Ejercicio 8. a) Halla el punto C que es la proyección ortogonal del punto B = (2,1,1) sobre el plano

Transcripción

1 Ejercicio 8. a) Halla el punto C que es la proección ortogonal del punto B (2,1,1) sobre el plano π : 2 x 2z 6 b) Halla el punto A que esté sobre el eje OX tal que el área del triángulo ABC valga 6. Cuántas soluciones existen? Ejercicio 9. Considera el tetraedro formado por el origen de coordenadas los tres puntos en los que el plano π : 2 x 3 6z 6 0 corta a los ejes coordenados. a) Describe un procedimiento para calcular el volumen del tetraedro calcula efectivamente su valor. b) Calcula razonadamente las coordenadas del punto simétrico al origen de coordenadas respecto al plano π. Ejercicio 10. Considera los puntos P (1,1,1) Q (-1,-1,2). a) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que se encuentran a igual distancia del punto P que del punto Q. b) Halla la ecuación del plano que corta perpendicularmente en su punto medio al segmento que une los puntos P Q. Ejercicio 11. Calcula razonadamente dibuja el lugar geométrico de los puntos P del plano que verifican la siguiente propiedad: El triángulo APB de vértices A (-7,0), P B (7,0) es rectángulo en P. Ejercicio 12. Sean π 1 π 2 los planos de ecuaciones: π x z 3 0 x π 2 z 4 0. Explica algún procedimiento para saber si un punto de R 3 se encuentra entre π 1 π 2 aplícalo para saber si el punto P (2,2,1) se encuentra o no entre dichos planos. Ejercicio 13. Halla el punto Q simétrico del punto P (2,0,1) respecto de la recta r que pasa x 2 0 por el punto A (0,3,2) es paralela a la recta s de ecuaciones s z 0 a) Halla la recta que pasa por A por el punto medio del segmento AB. b) Halla la recta paralela a la anterior que pasa por el punto (2,2,2).

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5 3x 2 0 Ejercicio 14. Sea r la recta de ecuaciones r 3x z 0 a) Halla los puntos de r cua distancia al origen es de 7 unidades. b) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el punto P(1,2,-1). Ejercicio 15. Halla las coordenadas del punto simétrico de A(0,-1,1) con respecto a la recta x 5 z Ejercicio 16. Halla el punto de la recta del origen de coordenadas. 2 z 3 x que equidista del punto A(1,2,1) 2 1 Ejercicio 17. Considera el plano 2x 2z 4 0. a) Halla el área del triángulo cuos vértices son los puntos de corte del plano dado con los ejes coordenados. b) Calcula la distancia del origen al plano dado. Ejercicio 18. Considera los puntos A(1,2,3), B(3,2,1) C(2,0,2). Halla el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano que contiene a A, B C. Ejercicio 19. Halla el punto de la recta P(1,-1,0). x 3 z 1 r que está más cercano al punto z 1 Ejercicio 20. Determina la recta que no corta al plano de ecuación x z 7 cuo punto más cercano al origen es (1,2,3). Ejercicio 21. Los puntos A(1,0,2) B(-1,0,-2) son vértices opuestos de un cuadrado. a) Calcula el área del cuadrado. b) Calcula el plano perpendicular al segmento de extremos A B que pasa por su punto medio. Ejercicio 22. Considera el plano π x 2 z 3 el punto A(-1,-4,2). a) Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por A.

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14 b) Halla el punto simétrico de A respecto de π. Ejercicio 23. Considera los puntos A(1,-1,2), B(1,3,0) C(0,0,1). Halla el punto simétrico de A respecto de la recta que pasa por B C. Ejercicio 24. Se sabe que el plano II corta a los semiejes positivos de coordenadas en los puntos A, B C, siendo las longitudes de los segmentos OA, OB OC de 4 unidades, donde O es el origen de coordenadas. a) Halla la ecuación del plano II. b) Calcula el área del triángulo ABC. c) Obtén un plano paralelo al plano II que diste 4 unidades del origen de coordenadas. Ejercicio 25. Determina el punto P de la recta z x r que equidista de los planos µ µ λ λ π π z x z x Ejercicio 26. Los puntos A(1,1,0) B(2,2,1) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. Además, se sabe que los vértices C D están contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C D. Ejercicio 27. Las rectas z x x s z x x r contiene dos lados de un cuadrado. a) Calcula el área del cuadrado. b) Halla la ecuación del plano que contiene al cuadrado. Ejercicio 28. Halla la distancia entre las rectas z x s z x r Ejercicio 29. Sean los puntos A(1,0,-1) B(2,-1,3). a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A por B.

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