Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 3. Beatriz Graña Otero

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1 Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja. Beatriz Graña Otero 5 de Diciembre de 8

2 B.G.O Sobre el R-espacio vectorial E de dimensión 4, sea la métrica cuya matriz asociada a la base B = {e, e, e, e 4 } es:. Calcula la matriz de esta métrica asociada a la base C = {v = e e, v = (e + e, v = e + e + e, v 4 = e e 4 }. Es la métrica definida positiva? Solución. Dada una matriz de un métrica respecto de una base determinada, la forma de calcular la matriz de la misma métrica respecto de otra base distinta es la siguiente: Como la matriz de una métrica se calcula haciendo todos los productos posibles de los vectores de la base entre sí, entonces v v v v v v v v 4 G = v v v v v v v v 4 v v v v v v v v 4, v 4 v v 4 v v 4 v v 4 v 4 y por tanto, calculando las coordenadas de los vectores de la nueva base respecto de B, se obtiene que v = (,,, B v = (/,, /, B v = (,,, B v 4 = (,,, B y resulta que v v = (,,, =. Haciendo las mismas operaciones con los otros vectores, se tiene que G = 4. No es un producto escalar porque la matriz tiene núcleo y eso implica que existan vectores (concretamente v cuyo producto por sí mismo es cero y ellos no son el elemento neutro. 6.- En un espacio vectorial euclídeo E tenemos una base B = {e, e, e } de la que sabemos:. e e =.. e = 5.. e e =. 4. Si e = (,, B, el vector e e es ortogonal a e. 5. Si F = e + e entonces e e e F.

3 I.T.I.S. 8-9 USAL 6. e e = 6. Calcula la matriz de la métrica asociada a la base B. Comprueba que la métrica es, efectivamente, definida positiva. Solución. Por las condiciones sobre la base que da el enunciado, se tiene que el primero, el segundo y el sexto elemento de la diagonal principal de la matriz es, 5 y 6 respectivamente. De la cuarta condición, como e = (,, es exactamente el vector e, resulta que si e e = e + e es ortogonal a e, se tiene que (e + e e = e e + e e =, pero como e e =, despejando se obtiene que e e =. Por otro lado, la quinta condición significa en particular que, (e + e (e e e y por tanto, e e e e e e + e e e e e e =. Además, como la métrica es simétrica, e e = e e y utilizando las condiciones.,.,. y 4., se sigue que e e =. Así, la matriz es G = 5 y la expresión general del producto de dos vectores 6 respecto de la base es (x, y, z 5 6 x y z = xx + xy + yx xz zx + 5yy + 6zz Una manera de ver si es definida positiva es calcular todos los menores principales de la matriz de G y comprobar que son estrictamente positivos. Es decir, 5 =, 6 y 5 =. Como ya el determinante es negativo, no es definida positiva y el enunciado está mal puesto. 6.- En R calcula las normas y el ángulo que forman los vectores u = (,, y v = (,, con el producto escalar usual y también con el dado por la matriz. ( Solución. Utilizando la matriz de la métrica, las normas se calculan como sigue: (,, = (,, = (,, = (,, = +

4 4 B.G.O. Para los ángulos se procede de forma similar, como áng(u, v = α y ( ( cos α = u v (,, u v = ( (+ = y el ángulo α es el arcoseno de cero; es decir, π/. 6.- En Mat (R con el producto escalar usual, determina las normas y los ángulos que forman los vectores: A = (, B = ( y C = (. Solución. Igual que en el anterior y utilizando el isomorfismo entre el conjunto de matrices cuadradas de orden dos con coeficientes en R y R 4, el ejercicio se resuelve del siguiente modo: ( cos(áng(a, B = (,,, ( : + (,,, + (,,, = = ( + /( + = + /, y el ángulo cuyo coseno es + / es 45. Además A = y B = En el espacio de las funciones continuas definidas en el intervalo [, π], C ( [, π] = { f : [, π] R f es continua }, con el producto escalar f, g = π f(xg(xdx determina las normas y los ángulos que forman los vectores {cos x, sen x, x}. Solución. La norma de la función cos x es π + cos (xdx = x/ + /4 sen(x π = + π, la norma de la función sen x es π + sen (xdx = x/ /4 sen(x π = + π y la norma de la función x es π + x dx = + x / π = + 8π / = (+ π/. Y el ángulo que forma es: cos(áng(cos x, sen x = cos(áng(cos x, x = = cos(áng(sen x, x = = π π cos(x sen(xdx/π = π cos(x π =, áng(cos x, sen x = π/ x cos(xdx/(+ π (+ π / = cos(x + x sen(x π (+ π (+ π / π =, áng(cos x, x = π/ x sen(xdx/(+ π (+ π / = x cos(x + sen(x π (+ π (+ π / = + /π, áng(sen x, x, 65.- Calcula el ángulo formado por las rectas r { { x = y y = z y s x y = z =.

