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Aarón Guzmán Agüero
hace 7 años
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1 Para ver una explicación detallada de cada gráfica, haga Click sobre el nombre. La Parábola La Circunferencia La Elipse La Hipérbola

2 La Parábola La parábola se define como: el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz A continuación veremos la representación gráfica de la parábola y los elementos que la componen: La ecuación general de la parábola es: La ecuación canónica de la parábola es: De esta ecuación, podemos encontrar los siguientes elementos: Vértice: Está dado por las coordenadas, para expresar las coordenadas, siempre se escribe el signo contrario al que aparece. Por ejemplo: En este caso, las coordenadas del vértice son Foco: Está dado por las coordenadas En el ejemplo anterior:

3 El foco de esta parábola es: Directriz: Es una línea recta que está a la misma distancia del foco pero en el lado contrario de la parábola y la ecuación de dicha recta es: En nuestro ejemplo, la directriz es: Lado recto: Es la distancia que hay entre dos puntos de la parábola que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría: Siguiendo con el ejemplo: Esto significa que la parábola se abre 4 unidades a lado y lado del foco. Eje de simetría: Es la línea que pasa por el vértice y es perpendicular a la directriz. La distancia de los puntos a un lado y otro de la parábola a este eje son iguales. Veamos la gráfica de nuestro ejemplo con sus elementos:

4 Una parábola puede aparecer de cuatro formas diferentes: Caso I: Como está en la figura, es decir, abierta hacia arriba (sobre el eje y). Esto ocurre cuando 4p es positivo y la x está al cuadrado. Por ejemplo: Caso II: abierta hacia abajo (sobre el eje y). Esto ocurre cuando 4p es negativo y la x está al cuadrado. Por ejemplo: Caso III: abierta hacia la derecha (sobre el eje x). Esto ocurre cuando 4p es positivo y la y está al cuadrado. Caso IV: abierta hacia la izquierda (sobre el eje x). Esto ocurre cuando 4p es negativo y la y está al cuadrado. En los Casos III y IV debemos tener en cuenta algunos cambios en las coordenadas, debido a que se cambia de eje de simetría. Vértice: Está dado por las coordenadas. Foco: Está dado por las coordenadas Directriz: Es una línea recta que está a la misma distancia del foco pero en el lado contrario de la parábola y la ecuación de dicha recta es:

5 Vamos a realizar un segundo ejemplo: Representar gráficamente la siguiente parábola: En esta parábola, la y está al cuadrado y 4p es negativo, por lo tanto, la gráfica está horizontal y abierta hacia la izquierda. Ahora encontremos los elementos: Vértice: Foco: Directriz: Lado recto: como es una distancia se expresa positivo Ahora, veamos la gráfica:

6 A continuación, vamos a resolver algunos ejemplos para encontrar los elementos dada la ecuación, o encontrar la ecuación dados algunos elementos. No haremos la gráfica, la cual le queda al estudiante para que practique. Ejercicio 1: Encontrar la ecuación canónica y los elementos de la siguiente parábola: Primero: dejamos la variable que no tiene cuadrado y el número independiente a un lado del igual y pasamos el resto al otro lado: Vamos a multiplicar por (-1) para dejar la positiva. Recuerde que al multiplicar por (-1), cambian los signos de TODOS. Segundo: debemos completar el cuadrado, para obtener un trinomio cuadrado perfecto: Recordemos qué es un trinomio cuadrado perfecto: Es una expresión de la forma: o, Para conseguir el tercer término, segundo término entre dos: lo que debemos hacer es dividir el Luego lo elevamos al cuadrado y los sumamos a ambos lados de la igualdad. Esto es lo que debemos hacer para completar los cuadrados en el ejemplo: Ahora factorizamos el trinomio cuadrado perfecto:

7 Sacamos factor común al lado izquierdo: Y ya tenemos la ecuación canónica de la parábola. Ahora vamos a extraer los elementos: Vértice: Lado recto Foco: Directriz: Ejercicio 2: Encontrar la ecuación general de la parábola que tiene vértice en directriz es y su Primero: intentamos ubicar los valores en la ecuación canónica: Sabemos que la que está al cuadrado es la están en función de porque la ecuación de la directriz Segundo: debemos encontrar el valor de Sabemos que la directriz: Reemplazamos los valores: El lado recto es, entonces: Con este valor ya podemos escribir la ecuación canónica:

8 Tercero: Ahora, debemos desarrollar la ecuación canónica para expresarla como ecuación general: Y ya tenemos la ecuación general de la parábola. En toda parábola, cuando no están, significa que el vértice es el origen: Volver al inicio

9 La Circunferencia La circunferencia se define como: es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto fijo llamado centro La ecuación general de la circunferencia es: La ecuación canónica de la circunferencia es: En donde podemos encontrar los siguientes elementos: Centro: Radio: Para detectar que la ecuación general dada es una circunferencia, debemos tener en cuenta que los coeficientes de las letras que están al cuadrado son iguales y sus signos también son iguales. Por ejemplo: Es una circunferencia. En cambio: No es una circunferencia.

