UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 21/05/2013. Apellido y nombre del alumno: Leg.:.. Corrigió: Revisó:...

Transcripción

1 UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 1/05/01 Apellido y nombre del alumno: Leg.:.. Corrigió: Revisó:... La condición para aprobar esta evaluación es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios. 1 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. No use lápiz. x y z 1 1) Dadas : r 1 :, r : (x, y, z) = (0,1,0) + t (,1,1) x y 0 Obtener la ecuación de la esfera con centro en el origen, que es tangente al plano que contiene a ambas rectas. 1 k ) Sea F: R P 1 la transformación lineal cuya matriz asociada es M(F) EB = k 1 con E base canónica de R y B = { x + 1, x - 1 } base de P 1. Encontrar los valores de k para los cuales se verifica: F no es epimorfismo (sobreyectiva) x Im(F) ) Dada la ecuación: Ax + y - z + z = a) Determinar los valores de A para que la intersección de la superficie con el plano z = sea un par de rectas perpendiculares. Identificar y graficar la superficie. b) Para los valores hallados en el ítem anterior, parametrizar la curva de intersección entre la superficie y el plano y = 1. ) Obtener el conjunto de los z C {0} que verifican las siguientes condiciones: z z 0 arg( z) 5) Demostrar las siguientes proposiciones: a) Sea A R nxn. Si v R nx1 es autovector de A asociado al autovalor, entonces v es autovector de A + I asociado al autovalor +. b) Sea A R x Si X 1 = [ ] t y X = [ ] t son soluciones del sistema A.X = O y es autovalor de A, entonces A es diagonalizable.

2 FINAL ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA FECHA: 0 Julio de 01 Apellido y nombres del alumno:.legajo Nº.. Corrigió: 1 5 Calificación final La condición para aprobar el examen es tener como mínimo tres ejercicios correctamente resueltos. Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios para justificar sus respuestas. NO USE LAPIZ 1) Sea la recta L: x y z 1 0 x, y, z ; ;0 ; R y la ecuación del haz de planos: Halle la proyección ortogonal de la recta L sobre el plano del haz que es paralelo al plano : x y z 1 0 ) Sea la superficie de ecuación: Ax y 1 A z 16 a) Halle los valores de A para que la intersección de la superficie dada con el plano y = 1 sea una elipse de semieje menor igual a. b) Para A = -, grafique la superficie y encuentre las ecuaciones paramétricas de la curva que resulta de la intersección de la superficie con el plano coordenado xy. ) Sea la transformación lineal R k 1 k k F : P / M EB F 0 k k es la matriz de F respecto de la 0 0 k base E estándar de P y la base 0,1,1 ; 0,0,1 ; 1, 0,0 B del codominio a) Halle k R para que el núcleo de F tenga dimensión 1. b) Para k = -1, encuentre todos los polinomios p t, si existen, tales que: 1, 1, F p t ) Grafique en el plano complejo los complejos z = x + y i que verifiquen el siguiente sistema: 1 z 1 i 5 Arg z Im z 1 5) Analice la validez de las siguientes proposiciones, justificando su respuesta: m 0 T a) Si A entonces para todo m R 0 la matriz A. A es diagonalizable y m m la suma de sus autovalores es positiva. b) Si S x, y, z, w R / x y z w y W x, y, z, w R / x y ; z w son subespacios de R, entonces la suma S W R y es directa.

3 Examen Final de Álgebra y Geometría Analítica 9/8/01 Apellido y nombre del alumno:... Legajo:... Importante: -Para aprobar este examen debe tener bien resueltos ejercicios, como mínimo. - Debe presentar el desarrollo completo de todos los ejercicios, justificando correctamente todas las resoluciones. - No use lápiz. 1 5 Calificación Final x y z 9 0 1) Dadas las rectas r : y z 8 0 y s :(x,y,z) (a,1,0) t(1,,0) a) Hallar a R, si existe, para que r s b) Si a 0 calcular la distancia entre ambas rectas. ) Analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar las respuestas. a) Si 1 z i, entonces z 6 1 b) La transformación lineal T :P R / T(p(x)) p( ) es inyectiva. ) Dados S gen (0,a, 1,) y S (x,y,z,t) R / x y 0, x z at 0 1 R hallar R dim(s1 S ) subespacios vectoriales de a, si existe, para que ) Hallar la matriz asociada a una transformación lineal T :R R respecto a la base canónica de R sabiendo que λ es autovalor de T asociado al autoespacio S (x,y,z) R / x y z 0 y que (0,1,1) Nu(T) 5) Dada la superficie Ax B(y 1) C(z ) 1 a) Hallar los valores de A, B, C R para que la superficie sea un cilindro circular recto de eje paralelo al eje y, y tal que su traza con el plano xz sea una circunferencia de radio. b) Para A C 1 y B 1 identificar la superficie y graficarla.