5 I.T.I.S. 8-9 USAL 5 Solución. Si el enunciado no da ninguna especificación, significa que se está considerando la métrica usual (respecto de una base ortonormal. Así, la matriz de la métrica que se utiliza es la identidad. Por tanto, el ángulo entre las rectas r y s es el ángulo entre los vectores directores que las determinan. Es decir, r (,, y s (,, + (,,, y el ángulo es el arcoseno de α, donde ( (,, Id cos α = ( ( ( ( = (+, + (,, Id + (,, Id que quiere decir que el ángulo es, 67.- Calcula el ángulo formado por la recta r = (,,, + (,,, y el plano Π 6x y + z + + t = 5. Solución. Para resolver este ejercicio basta observar que si el ángulo formado por la recta r y el plano Π es α, y si β es el ángulo que forma un vector normal al plano con un vector director de la recta, entonces α + β = π/. Así, como un vector normal a Π es (6,,, (por que la métrica es la usual y un vector director de la recta es (,,,, entonces cos(β = (6,,, 6 : (+ (6,,, (+ (,,, = 5/(+ 98/4 5 5/5,7,95 Por tanto el ángulo β, y α = 9,,5. Si por ejemplo, la métrica no fuese la usual y fuese la dada por la matriz ( el vector normal a Π es (6,,, = cos(β = (6,,, ( = ( 6 y así ( ( :(+ (6,,, 6 ( entonces, ( ( (+ (,,, 7.- Dado el espacio vectorial euclídeo R con su métrica habitual, ortonormaliza la base B = {e = (,,, e = (,,, e = (,, }. Solución. Para ortonormalizar una base, se utiliza el método de ortonormalización de Gramm- Schmidt. Aplicando la fórmula, se procede como sigue: B = {e, e, e } donde e = e = (,, e = e e e e e e = (,, (,, (,, = (,, (,, = (/, /, e = e e e e e e e e e e (,, = (,, e = (,, / (,, / / (/, /, = ( /, /, /

6 6 B.G.O. B = {e, e, e } donde e = e = e = e + = + e e + = + e e + e 7.- Sea la métrica de R dada por la matriz A = que la métrica es definida positiva. (,, (/, /, = + ( /, /, / (. Obtén una base ortonormal y concluye Solución. Para calcular una base ortonormal respecto de una métrica dada, la forma es la siguiente: Se toma cualquier vector del espacio vectorial cuyo producto escalar por si mismo no sea cero. Para ello, como la primera entrada la matriz es distinta de cero, se puede tomar e = (,,. Ahora se calcula el espacio perpendicular al subespacio vectorial generado por e ; es decir, ( e = {(x, y, z R (x, y, z = } = {(x, y, z R x + y + z = } = = (,,, (,, ( Entonces se trabaja en el espacio ortogonal (,,, (,, y se toma uno de ellos. Sea ξ = (,,, y sea ( ( = (x, y, z = {(x, y, z R x + y + z = = y z} = (,, ξ e = {(x, y, z R (x, y, z Así, una base ortogonal para la métrica dada es B = {ξ = (,,, ξ = (,,, ξ = (,, }. Para obtener una ortonormal, basta normalizar B; es decir ξ ξ B = { +, ξ Aξ t +, ξ Aξ t + } = {(/(+,,, ξ Aξ t ( (,,, + (,, + (,, ( ξ ( ( ( = } = ( (,, } 8.- Calcula la distancia entre los puntos A = (,, y B = (5,, 7 de R según el producto escalar usual y también según el producto escalar que en la base canónica viene determinado por la matriz. ( 4 Solución. La distancia entre dos puntos de un espacio euclídeo se define como d(a, B = + (A B (A B, donde significa el producto escalar correspondiente. Si la métrica es la usual, A B = ( 4,, 6 entonces d(a, B = + ( 4,, = + 5 = =

