vector mismo módulo. Entonces se tiene: ortogonal a del S h, definición de área S AC', a que AC ' h 7/

8 8/ AC S., proección de AC AC S., operando teniendo en cuenta la conmutatividad del producto escalar. Por tanto, AC S. b) Supongamos ahora que las coordenadas de los vértices son: A, ), B, ) C, ), entonces - ), de donde ) ), - ), AC de donde, ) ) )) ) ) ). AC S que es la ecuación analítica del área de un triángulo. Por tanto, ), det AC S 97. Demostrar vectorialmente el teorema de Pitágoras. En el triángulo C

9 se consideran los vectores: Entonces, de donde - CA b - CB a b c - c a. a b c) b c) bb. c. c b. c a b c bc. siendo b c vectores ortogonales, b. c 0, luego a b c 98. Resolver la siguiente cuestión en el plano euclídeo ordinario: Dado un cuadrado de vértices consecutivos A, ) B0, 5) hallar los otros dos. Sean A, ), B0, 5), C, ) D, ) los cuatro vértices del cuadrado sus coordenadas. BC. Los vectores DC son equipolentes lo mismo sucede con los vectores AD Los vectores AD son ortogonales además tienen el mismo módulo. OB OA 0,5),),4) 9/

10 AD puede ser, por tanto, 4, ) o -4, -), es decir, vectores opuestos. Veamos las dos soluciones. ) AD 4, ) - OC OB BC OB AD 0,5) 4,) 4,8), luego, C4, 8). - OD OA AD,) 4,) 7,4), luego, D7, 4). ) AD -4, -) - OC OB BC OB AD 0,5) 4, ) 4,), luego, C-4, ). - OD OA AD, ) 4, ), ), luego, D-, -). 99. Se consideran las rectas, r: 8 0 s: 6 0. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de r s, dista del punto P, ) una unidad de longitud. Por el punto P pasan infinitas rectas, que son todas las del haz determinado por r s. De todas estas rectas solamente dos, s s, distan una unidad de P. a) Ecuación del haz de vértice P. H p : 8 t 6) 0, t número real es decir, t) t) 8 6t) 0 b) Distancia del punto P a las rectas s s. de donde, t ) t) 8 6t) t ) 0t 46t 6 0 t) 0/

11 de aquí, 0t t 0 Las raíces de esta ecuación son: t -/0, t -. c) Ecuaciones de las rectas s s. NOTA.- - s : 8 6) s : 8 6) 0 0 Este problema se reduce al siguiente: Trazar por un punto eterior las tangentes a una circunferencia. De todas las rectas del haz H A, solamente eisten dos que son tangentes. /