4 UTNFRBA FINAL ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 6/9/01 Apellido y nombres:...legajo:... Corrigió:.Revisó: La condición para aprobar este examen final es tener como mínimo ejercicios correctamente resueltos. (las partes a, b cuentan c/u como medio ejercicio) 1 5 Calificación IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. x z 1) Dada la recta L : y 1 z a) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L y al origen de coordenadas. b) Graficar la recta L como intersección de los planos que la definen. S ) Sean los subespacios vectoriales: T x, y,z R / x, y,z t, 1,1 x, y R / x, y 1, Justificar que es posible definir una transformación lineal t R R F : R R tal que su imagen sea T y su núcleo sea S y definir una transformación lineal que cumpla las condiciones pedidas. (Nota: no es necesario obtener la expresión analítica de la transformación lineal). (Sugerencia: utilice el teorema de las dimensiones y el teorema fundamental de las T.L.) ) Sea la superficie : x a y a z b z a) Determinar todos los valores de a, b R tales que la superficie sea un cilindro, indicar que tipo de cilindro es, y graficar un caso. b) Para a 1 b identificar la superficie y obtener la intersección con el plano z 0 0 ) Dada la matriz A 1 k a) Determinar todos los valores de k R tales que la matriz resulte diagonalizable. b) Determinar todos los valores de k R tales que el sistema A X N tiene infinitas soluciones. Para el valor hallado de k, interpretar geométricamente la transformación lineal representada por la matriz, en las bases canónicas. 5 a) Graficar la región del plano complejo representada por 1 z 1 5 b) Parametrizar la porción de curva frontera desde A,0 hasta B 1,0 dirección antihoraria. en

5 FINAL ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA FECHA: Apellido y nombres del alumno. Legajo Nº.. Corrigió: 1 5 Calificación final La condición para aprobar el examen es tener como mínimo tres ejercicios correctamente resueltos. Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios para justificar sus respuestas. NO USE LAPIZ 1. Sea la transformación lineal F : P R / M F a 1 ; siendo BB ' 1 ; 1 ; 1 y B ' 0, 1,0 ; 1, 1,0 ; 0, 1,1 B x x x a 1.1) Hallar, si existen, todos los valores reales de a, tal que F sea monomorfismo. 1.) Para a = 1 y utilizando la matriz de F respecto de las bases B y B, halle el núcleo, una base del mismo y su dimensión.. Sean los subespacios de ( R,, R, ) : R y W = (x, y, z) R / (x, y, z) = (,1,1) ; R S = (x, y, z) / x + ky - z = 0.1) Halle W ; una base y la dimensión del mismo..) Interprete geométricamente W y W..) Halle k R, si existe, para que la suma de S y W sea directa. Justifique.. Sean las siguientes transformaciones lineales: F : R R / es una reflexión respecto del eje x G : R R / es una reflexión respecto de la recta x y 0 Utilizando la matriz de F vector v = (0,) G respecto de la base canónica de R, halle la imagen del. Determine el conjunto de puntos del plano complejo que satisfaga simultáneamente las siguientes dos condiciones: I) z Re z 5 y II) Re( z ) 0 5. Sea la ecuación en R de la superficie: : 1 S x y z A 5.1) Halle la ecuación canónica, identifique y grafique las superficies para: a) A>0 ; b) A<0 ; c) A=0 5.) Para A = 15, halle las ecuaciones paramétricas de la curva intersección de la superficie con el plano y =.Identifique la curva.

6 UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 17/1/01 Apellido y nombre del alumno: Leg.:.. Corrigió: Revisó:... La condición para aprobar esta evaluación es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios. 1 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. No use lápiz. 1) Sea S = { A R x / A = A t } a) Analizar la validez de la siguiente proposición: Si F: R R x es una transformación lineal cuya imagen es S, entonces F es inyectiva. b) Definir una transformación lineal G: R R x que verifique las dos condiciones siguientes: i) Nu(G) = gen { (1,0,1) }, ii) Im(G) =, siendo W = { A R x / traza(a) = 0 } Explicar por qué G está bien definida. No es necesario hallar la fórmula. ) Dadas : r 1 : x y z 1 x y 0, r : (x, y, z) = (0,1,0) + t (-1, -1, ) Encontrar todos los puntos pertenecientes al eje z cuya distancia al plano π determinado por ambas rectas, sea igual a ) Dada la ecuación : Ax + y - z + z = a) Determinar los valores de A para que la intersección de la superficie con el plano z = 0 sea una hipérbola equilátera. Identificar y graficar la superficie. b) Para los valores hallados en el ítem anterior, parametrizar la curva de intersección entre la superficie y el plano y =. Indicar la curva en el gráfico de la superficie. ) Hallar analíticamente y graficar la región del plano complejo dada por: R = { z C : z +, π/ arg(z) 5π/, Im( z ) 5) Sea la transformación lineal T:R R / T( x, y, z)=( y + z, x + z, x + y ) Analizar si existe una base B de R tal que la matriz asociada a T respecto de dicha base sea diagonal. En caso afirmativo, indicar B y M B (T).

