Prof. Enrique Mateus Nieves. Doctorando en Educación Matemática. Cálculo multivariado REPASO DE SECCIONES CONICAS

Transcripción

1 REPASO DE SECCIONES CONICAS

2 SUPERFICIES CUADRICAS Y SUS TRAZAS Elipsoide x z Ecuación canónica: 1 a b c Secciones paralelas al plano x: Elipses; Secciones paralelas al plano xz: Elipses; Secciones paralelas al plano z: elipses.

3 Hiperboloide de una hoja x z Ecuación canónica: 1 a b c Secciones paralelas al plano x: Elipses; Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas Secciones paralelas al plano z: Hipérbolas. Hiperboloide de dos hojas. x z Ecuación canónica: 1 a b c Secciones paralelas al plano x: Elipses; Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas Secciones paralelas al plano z: Hipérbolas Cono elíptico. x z Ecuación canónica: 0 a b c Secciones paralelas al plano x: Elipses; Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas Secciones paralelas al plano z: Hipérbolas

4 Paraboloide elíptico Ecuación canónica: x a b z c Secciones paralelas al plano x: Elipses; Secciones paralelas al plano xz: Parábolas Secciones paralelas al plano z: Parábolas Paraboloide Hiperbólico Ecuación canónica: x a b z c Secciones paralelas al plano x: Hipérbolas; Secciones paralelas al plano xz: Parábolas Secciones paralelas al plano z: Parábolas CILINDROS Un cilindro es la superficie formada por todas las rectas paralelas a una recta dada que cortan a una curva dada C Ejemplo:

5 Ecuación de un cilindro Una ecuación en la que intervengan solo dos de las tres variables x,, z representa en el espacio un cilindro cuas generatrices son paralelas al eje correspondiente a la variable que falta. EJERCICIO 1. Encuentre las trazas de la superficie dada en los planos x= k, = k, z = k. Luego identifique la superficie dibújela. 1. x 4. x z 1 7. z z 4. x z 3. 4 x 9 36z z x 1 6. z x 5 z 100 4x 9. x z FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO. Funciones vectoriales de una variable. Una función cuo dominio es un conjunto de números reales cuo recorrido es un subconjunto del espacio n-dimensional V n se denomina función vectorial de una variable real.

6 Definición de curva en el espacio. Una curva C en el espacio es el con junto de puntos (f(t), g(t), h(t)) que verifican las ecuaciones paramétricas x= f(t), = g(t), z = h(t) siendo f, g, h funciones continuas de t en un intervalo I. Ejemplo. Representar la curva C dada por x sen t, 3 cos t, z t. Solución: A fin de eliminar el parámetro entre las dos primeras ecuaciones, escribimos: x sen t, x cos t, 1 por consiguiente, la curva C ace enteramente en el cilindro elíptico de ecuación x LIMITE Si r(t ) f ( t ), g(t ), h(t), entonces lim r(t) t a lim f(t), lim g(t),lim h(t) siempre que los t a t a t a límites de las funciones componentes existan.

7 DERIVADA El vector r (t ) se llama vector tangente a la curva definida por r en el punto P siempre que r (t ) exista r ( t ) 0 dr r(t h)- r(t) r (t) lim dt h 0 h r (t ) vector unitario T( t ) r (t ) Por tanto r ( t ) f (t ), g (t), h (t) f (t)i g (t) j h (t) k VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN Si el vector R(t ) x(t )i (t ) j z( t ) k representa la posición de un objeto en el instante t, entonces los vectores V(t ) R ( t ) x ( t )i ( t ) j z (t ) k A(t ) R ( t ) x (t )i ( t ) j z ( t )k representan la velocidad aceleración, respectivamente en dicho instante t EJEMPLO Un objeto se mueve a lo largo de una curva C de ecuaciones paramétricas x= t, =t 3 z= 3t. Hallar los vectores velocidad aceleración, así como el módulo de la velocidad del objeto en t =1. Representar la curva, señalando los vectores velocidad aceleración. Solución: puesto que el vector de posición correspondiente a la curva es V(t ) i 3t tendremos A(t ) 6tj j 3k 3 R(t ) ti t j 3tk V(t) 10 9t 4 Así pues, en t= 1 será ds V i 3 j 3k A 6 j ; la velocidad será V( 1) 19 dt

8 Bibliografía: APOSTOL, Tom M. Análisis Matemático (Mathematical Analsis), trad., ed. Reverté S. A APOSTOL, Tom M. Cálculus Volumen 1 (Calculus), trad., ed. Reverté S.A BARTLE, Robert G. Introducción al Análisis Matemático (The Elements of Real Analsis), trad.,ed. Limusa S.A BARTLE et al. Introducción al Análisis Matemático de una Variable (Introduction to Real Analsis), trad., ed. Limusa S.A SPIVAK, Michael. Cálculo Infinitesimal (Calculus), trad., ed. Reverté S.A. 199