GEOMETRÍA (Selectividad 2016) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2016

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1 GEOMETRÍA (Selectividad 6) ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 6 Aragón, junio 6 ( puntos) a) ( punto) a) (,5 puntos) Si los vectores w y s verifican que w = s =, y el ángulo que forman w y s es 6 grados, determine: w ( w s ) a) (,5 puntos) Si el producto escalar del vector u+ v por sí mismo es 5 y el producto escalar de u v por sí mismo es 9 Cuánto vale el producto escalar de u por v? b) ( punto) Determine el ángulo que forman las rectas siguientes: x+ y z+ x y z = r : = = s : x y + z = a) La expresión del producto escalar de los vectores u por v es: uv = u v cos u, v ( ) a) Como w ( w s) = ww w s w ( w s ) = 4 4 cos 6º = 4 4 = a) Si ( u + v ) ( u + v ) = 5 u + v + u v = 5 ; si ( u v ) ( u v ) = 9 u + v u v = 9 Restando ambas expresiones: 4 u v = 6 u v = 4 b) El ángulo que forman dos rectas es el que determinan sus vectores de dirección correspondientes Se expresa s en paramétricas: x= + y+ z x= 5/+ t x y z = x y z = s : s: s: y = t s: y = t x y + z = E E z = z / = z = / Los vectores de dirección de las rectas son: v r = (,, ); v s = (,, ) vr vs (,, ) (,, ) + 5 cos (r, s) = cos( vr, vs ) = cos (r, s) = = = vr vs El ángulo que forman es: 5 α= = arccos,96º 4 a) Encuentre m tal que los puntos A(, 5, ), B(4, m, ) y C(5,, ) estén alineados Asturias, junio 6 ( punto) b) Obtenga las ecuaciones implícitas de la recta determinada por los puntos anteriores ( punto) c) Halle la distancia del origen de coordenadas a la recta encontrada en b) (,5 puntos)

2 GEOMETRÍA (Selectividad 6) a) Los puntos A, B y C estarán alineados cuando los vectores AB, AC y BC tiene la misma dirección Esto significa que AB = p AC y AC = q BC AB = (4, m, ) (, 5, ) = (, m + 5, ) AC = (5,, ) (, 5, ) = (,, ) BC = (5,, ) (4, m, ) = (, m, ) = p AB = p AC (, m + 5, ) = p (,, ) p = y m = m + 5 = p Para ese valor de m, BC = (, +, ) = (,, ), que tiene la misma dirección que AC b) La recta puede determinarse a partir del punto A y del vector BC Sus ecuaciones x= + t paramétricas son: r: y = 5 + t z = Las dos primeras ecuaciones (restándolas) generan el plano x y = 7 x y = 7 Por tanto, la recta puede darse en forma implícita como sigue: r : z = c) La ecuación de la distancia de un punto P a una recta r es: AP vr d( P, r) =, siendo A r v r En este caso: A = (, 5, ), P = O = (,, ), AP = (, 5, ), v = (,, ) r El producto vectorial vale: AP v u u u r = 5 = (,, 7) El módulo de v r : v r = + = 57 Luego dpr (, ) = AP v r = + + = ( ) 7 57 Asturias, junio 6 x+ y z+ = Considere la recta r : y z = a) Escriba la ecuación implícita de un plano π perpendicular a r pasando por el punto A(,, ) (,5 puntos) b) Obtenga el punto proyección ortogonal de P(,, ) sobre el plano π (,5 puntos) a) Se expresa r en forma paramétrica

3 GEOMETRÍA (Selectividad 6) x = x+ y z+ = x + = r : r: r: y = t v r = (,, ) y z = y = z z = t El plano perpendicular a r que pasa por A(,, ) es: π : x+ + y + z = π : y+ z 4= ( ) ( ) ( ) b) El punto, P, proyección ortogonal de P(,, ) sobre el plano π, es el de intersección del plano π con la recta, s, perpendicular a él que pasa por P x = La recta s es: s: y = + t = + t Sustituyendo en π: + t+ + t 4= t = Luego, P = (,, ) 4 Castilla La Mancha, junio 6 Sea r la recta determinada por el punto P(,, ) y el vector v = (,, ) a) Calcula el punto de r más cercano al punto Q(,, ) (,5 puntos) b) Calcula el punto simétrico de Q respecto a r ( punto) a) El punto pedido es el de corte de la recta r con del plano perpendicular a r por el punto Q x= + t La recta es: r y = t z = Como v = (,, ), el plano perpendicular a r por el punto Q es: π x y+ d = por contener a Q: π + + d = d = Luego: π x y = Corte de r con π: se sustituyen las ecuaciones de r ( + t, t, ) en π, obteniéndose π + t+ t = t = / Para t = / se obtiene P = (/, /, ) b) Sea Q = (x, y, z ) es punto simétrico de Q respecto de π Punto medio de Q y Q : x, y +, z Como P(/, /, ) = x, y +, z x y + z = x = ; = y = ; = z = Por tanto, Q = (,, )