7 I.T.I.S. 8-9 USAL 7 ( Si la métrica es 4, entonces d(a, B = + ( 4,, = Halla la distancia del punto P = (, 4, 5 R a la recta x = y = z y calcula el punto de mínima distancia. Solución. La distancia del punto P a la recta se define como la mínima distancia de ese punto a la recta. Esta mínima distancia se alcanza en la perpendicular a la recta desde el punto. Para ello es necesario hallar el pie de la perpendicular, que es el punto donde el espacio perpendicular por el punto corta a la recta dada. Es decir, el espacio vectorial perpendicular al espacio de direcciones de la recta dada es, (,, = {(x, y, z R x + y + z = } = (,,, (,,, luego el pie de la perpendicular es ( x = y = z { x y = x+y+z = = y z = x + y + z = La distancia del punto P a la recta es ahora d(p, r = d(p, Q Calcula la distancia del punto P = (,, 5 R al plano x + y z = 5. } = (5/7, 8/7, /7 Q. Solución. Como la métrica sigue siendo la usual, un vector perpendicular al plano es (,, y la recta de los vectores perpendiculares al plano son x = y = z. Por tanto, la recta perpendicular al plano que pasa por el punto P es x = y = z 5. Para calcular el pie de la perpendicular Q es { x + y z = 5 Q x y = z + y = } = (5/, 6/, 4/. Y la distancia entre el punto y el plano es d(p, π = d(p, Q En R considera el producto escalar que en la base usual viene dado por la matriz:. Calcula la distancia del punto (,, a la recta r recta realiza la distancia? { x y z =. Qué punto de la x + y = 4 Solución. Este es el mismo ejercicio que el 85. solo que la métrica no está dada respecto de una base ortonormal. Así que se trata de calcular el pie de la perpendicular. Esto es, el plano perpendicular a la recta r por el punto P tiene por vectores directores los vectores perpendiculares a r. Esto es, x x y =, y z z = = (, 5, 4, (9, 5,

8 8 B.G.O. por tanto Π {(x, y, z R x y z 5 4 = } = {(x, y, z R 5x y + z = 4} Ahora el ejercicio se termina igual que para el caso de la métrica respecto de una base ortonormal. Es decir, se calcula el pie de la perpendicular, que es Q Π r, y con él la distancia, d(p, r = d(p, Q. El punto donde se alcanza la mínima distancia es Q. 5.- En un espacio euclídeo de dimensión sea la base {e, e, e } definida por las condiciones: e = e = e =, (e, e = 6 o, (e, e = (e, e = 9 o. Halla las coordenadas del punto simétrico a P = (,, respecto de la recta r x = y = z. Solución. Las condiciones del enunciado permiten obtener la matriz de la métrica, que es + / + / ya que e i e j = e i e j cos(áng(e i, e j. Con la matriz de la métrica, ya se procede como en los ejercicios anteriores. Es decir, el punto simétrico consiste en el punto de la única recta perpendicular a r que pasa por P y corta a r, y cuya distancia a r es el mismo que la distancia de P a r. Los pasos a seguir son:.- Se calcula el plano Π perpendicular a r por P..- El punto de intersección Q de Π con r..- La distancia d(p, r = d(p, Q = d. 4.- La recta s que pasa por P y por Q. 5.- El punto simétrico a P es el punto P de s tal que d(p, Q = d(q, P. Alternativamente, se puede, a partir del punto., terminar como sigue: 4.- El punto simétrico P es aquel cuyas coordenadas verifican la ecuación Q = /(P +P. (Es decir, es Q es el punto medio de P y P.