SOLUCIONES. ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA (Examen Ordinario : ) Grado en Matemáticas Curso

Transcripción

1 ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA Eamen Ordinario : 6--7 Grado en Matemáticas Curso 6-7 SOLUCIONES Dados tres puntos distintos alineados A, A, A A R, al número real r tal que A A = r A A lo llamaremos raón simple de A, A, A, denotamos por A A A a Demostrar que si A = αa + αa, entonces A A A = α α b Demostrar que si tenemos una afinidad f, entonces fa fa fa = A A A SOLUCIÓN: a Como A = αa + αa, tenemos: = A A = α A A + α A A = A A = α A A = α α α A A b Si f es afín A = αa + αa, entonces fa = αfa + αfa Por el apartado a se tiene: fa fa fa = α α = A A A Dado el espacio vectorial R Sea ϕ : R R R la aplicación: ϕ,,,,, = a Probar que ϕ es un producto escalar en R dar su matri en la base canónica de R b Dar una base ortonormal del espacio euclídeo R, ϕ c Sea L el plano = L el subespacio vectorial asociado a L Determinar una base de L ϕ, el subespacio vectorial ortogonal respecto de ϕ de L SOLUCIÓN: a La matri de la forma bilineal ϕ en la base canónica es A = Puesto que A t = A, ϕ es simétrica Por lo tanto, para ver que es un producto escalar basta con ver que es definida positiva esto lo vemos con el criterio de Slvester: a a = a = = > = a a = A = = > Puesto que todos los menores principales son positivos ϕ es definida positiva = >

2 b Aplicamos el método de Gram-Schmidt a la base canónica e, e, e : Sea u = e, entonces u ϕ = ϕu, u = ϕe, e = Además ϕu, e = ϕe, e = ϕu, e = ϕe, e = Ahora u = e ϕu, e u u = e e, entonces ϕ u ϕ = ϕu, u = ϕe e, e e = ϕe, e + ϕe, e ϕe, e = + = Además ϕu, e = ϕe e, e = ϕe, e ϕe, e = = Por último, u = e ϕu, e u ϕ u ϕu, e u u = e e, entonces ϕ u ϕ = ϕu, u = ϕe e, e e = ϕe, e + ϕe, e ϕe, e = + = Por tanto u, u, u es una base ortonormal para el producto escalar ϕ Donde u =, u =, u = c Si u = Por tanto L v =,, a b c L ϕ tenemos = = ϕu, v =,, Resolviendo el sistema obtenemos L ϕ : = a b c a b c a b c = t la base pedida es Otra forma: Sea {v =,,, v =,, } una base de L, entonces u =,, L ϕ { ϕu, v = ϕu, v = Resolviendo el sistema obtenemos que una base de L ϕ es {,, } } =

3 Hallar la distancia entre las variedades lineales de R dadas por W = + L, W = + L, SOLUCIÓN: Determinamos W + W usando Gauss: t t que nos dice que dim W + W = es el hiperplano + = Por tanto su ortogonal tiene dimesión una base de él es Por otra parte A A = = Por tanto distw, W = P W + W A A =,,, = =

4 Sea f : R R el movimiento que se obtiene como la composición de la simetría respecto del plano + = seguido de la traslación de vector v =,, Determinar la epresión análitica de f con respecto al sistema de referencia canónico de R SOLUCIÓN: Sea g la refleión respecto al plano π : + =, u = f = τ u g Hallamos primero la epresión analítica de g : Un vector director de π es w = D = τ u la traslación por u, entonces la proección ortogonal correspondiente tiene la matri: Por tanto la matri de la parte lineal de g es Un punto de π es p = La epresión analítica de g es por tanto la de f es,, = A = I D = 7 8 entonces I Ap = Dp = = = + + Otra forma de calcular la epresión analítica de g : Sea {,,,,, } una base del plano + = Aplicando Gram-Schmidt a esta base obtenemos la base ortonormal: {,,, 6,, 6 } Ahora añadiendo el vector normal al plano,, obtenemos la base ortonormal B de R con matri de cambio de base C BBc = 6 Así obtenemos M B g = = M Bc g = C BBc M B g CBB t c = M Bc g =