4 GEOMETRÍA (Selectividad 6) 4 5 Castilla y León, junio 6 a) Calcular un vector de módulo 4 que tenga la misma dirección, pero distinto sentido, que el vector v = (,, ) ( punto) x y+ z b) Calcular un punto de la recta r = = cuya distancia al punto A = (,, ) sea mínima (,5 puntos) a) Como el módulo de v 4 = (,, ) es v = + + ( ) = 9 =, el vector v tendrá módulo 4 y cumple que su sentido es el opuesto de v El vector pedido es: (,, ) =,, b) El punto buscado es el de corte de la recta r con del plano perpendicular a ella por el punto A Como v r = (,, ) y A = (,, ), dicho plano es: π x+ + y z = π x+ y z = ( ) ( ) Corte de r con π: se sustituyen las ecuaciones de r ( t, + t, t) en π, obteniéndose π ( t) + ( + t) ( t) = 6t = t = Para t = se obtiene P = (,, ) 6 Castilla y León, junio 6 x z x y Consideremos las rectas r = y = y s = = z a) Comprobar que las rectas r y s se cruzan ( punto) b) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta a las rectas r y s (,5 puntos) a) Hay que comprobar que los vectores v r, v s y AB son linealmente independientes, donde A = (,, ) es un punto de r y B = (,, ) un punto de s v r = (,, ), v s = (,, ) y AB = (,, ) (,, ) = (,, ), Como = 8+ = 4, los vectores son linealmente independientes En consecuencia, las rectas r y s se cruzan b) La recta pedida se obtiene por intersección de los planos π r, que contiene a r y pasa por el origen, y π s, que contiene a s y pasa por el origen

5 GEOMETRÍA (Selectividad 6) 5 Plano π r : Determinado por O(,, ) y por los vectores OA = (,, ) y ) pertenece a la recta r Su ecuación es: x π r : y = πr : x y = z Plano π s : Determinado por O(,, ) y por los vectores OB = (,, ) y ) pertenece a la recta s Su ecuación es: x π s : y = πs : x+ z = z x y = Por tanto, t : En paramétricas: x + z = x = λ y = x/ t: t: y =λ = x/ z = λ v r = (,, ); el punto A(,, v s = (,, ); el punto B(,, 7 Comunidad Valenciana, junio 6 x = x y+ z+ = Se dan las rectas r : y s: y = α x+ y z+ = =α Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La recta paralela a r que pasa por el punto (,, ) ( puntos) b) El plano π que contiene a la recta r y es paralelo a s ( puntos) c) La distancia entre las rectas r y s a) Se expresa r en forma paramétrica x y+ z+ = x+ z = + y x+ z = + y r : r: r: x+ y z+ = x z = y E+ E 4x= 4+ y y = 4+ 4x x = λ Sustituyendo en E: x+ z = + ( 4+ 4x) z = 5+ 7x r: y = λ z = λ x = λ Por tanto, la paralela a r por el punto (,, ) será: r : y = + 4 λ z = 7λ b) El plano pedido viene determinado por la recta r y el vector de dirección de s, v s = (,, ) Su ecuación será: x = λ x π : y = 4+ 4λ+ µ π: y 4 4 = z = 5+ 7λ+µ z 5 7

