x y z 2y Re presenta el interior de una esfera con centro (0,1,0) y radio 1, es una región abierta.

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1 Universidad de Puerto Rico Departamento de Ciencias Matemáticas Eamen IV - Mate Cálculo II 4 de mao de 009 Recinto Universitario de Maagüez Nombre Número de estudiante Sección Profesor Debe mostrar todo su trabajo. Resuelva todos los problemas. Puede usar calculadora científica pero solo cuando sea indispensable. El eamen tiene un valor de 101 puntos Parte I Describa con palabras la región del espacio tridimensional R 3 representado por la desigualdad z (6 puntos) z ( ) z 0 ( +1) z 0 1 ( 1) z 1 Re presenta el interior de una esfera con centro (0,1,0) radio 1, es una región abierta. Hallar la ecuación de una esfera que pasa a través del punto (4, 1, 3) que tiene centro (, -3, ). (6 puntos) r r = 9 = 3 sustitue que h,k,l -h k z l r - 3 z 3, 3, r = 3 en Parte II (3 puntos cada uno a - g) 1. Sean los vectores a 5 i k, b i + j k, c 3i 3 j 6k. Halle: a. 4a 5b 4 (5î k) 5 i + j - k 0 î - 4k - 10î - 10j + 5k = 10i - 10j + k su magnitud es: = 01 = b. Un vector paralelo al vector c de longitud 10. 3i +3j +6k 3i +3j +6k 10 u =10 10 = i +3j +6k i i k 10 = i + j + k 3 3 3

2 c.el ángulo entre los vectores b c cos = b c b c i j k 3i 3 j 6k cos = = = cos d. La proección del vector c sobre el vector b. Pr bc b bc Pr o c = b = b b b b i + j - k = i j k o c b e. Un vector unitario perpendicular a los vectores b c u b c i j k b c i 1 3 j 1 3 k i -15j +0k i j = 0k f. Volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a, b c El volumen es igual al producto triple escalar a = 5, 0-1, b =, -1 c = 3, 3, vol = -1 = ( 6 puntos) Encontrar los valores de tal que los vectores, 1, Si los vectores son ortogonales el producto escalar tiene que ser Cero,1, 8, 7, = = 0 = -1 = -7 8, 7, sean ortogonales.

3 Parte III 1. (8 puntos)hallar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos siguientes: P (1, 1, ), Q ( 3, 4, ) R ( 3, 4, 1). PR = -4, 3, 3, PQ -4, -5, 4 i j k n = a,b,c PR PQ = n = i j 16 1 k 0 1 7i +4j +3k Sea P 1,1, 0 sustituendo en a - b c z z z z (10 puntos) Encontrar las ecuaciones paramétricas simétricas de la recta que pasa por el punto (,, 4) es perpendicular al plano que tiene ecuación 5z 1. El punto fijo,, z,,4 el vector que tiene la dirección de la línea es v = -1,, 5 Las ecuaciones paramétricas son: = - t, = - + t, z = 4 + 5t Las ecuaciones simétricas son: - + = -1 z-4 = 5 3. (7 puntos) Halle el punto donde la recta = + t, = 1 - t, z = -1 + t interseca al plano + - 5z - 3 = 0 sustitue, z en la ecuación del plano resuelve por t: t 1 t 5 1 t 3 = 0 +t + - t t - 3=0 6-11t = 0 6 t = 11 sustitue en las ecuaciones paramétricas de L para encontrar el punto de intersección = +, = 1- =, z =

4 4. Considere las ecuaciones paramétricas 7cos( ) 10sen, para - a. (5 puntos)elimine el parámetro para encontrar la ecuación en coordenadas rectangulares b. (4 puntos)trace la curva representada por estas ecuaciones en el intervalo. Indique con flechas la dirección de movimiento sobre de la curva. Eplique el resultado obtenido. Como el angulo es un ángulo positivo del primer cuadrante o un ángulo negativo del cuarto cuadrante, cos es positivo. Por lo tanto 0 7 Por otro lado está asociado con sen así que como sen es positivo en el cuadrante 1 negativo en el cuadrante 4 pues puede ser positivo o negativo Eliminar el paramétro, usar que sen + cos = 1 sustitue que cos = que sen = 7 10 = 1, esto es la ecuacion de una elipse, pero tenemos solamente la mitad derecha t = 7cos = 10 sen - = 0 = = = 4 0 = 7 = = = 4 = 0 = 10 (,) = (7cos(t),10sin(t)); <= t <=

5 Parte IV 1 a. (6 puntos) Convertir a coordenadas cartesianas la siguiente ecuación, que está epresada en polares. r 4cos + sen r 4 + r r multiplicamos por r: r = 4 + = = 0 Completar el cuadrado, para sumar 4 en ambos lados para sumar 1 en ambos lados = Es un círculo con centro en,1 radio 5 1b. (3 puntos) Identifique la curva. Es un círculo con centro en,1 radio 5. (10 puntos) Dibuje la curva que tiene la siguiente ecuación polar r = 4-4 sin. Utilice simetría para hacer la gráfica. Se recomienda hacer una tabla con los pares, r Que va a utilizar.

6 3. Considere la superficie cuádratica representada por la ecuación 4 z 4. Dibuje e identifique esta superficie. i. (6 puntos)para esto, primero encuentre las ecuaciones de las trazas (cortes o secciones) en los Planos z, z, identifique dibuje cada una. ii. (6 puntos) Luego dibuje e identifique la superficie.

7 Traza plano z: =0 Traza plano z: En =0 no ha traza. Usar = k, k>= traza plano : z = 0 Ecuación z = 4 Descripción: hipérbola eje real Dibujo Ecuación: k z 4 1 z k Ecuación 4 = 0 Descripción: hipérbola eje real Dibujo Descripción: Elipse Dibujo z 4 z hiperboloide de mantas simetría en el eje de

8 z Bono. (6 puntos ).Paree la grafica con su ecuación Escriba en el espacio provisto en la ecuación la letra correspondiente a la gráfica.. r 9sen 1. r 4cos 3. r 4 sen(4 q) 4. r 4sin 5. r 4 cos3 1 r 4sin. r 4cos r 9sen 4. r 4 cos

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