Tema 9: Lugares geométricos. Cónicas.
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- Julio Chávez Silva
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1 Tema 9: Lugares geométricos. Cónicas. Ejercicio. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de etremos,, A,0 B. Solución: Los puntos X (, ) deben cumplir la condición dist( X, A) dist( X, B) : ( ) ( ) ( ) Elevamos al cuadrado en los dos miembros desarrollamos los cuadrados indicados: La recta obtenida, tiene las siguientes características: Pasa por (,), que es el punto medio del segmento. Su pendiente,, la pendiente del segmento,, cumplen que ( ). Son perpendiculares. Efectivamente, es la mediatriz de AB - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura.
2 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo formado por: 0 : r 0 : r Solución: Los puntos ), ( X deben cumplir: ), ( ), ( r X dist r X dist ), ( r X dist ), ( r X dist Como los puntos equidistan de ambas rectas, debe cumplirse que: ), ( ), ( r X dist r X dist Para interpretar esta ecuación, debemos eliminar los valores absolutos. Al hacerlo, aparece un doble signo, pues B A B A o bien B A. 0 ) ( L
3 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas. ( ) L ) El lugar geométrico buscado está compuesto por las dos rectas, L L, perpendiculares entre sí que se cortan en (, ), el mismo punto en que se cortan r r. ( Son las bisectrices de los ángulos formados por las dos rectas dadas. - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura. Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
4 Ejercicio. MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C,0 radio. Solución: Los puntos X (, ) deben cumplir dist ( X, C) : ( ) Con lo que sabemos hasta ahora no somos capaces de interpretar esta ecuación. - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura. Figura 6.
5 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio. Hallar el lugar geométrico de los puntos cua diferencia de cuadrados de distancias a P (,) a Q (,) es. Solución: dist( X, P) dist( X, Q) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ( 0 ) 6 9 Se trata de una recta perpendicular al segmento PQ. - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura 7.
6 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura 8. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (, ) radio. Solución: ( ) ( ) 6 Esta a es la ecuación. Podríamos simplificarla si fuera necesario para nuestros fines:
7 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas. - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura 9. Figura 0. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio 6. Hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que la razón de distancias a dos puntos dados, A (0,0) B (6,), sea igual a. Es decir, PA / PB. 7
8 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Solución: PA PB ( 6) ( ) ( 6 6 9) Es una circunferencia de centro ( 8,) radio Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura. Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: 8
9 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas. 9 Ejercicio 7. Hallar la posición relativa de la recta la circunferencia siguiente: 0 8 Solución: Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de la recta la circunferencia, se obtienen los puntos de corte. (Si el sistema no tuviera solución, la recta sería eterior a la circunferencia): ,8 7,8 7 La recta la circunferencia se cortan en dos puntos: 0,8;0,8),(,8;,8) ( Si solo nos importa la posición relativa, esta podría averiguarse comparando el radio r, de la circunferencia con la distancia,, d de su centro a la recta s : Centro: ), C ( O Radio: r : ), ( s O dist C, d Puesto que, d r la recta corta a la circunferencia.
10 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura. Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: 0
11 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas. Ejercicio 8. Dados los puntos F (,), F (7, ) la recta r : 0, obtener las ecuaciones de: a) La elipse de focos F, F cua constante es 7. b) La hipérbola de focos F, F cua constante es 6. c) La parábola de foco F directriz r. Solución: a) dist ( P, F ) dist( P, F ) 7 ( ) ( ) ( 7) ( ) 7 b) dist ( P, F ) dist( P, F ) 6 ( ) ( ) ( 7) ( ) 6 c) dist ( P, F ) dist( P, r) ( ) ( ) Como ves, has sido mu fácil hallar estas ecuaciones. Sin embargo, es menos fácil aprender a reconocer las ecuaciones de estas figuras. Para ello, las estudiaremos con más detalle en los próimos apartados. - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura.
12 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura 6. Figura 7. Figura 8.
13 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas. Figura 9. Figura 0. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio 9. Hallar los elementos característicos la ecuación reducida de la elipse de focos F (,0 ) F (,0) constante k 0.
14 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Solución: Semieje maor: k 0 a 0 a Semidistancia focal: F F 8 c 8 c Semieje menor: b a c 6 b Ecentricidad: c / a / 0,8 ec 0,8 Ecuación reducida: 9 - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura. Figura. Figura.
15 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas. Figura. Figura. Figura 6. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio 0. Representar las siguientes elipses decir su ecentricidad:
16 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Solución: a) 6 6 Figura 7. c c ec 6 ec 0,7 ( ) b) Figura 8. c ec 0,98 ( ) ( ) c) 6 Figura 9. c 6 ec 0,6 d) Figura 0. c ec 0,87 6
17 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas. - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura. Figura. Figura. 7
18 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura. Figura. Figura 6. Figura 7. 8
19 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas. Figura 8. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio. Representa las siguientes hipérbolas: a) 6 6 b) ( ) Figura 9.a. Figura 9.b. ( ) ( ) c) 6 Figura 9.c. d) Figura 9.d. - Ahora lo resolveremos con Wiris: 9
20 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura 0. Figura. Figura.a. Figura.b. Figura.c. Figura.d. 0
21 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio. Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que se dan a continuación: a) 9 b) Figura.a. Figura.b. c) d) Figura.c. Figura.d. e) Figura.e. f) 9 Figura.f.
22 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS g) h) 0 Figura.g. Figura.h. i) 0 Figura.i. j) 0 Figura.j. k) l) Figura.k. Figura.l.
23 RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 9. Lugares geométricos. Cónicas. - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura. Figura.a. Figura.b. Figura.c. Figura.d. Figura.e. Figura.f.
24 MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS Figura.g. Figura.h. Figura.i. Figura.j. Figura.k. Figura.l. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
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