6 GEOMETRÍA (Selectividad 6) 6 ( ) ( ) π: x y 4 + z 5 = x+ y z+ 6 = c) La distancia entre r y s es igual a la distancia de cualquier punto de S s al plano π Tomando S = (,, ) se tendrá: d( rs, ) = d( S, π ) = = + + ( ) 5 8 Comunidad Valenciana, junio 6 Se da el plano π : 6x+ y+ z = y los puntos A(,, ), B(,, ) y C(,, ) Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La ecuación implícita del plano σ que pasa por los puntos A, B y C, ( puntos); y la posición relativa de los planos σ y π ( puntos) b) El área del triángulo de vértices A, B y C ( puntos) c) Un punto P del plano y el volumen del tetraedro cuyos vértices son P, A, B y C ( puntos) a) El plano σ queda determinado el punto A(,, ) y por los vectores: AB = (,, ) (,, ) = (,, ) y AC = (,, ) (,, ) = (,, ) Su ecuación es: x σ : y = σ:6( x ) + y+ z = σ :6x+ y+ z 6= z Los planos π : 6x+ y+ z = y σ :6x+ y+ z 6= son paralelos: ambos tienen el mismo vector normal: v = v = (6,, ) π σ b) El área del triángulo de vértices A, B y C viene dada por S = AB AC Como: u u u AB AC = = ( 6,, ) AB AC = = 49 = 7 7 Luego, la superficie del triángulo será: S = c) Como los plano π y σ son paralelos, el volumen del tetraedro cuyos vértices son P, A, B y C es independiente del punto P elegido Puede tomarse P(,, ) π El volumen del tetraedro es un sexto del producto mixto de los tres vectores que lo determinan En este caso, los vectores: AB, AC y AP Como AB = (,, ), AC = (,, ) y AP = (,, ) (,, ) = (,, ), el volumen es: V = = 6 = u 6 6

7 GEOMETRÍA (Selectividad 6) 7 9 Islas Canarias, junio 6 x+ y+ z = Dada la recta r y el plano π :x + y + mz = x y z = a) Determinar el valor del parámetro m para que la recta y el plano sean secantes b) Determinar el valor del parámetro m para que la recta y el plano sean paralelos c) Cuál es la posición relativa de la recta r del enunciado y un plano α de ecuación: 5 α :x+ y+ z =? La recta y el plano serán secantes cuando el sistema que determinan sea compatible x+ y+ z = El sistema es: x y z = x + y + mz = Hay que estudiar los rangos de la matrices de coeficientes y ampliada Matriz de coeficientes: A = = m+ se anula cuando m = m Si m = la matriz ampliada es: M = = El sistema será incompatible Por tanto: a) Si m el sistema es compatible determinado La recta y el plano se cortan en un punto b) Si m = el sistema es incompatible La recta y el plano son paralelos 5 c) Como el plano α :x+ y+ z = α :6x+ y+ z = 5 habrá que estudiar el sistema: x+ y+ z = x+ y+ z = x y z = Transformaciones de Gauss: E+ E x = ; sistema 6x+ y+ z = 5 E E x = compatible indeterminado Esto significa que los tres planos considerados son del mismo haz; luego, la recta r está contenida en el plano α Observación: Si se expresa r en sus ecuaciones paramétricas y se sustituye en la ecuación del plano α, se tiene: x = / 5 r y = t (Sustituyendo en α) α : + t+ t = cualquier punto de r = / t pertenece a α r α

8 GEOMETRÍA (Selectividad 6) 8 Islas Canarias, junio 6 y z+ x+ 5 y z+ 4 Dadas las rectas r x = = y r = =, se pide 4 a) Demostrar que se encuentran en un mismo plano b) Hallar la ecuación del plano que determinan a) Hay que estudiar la dependencia lineal de los vectores: v r = (,, ), v r = (4,, ) y AB = ( 5,, 4) (,, ) = ( 6,, ) donde A es un punto de r y B un punto de s Como 4 = + 8 =, los vectores son linealmente dependientes En 6 consecuencia, están en el mismo plano (Como no son paralelas, se cortarán) b) El plano pedido viene determinado por los vectores v r y v r y por cualquier punto de alguna de las rectas; por ejemplo A(,, ) Su ecuación será: x 4 π: y = π: x + 5( y ) + ( z+ ) = π : x+ 5y+ z = z + Madrid, junio 6 Dado el punto P(,, ), determine el punto simétrico de P respecto al plano que pasa por los puntos A(,, ), B(,, ) y C(,, ) El plano determinado por los puntos dados viene dado por el punto A(,, ) y por los vectores: AB = (,, ) (,, ) = (, 5, ) y AC = (,, ) (,, ) = (,, ) Su ecuación es: x π: y 5 = π: 9x+ 9( z+ ) = π: x z = z + El punto simétrico está en la recta r perpendicular a π que pasa por P, cuya ecuación es: x = +λ r: y = = λ Corte de la recta r con plano π: ( + λ) ( λ) = λ = Por tanto, M = (,, ) + Punto medio de P y P : x +, y +, z