10 Vamos a realizar algunos ejemplos con circunferencias: Ejercicio 1: Encontrar los elementos y representar gráficamente la siguiente circunferencia: Elementos: Centro: Radio: Ejercicio 2: Encontrar los elementos y representar gráficamente la siguiente circunferencia: Elementos: Centro: Radio:

11 Ahora, veremos dos ejemplos donde nos dan los elementos y debemos buscar la ecuación general o nos dan la ecuación general y debemos hallar los elementos de la circunferencia. Las gráficas las dejamos para que el estudiante las realice y practique lo aprendido anteriormente. Ejercicio 3: Dada la ecuación general de la circunferencia, encontrar los elementos (centro y radio): Pasamos el término independiente al otro lado de la igualdad: Para encontrar los elementos, debemos hallar la ecuación canónica. Primero, debemos completar los trinomios cuadrados perfectos para las dos variables: Recordemos qué es un trinomio cuadrado perfecto: Es una expresión de la forma: o,

12 Para conseguir el tercer término, segundo término entre dos: lo que debemos hacer es dividir el Luego lo elevamos al cuadrado y los sumamos a ambos lados de la igualdad. Esto es lo que debemos hacer para completar los cuadrados en el ejemplo: Completemos el cuadrado para la Dividimos 2 entre 2 : y lo elevamos al cuadrado: Ese valor lo agregamos y lo sumamos al otro la de la igualdad y nos queda: Ahora completemos el cuadrado para la Dividimos 4 entre 2 : y lo elevamos al cuadrado: Ese valor lo agregamos y lo sumamos al otro la de la igualdad y nos queda: Ahora factorizamos los dos trinomios cuadrados perfectos y obtenemos la ecuación canónica: Y ahora sí, ya podemos obtener los elementos: Centro: Radio: Ejercicio 4: Encontrar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es radio es 4: y el La ecuación canónica de la circunferencia es:

13 Ahora, debemos reemplazar los valores: Ahora, resolvemos los cuadrados: Y ha quedado lista la ecuación general de la circunferencia. Volver al inicio

14 La Elipse La elipse se define como: el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante La ecuación general de la elipse es: La ecuación canónica de la elipse es: De esta ecuación, podemos encontrar los siguientes elementos: Centro: Está dado por las coordenadas, para expresar las coordenadas, siempre se escribe el signo contrario al que aparece. Por ejemplo: En este caso, las coordenadas del centro son Focos: Está dado por las coordenadas En el ejemplo anterior:

15 El foco de esta parábola es: Directriz: Es una línea recta que está a la misma distancia del foco pero en el lado contrario de la parábola y la ecuación de dicha recta es: En nuestro ejemplo, la directriz es: Lado recto: Es la distancia que hay entre dos puntos de la parábola que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría: Siguiendo con el ejemplo: Esto significa que la parábola se abre 4 unidades a lado y lado del foco. Eje de simetría: Es la línea que pasa por el vértice y es perpendicular a la directriz. La distancia de los puntos a un lado y otro de la parábola a este eje son iguales. Volver al inicio

16 La Hipérbola La hipérbola se define como; el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante La ecuación general de la hipérbola es: La ecuación canónica de la elipse es: De esta ecuación, podemos encontrar los siguientes elementos: Centro: Está dado por las coordenadas, para expresar las coordenadas, siempre se escribe el signo contrario al que aparece. Por ejemplo: En este caso, las coordenadas del centro son Focos: Está dado por las coordenadas En el ejemplo anterior:

17 El foco de esta parábola es: Directriz: Es una línea recta que está a la misma distancia del foco pero en el lado contrario de la parábola y la ecuación de dicha recta es: En nuestro ejemplo, la directriz es: Lado recto: Es la distancia que hay entre dos puntos de la parábola que pasa por el foco y es perpendicular al eje de simetría: Siguiendo con el ejemplo: Esto significa que la parábola se abre 4 unidades a lado y lado del foco. Eje de simetría: Es la línea que pasa por el vértice y es perpendicular a la directriz. La distancia de los puntos a un lado y otro de la parábola a este eje son iguales. Volver al inicio

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