TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 1. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

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Pablo Macías Soriano
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1 TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 1 TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(x,) a las coordenadas del punto genérico aplicando analíticamente la propiedad que debe cumplir, se obtiene la ecuación de la figura geométrica. 9. ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA Circunferencia de centro C radio r es el lugar geométrico de los puntos del plano X, cua distancia al centro C es el radio r. d (X,C) = r Si X(x,) C(a,b) ( x a) ( b) r (x a) ( b) r Desarrollando : x ax + a + b + b = r x + ax b + a + b r = 0 A a x + + Ax + B + C = 0 tal que B b C a b r Notas: Ha que tener en cuenta que r debe ser maor cero Para poder aplicar lo anterior los coeficientes de x de deben ser 1. Si son distintos no es una circunferencia si iguales pero distintos de 1 debemos dividir toda la ecuación entre dicho coeficiente antes de calcular el centro el radio con las ecuaciones anteriores. POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA Dibujo Resolviendo el sistema Calculando distancias Exterior No existe solución d(recta,centro)>radio Tangente Una solución d(recta,centro)=radio Secante Dos soluciones d(recta,centro)<radio

2 TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 9.3 POTENCIA DE UN PUNTO A UNA CIRCUNFERENCIA : Se llama potencia de un punto P(,) a una circunferencia C a d r, siendo d la distancia del punto al centro: Pot = d r = ( - a) + ( - b) r Si el punto es exterior a la circunferencia (d > r) Pot > 0 Si el punto es de la circunferencia (d = r) Pot = 0 Si el punto es interior a la circunferencia (d < r) Pot < 0 EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS: Se llama eje radical de dos circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a ambas. El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la línea de los centros. 9.5 ESTUDIO DE LA ELIPSE Lugar geométrico de los puntos del plano cua suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante k d(x,f) + d(x,f ) = k CÓMO SE DIBUJA Se clavan dos estacas con una cuerda tensa con extremos en dichas estacas se va dibujando la elipse. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS

3 TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 3 Focos : F F Centro : O Semieje maor : a = OA = OA Eje maor : a = AA Semieje menor : b = OB = OB Eje menor : b = BB Semidistancia focal : c = OF = OF Distancia focal : c = FF La constante k = AF + AF = AF + FA = AA = a Además como B es un punto de la elipse: BF + BF = a como BF = BF BF = a Por tanto aplicando Pitágoras se cumple que a = b + c a > b, c EXCENTRICIDAD Se llama excentricidad de una elipse al cociente entre la distancia focal el eje maor e = c/a 0 < e < 1 A maor excentricidad más alargada es la elipse. ECUACIÓN REDUCIDA Ecuación de la elipse centrada en el origen de eje maor OX Aplicando la definición de elipse d(x,f) + d(x,f ) = a la relación entre sus elementos a = b + c : d((x,),(c,0)) + d((x,),(-c,0)) = a Despejando una raíz elevando al cuadrado ( x c) a (x c) 4a (x c) (x c) a x cx + c + = 4a + x + xc + c + cx + a = a ( x c) Simplicando -4cx 4a = -4a ( x c) Elevando al cuadrado ( x c) c x + cxa + a 4 = a (x + cx + c + ) Agrupando c x a x a = a c a 4 (c a )x a = a (c - a ) -b x a = -a b b x + a = a b Dividiendo por a b 1 Ecuación de la elipse de centro el origen de eje maor OY 1 b a Ecuación de la elipse de centro C(,) el eje maor paralelo a OX x 1 Ecuación de la elipse de centro C(,) el eje maor paralelo a OY x 1 b a

4 TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS ESTUDIO DE LA HIPÉRBOLA Lugar geométrico de los puntos del plano cua resta de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante k d(x,f) - d(x,f ) = k ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS Focos : F F Centro : O Semieje: a = OA = OA Eje maor : a = AA Semidistancia focal : c = OF = OF Asíntotas : Las rectas r r La constante k = AF - AF = AF - FA = AA = a Distancia focal : c = FF Además como B es un punto de la elipse: BF + BF = a como BF = BF BF = a Por tanto aplicando Pitágoras se cumple que c = a + b c > a, b EXCENTRICIDAD Se llama excentricidad de una hipérbola al cociente entre la distancia focal el eje maor e = c/a e > 1 A maor excentricidad más plana es la hipérbola.

5 TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS 5 ECUACIÓN REDUCIDA Ecuación de la hipérbola centrada en el origen de eje maor OX Aplicando la definición de hipérbola d(x,f) - d(x,f ) = a la relación entre sus elementos c = a + b : d((x,),(c,0)) - d((x,),(-c,0)) = a Despejando una raíz elevando al cuadrado ( x c) a (x c) + 4a (x c) (x c) a x cx + c + = 4a + x + xc + c + cx + a = -a ( x c) Simplicando -4cx 4a = +4a ( x c) Elevando al cuadrado ( x c) c x + cxa + a 4 = a (x + cx + c + ) Agrupando c x a x a = a c a 4 (c a )x a = a (c - a ) b x a = a b Dividiendo por a b 1 Ecuación de la hipérbola de centro el origen de eje maor OY 1 b a Ecuación de la hipérbola de centro C(,) el eje maor paralelo a OX x 1 Ecuación de la hipérbola de centro C(,) el eje maor paralelo a OY x b a 1

6 TEMA 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS ESTUDIO DE LA PARÁBOLA Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco de una recta fijo llamada directriz d(x,f) = d(x,d) ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS F : Foco d : Directriz V : Vértice de la parábola p : Distancia del foco a la directriz EXCENTRICIDAD La excentricidad de una parábola es siempre 1 ECUACIÓN REDUCIDA Ecuación reducida de la parábola de vértice el origen directriz paralela al eje OX F (0,p/) d: = - p/ Aplicando la definición : d (X,F) = d(x,d) x ( p / ) p / Elevando al cuadrado x + p + p / 4 = + p + p /4 x = p Nota: Si la parábola se abre hacia abajo : x = -p Ecuación reducida de la parábola de vértice el origen directriz paralela al eje OY Si la parábola se abre hacia la derecha: Si la parábola se abre hacia la izquierda : = px = -px Si está centrada en (,) Si la parábola se abre hacia la arriba: (x - ) = p(-) Si la parábola se abre hacia la abajo: (x - ) = -p( - ) Si la parábola se abre hacia la derecha: ( - ) = p(x - ) Si la parábola se abre hacia la izquierda: ( - ) = -p(x - )

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