9 GEOMETRÍA (Selectividad 6) 9 + Como M = (,, ) = x +, y +, z + x = x = ; + y +z = y = ; = z = Por tanto, P = (,, ) Madrid, junio 6 Se consideran los puntos A(, 5, ), B(, 6, 4), C(, 4, ) y D(,, ) y se pide: a) ( punto) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios y que el polígono ABCD es un paralelogramo b) ( punto) Calcular el área de dicho paralelogramo c) ( punto) Determinar el lugar geométrico de los puntos P cuya proyección sobre el plano ABCD es el punto medio del paralelogramo a) Los puntos son coplanarios si los vectores AB, AC y AD son linealmente dependientes AB = (, 6, 4) (, 5, ) = (,, ); AC = (, 4, ) (, 5, ) = (,, ); AD = (,, ) (, 5, ) = (,, ) Como = =, se deduce que son coplanarios El polígono ABCD será un paralelogramo cuando los vectores AB y DC sean iguales; y lo mismo para los vectores y BC y AD AB = (,, ); DC = (, 4, ) (,, ) = (,, ) son iguales AD = (,, ); BC = (, 4, ) (, 6, 4) = (,, ) son iguales b) El área del paralelogramo viene dada por S = AB AD u u u AB AD = = (,, ) S = AB AD = 4+ 4 = 8 u c) Los puntos cuya proyección son el punto medio del paralelogramo, M, son los de la recta, r, perpendicular al plano que contiene al paralelogramo por ese punto M El punto M =,, = 9 5,, El vector normal al plano es vπ = AB AD = (,, ) x = Luego, r: y = 9/ + t z = 5/ t Considere los puntos P = (, 7, ), Q = (,, 5) y R = (,, 5) Murcia, junio 6 a) [ punto] Calcule el área del triángulo PQR

10 GEOMETRÍA (Selectividad 6) b) [,5 puntos] Determine la ecuación general (o ímplícita) del plano que contiene al triángulo PQR c) [ punto] Calcule la ecuación (en cualquiera de sus formas) de la recta que pasa por P, está contenida en el plano que contiene al triángulo PQR y es perpendicular al lado QR a) El área del triángulo de vértices P, Q y R viene dada por S = PQ PR En este caso: PQ = (,, 5) (, 7, ) = (, 5, ); PR = (,, 5) (, 7, ) = (, 9, ) Como: u u u PQ PR = 5 = ( 8, 4, 6) PQ PR = = 6 9 Luego, la superficie del triángulo será: 6 S = = 9 u b) El plano viene determinado por el punto P y por los vectores PQ y PR Su ecuación es: x y = 8( x ) 4( y 7) 6( z ) = z π: 8x 4y 6z+ = π: 4x y z+ 5 = c) El vector de dirección de la recta pedida, v s, debe ser perpendicular a v π = (4,, ) y al vector QR = (,, 5) (,, 5) = (, 4, ) Por tanto, vs = vπ QR u u u = 4 = (, 6, ) 4 Su ecuación será: x= t s: y = 7+ 6t = t 4 Murcia, junio 6 Considere los puntos P = (,, ), Q = (,, ) y R = (,, ) a) [,5 puntos] Estudie si el triángulo PQR es o no rectángulo en el vértice P b) [,5 puntos] Dado el punto S = (,, ), calcule el volumen del tetraedro de vértices P, Q, R y S a) El triángulo de vértices PQR será rectángulo en P si los vectores PQ y PR son perpendiculares Los vectores son: PQ = (,, ) (,, ) = (,, ) y PR = (,, ) (,, ) = (,, ) Como el producto escalar PQ PR = (,, ) (,, ) =, los vectores no son perpendiculares

11 GEOMETRÍA (Selectividad 6) b) El volumen del tetraedro de vértices P, Q, R y S ves un sexto del valor absoluto del producto mixto de tres de los vectores que se obtienen Esto es, V = [PQ, PR, PS], siendo 6 PS = (,, ) (,, ) = (,, ) Se obtiene: 4 V = = ( + 6) = u País Vasco, junio 6 Calcular la distancia del punto A de coordenadas (4, 4, ) al plano que pasa por los puntos B(,, ), C(,, ) y D(,, ) El plano que pasas por los puntos B, C y D viene determinado por el punto B y los vectores BC y BD BC = (,, ) (,, ) = (,, ); BD = (,, ) (,, ) = (,, ) Su ecuación es: x π: y = π: ( x ) ( y ) z = π : x+ y+ z = z Por tanto, d( P, π ) = = = + +