5 En el sistema de referencia ortonormal usual de R, considera la cónica de ecuación = a Determina el tipo de cónica decide si es degenerada o no b Encuentra un sistema de referencia ortonormal respecto al que la ecuación de la cónica sea canónica c Describe, en las coordenadas originales, los elementos geométricos de la cónica: Parábola: Foco, vértice, eje principal directri Elipse: Focos, centro ejes principales Hipérbola: Focos, centro, ejes principales asíntotas SOLUCIÓN : a Sea f, = =, A coordenadas canónicas, que define la cónica Entonces tenemos A = 6, b = 7 + b t, c = + c el polinomio, en Primero calculamos el determinante de A : A = >, con lo que sabemos que es de tipo elíptico que tiene centro La ecuación del centro es 6 que tiene como solución =, = Luego el centro es p = Entonces c = fp = 8, como la matri A es definida positiva sus autovalores λ λ son positivos si u, u son los correspondientes autovectores la ecuación de la cónica en el referencial R = p ; u, u es λ + λ + c =, luego es no degenerada es una elipse + 7 = b Calculamos ahora los autovalores autovectores El polinomio característico es p A = 6+ = Por tanto λ = λ = Los autovectores: 6 A I = = u = A I = El cambio de coordenadas es = u = 6 = + = R = La forma canónica es + 8 = que es lo mismo que + = ;,

6 c El centro se ha encontrado a, es p = Los ejes son: eje principal: + =, esto es p = p + Lu eje secundario: =, esto es p = p + Lu De la ecuación canónica tenemos que los semiejes son a = b =, luego la distancia del centro a los focos es c = a b = + Los focos son: F = p + cu = + + F = p cu = + SOLUCIÓN : a Sea f, = el polinomio, en coordenadas canónicas, que define la cónica Entonces tenemos A = 6 6 {, A = 7 = 7 δ = A =, = A = 6 Como δ > tenemos que la cónica es de tipo elíptico, en particular que los autovalores de A, λ, λ, son no nulos del mismo signo Ahora, como < obtenemos que la cónica es una elipse o el vacío Será una elipse si λ, λ > Para ello calculamos el polinomio característico de A: p A = 6+ = Por tanto λ = λ = Así que obtenemos que la cónica es una elipse por lo tanto no degenerada tiene la siguiente forma canónica λ X + λ Y δ = = X + Y = 8 = X + Y = De la ecuación canónica tenemos que los semiejes son a = b =, luego la distancia del centro a los focos es c = a b = b c Calculamos los autovectores asociados a los autovalores: 6 λ = = A I = = u = λ = = A I = = u = 6 Sustituimos, en la ecuación de la cónica obtenemos: = P = = Completando cuadrados obtenemos: { } = = = = = + = 8 Por lo tanto el cambio de coordenadas es de la forma: = P 7 + Ahora calculemos los elementos geométricos:,, Centro,, Focos ±, ±, ± Eje principal = + = Eje secundario = = El sistema de referencia será R = {centro; {u, u }} = {, ; {,,, }} = = P

7 6 Determina el tipo de las cuádricas que aparecen en la familia uniparamétrica α + = eplicando lo que ocurre para todos los valores reales del parámetro α SOLUCIÓN : Tenemos la cuádrica f,, =, donde f está determinada por Vemos si es definida: A =, b = α, c = =, =, = A = Por tanto es semidefinida positiva tiene dos autovalores positivos el autovalor cero Hallamos el núcleo de A : las soluciones de la ecuación A = son = t Entonces b = PKerA b = α+ Por tanto si b α la cuádrica es no degenerada es un paraboloide elíptico Si b = α = la cuádrica es degenerada La ecuación del centro es A + = =, que tiene como solución + t Entonces f es constante en el cento su valor es f,, = la forma canónica es λ +λ = que tiene soluciones es un cilindro elíptico SOLUCIÓN : Sea f,, = α + el polinomio, en coordenadas canónicas, que define la cuádrica Entonces tenemos α { A =, A = = α δ = A =, = A = α + En primer lugar, para determinar el tipo de cúadrica dependerá de si = o O lo que es lo mismo α = o α = Así obtenemos α : Paraboloide elíptico o hiperbólico α = : Cilindro, recta, par de planos o vacio Supongamos α El polinomio característico de A es p A = + = λ λ, donde λ = + 7 λ = 7 Así vemos que la signatura de A es, o bien calculando s = por lo tanto sabemos que la cuádrica es un paraboloide elíptico

8 Ahora supongamos α = Entonces tenemos que la cúadrica tendrá una forma canónica de la forma λ X + λ Y = C, donde λ λ son los autovalores calculados anteriormente de A C R Como λ, λ > obtenemos que la cuádrica será un cilindro elíptico C >, una recta C = o vacío C < Calculemos el valor de C, para ello basta con calcular un centro de la cuádrica Es decir,,, tal que f,, =,,, entonces C = f,, Se tiene: f f f = α =, = =, =,, = = + + =, t, t, t, t R Tomamos t =, entonces f,, = por lo tanto tenemos que C = Así concluimos que la cuádrica es un cilindro elíptico Conclusión: α : Paraboloide elíptico α = : Cilindro elíptico De hecho, aunque no se pida en el enunciado, es fácil calcular que la forma canónica es: α : Paraboloide elíptico + 7X + 7Y = 6 + αz α = : Cilindro elíptico + 7X + 7Y =