7 UTN FRBA ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 10/0/01 Apellido y nombres del alumno:... Legajo:... Corrigió:.... La condición para aprobar esta evaluación es tener ejercicios bien resueltos: 1 de Algebra y de Geometría Analítica, ó de Algebra y 1 de Geometría Analítica. 1 5 Calificación final IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. x z 10 1) Sean las rectas: r : y 1 y 1 t : (x;y; z) (1;;6) µ(1;0;) con µ R Obtenga la ecuación general del plano que pasa por el punto de intersección de las rectas dadas y que contiene a la recta s : x y z 1. Grafique el plano hallado. ) Dada la superficie de ecuación: (A )x By Bz 1 a) Halle los valores de A y B para que la intersección de la superficie con el plano z 0 corresponda a una hipérbola equilátera cuyos vértices sean puntos de ordenadas. Identifique la superficie. b) Para A y B, parametrice la curva de intersección entre la superficie y el plano x, grafique la superficie y en ella, la curva. ) a) Dados los subespacios de (R x,, R,.) : x y x W gen ; y S R / 5x z x y t 0, z t determine, justificando, si 1 5 A pertenece a W S 5 b) Compruebe, justificando su respuesta, si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: Si S 1 y S son subespacios de, S 1 S R ) Sean e ;e ; E la base canónica de 1 e R u; v es una base de S 1 y t R, la transformación lineal w; es una base de S, entonces T :R R / T(e1 ) e1 e, T(e ) e y v ( 1;0;1) un autovector de T asociado al autovalor λ. Determine, justificando, si es posible hallar una base B de R tal que M B (T) sea diagonal. En caso afirmativo, halle la base B y M B (T). x1 k ) Sea una transformación lineal F : P R tal que MB 1 B (F) es la matriz asociada a F respecto de las bases B1 1; 1 x; 1 x x de P y B ; de 0 1 x1 R a) Halle k R, si existe, para que F no sea sobreyectiva. b) Para k, halle una base del núcleo de F.

8 UTN FRBA Final de Álgebra y Geometría Analítica 17//01 Apellido y nombre del alumno: Corrigió: La condición para aprobar esta evaluación es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios. 1 5 Calificación final IMPORTANTE: Presentar el desarrollo de todos los ejercicios, justificando las respuestas. No usar lápiz. 1) Dadas las rectas r 1 : (x,y,z) = (1,0,0) + t (1,1,0) y r : En cada caso determinar los valores de c y d para que: a) las rectas se corten formando un ángulo recto. b) la distancia de r al plano y = sea. ) Sea la transformación lineal a) Si E es la base canónica de R, hallar una base B de R de modo que la matriz asociada a F respecto de dichas bases sea:. b) Dada la transformación lineal, hallar. ) Dada la superficie de ecuación x y + z z = k, hallar el valor de k para que la intersección con el plano y = 1 sea una circunferencia de radio. Parametrizar dicha circunferencia. Identificar y graficar la superficie para el valor de k hallado. ) Si, hallar el conjunto solución de la ecuación en C: 5) Analizar la validez de las siguientes proposiciones, justificando las respuestas. a) Si tiene rango, entonces 0 es autovalor de M. b) Sea. Si a + b = c + d = k, entonces es autovector de A asociado al autovalor k.

9 FINAL ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA FECHA: de Febrero de 01 Apellido y nombres del alumno:.legajo Nº.. Corrigió:. 1 5 Calificación final La condición para aprobar el examen es tener como mínimo tres ejercicios correctamente resueltos. Usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios para justificar sus respuestas. NO USE LAPIZ 1) a) Encuentre, si existe, las ecuaciones paramétricas de una recta que cumpla simultáneamente las siguientes tres condiciones: i) contiene al centro de la superficie esférica de ecuación: x y z x y 6z 10 0 ii) es paralela al plano α: -x + y = 5 iii) está incluida en el plano β: x + y = -5 b) Si existe, grafique la recta hallada y los planos α y β en un mismo gráfico. ) Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta: mxn n m a) A R ; X R ; B R : Si el sistema de ecuaciones lineales A. X B es incompatible, entonces : B es combinación lineal del espacio columna de A b) Si el determinante de una matriz cuadrada de orden n es distinto de cero, entonces la matriz es diagonalizable. ) ) 1 0 k 1 BB' 0 9k siendo M BB (F) la matriz de la transformación F respecto de la base B ' x ; 1 del dominio y del codominio. Sea la transformación lineal F : P P / M F a) Halle k real, si existe, para que F no sea epimorfismo b) Para k = 1, encuentre la matriz de F respecto de la base canónica del dominio y canónica del codominio. Sea la ecuación: 1 A x y B z C a) Halle los valores de A, B y C para que la ecuación dada represente una superficie cónica cuya intersección con el plano y = -6 sea una circunferencia de radio. Grafique la superficie obtenida. B 1 ; 1 x ; 1 x x b) Para A=B=C=1, identifique y grafique la superficie. 5) Halle y grafique todos los complejos z = x + y i que verifiquen la ecuación: z - i + Re (z) + Im (z) 5