Matemáticas Tercer Semestre. Efraín Soto A.

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1 Matemáticas Tercer Semestre Efraín Soto A.

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3 Índice 1 Sistemas de ejes coordenados Coordenadas de un punto Ejes Coordenados Lugares geométricos Rectas, segmentos y polígonos Segmentos Rectilíneos Rectas Polígonos Formulario de la Unidad Uno La línea recta Ecuaciones y propiedades de la recta Forma punto-pendiente Forma pendiente-ordenada al origen Forma simétrica Forma general Forma normal Distancia entre un punto y una recta Ec. rectas notables en un triángulo Medianas Alturas Mediatrices Bisectrices Formulario de la Unidad Dos Matemáticas III

4 iv 3 La circunferencia Caracterización geométrica Elementos de la circunferencia Ecuación ordinaria de la circunferencia Circunferencia con centro en el origen Centro fuera del origen Ecuación general de la circunferencia Conversión de forma ordinaria a forma general Conversión de la forma general a la forma ordinaria Circunferencia que pasa por tres puntos Condiciones analíticas y geométricas Obtención de la ecuación dados tres puntos Circunferencia y secciones cónicas Formulario de la Unidad Tres La parábola Caracterización geométrica La parábola como lugar geométrico Elementos de la parábola Formas de trazo a partir de la definición Ecuaciones ordinarias de la parábola Parábolas con vértice en el origen Parábolas con vértice fuera del origen Ecuación General de la Parábola Conversión de f. ordinaria a f. general Conversión de f. general a f. ordinaria Formulario de la Unidad Cuatro La elipse Caracterización geométrica La elipse como lugar geométrico Elementos asociados a la elipse Ecuaciones ordinarias de la elipse Vértice en el origen Vértice fuera del origen Ecuación general de la elipse Conversión de f. ordinaria a f. general Conversión de la forma general a la forma ordinaria Formulario de la Unidad Cinco Matemáticas III

5 v 6 La hipérbola Caracterización geométrica La hipérbola como lugar geométrico Elementos asociados a la hipérbola Ecuación ordinaria de la hipérbola Hipérbola con centro en el origen Hipérbola con centro fuera del origen Ecuación general de la hipérbola Conversión de f. ordinaria a f. general Conversión de f. general a f. ordinaria Formulario de la Unidad Seis Matemáticas III Efraín Soto A.

6 vi Efraín Soto A. Matemáticas III

7 Uno Sistemas de ejes coordenados Por aprender Coordenadas cartesianas de un punto Ejes coordenados Lugares geométricos 1.2. Conceptos básicos sobre rectas, segmentos y polígonos Segmentos rectilíneos Rectas Polígonos Por qué es importante... En el aprendizaje de cualquier ciencia, es importante concer la terminología con la que estamos hablando. En esta unidad vamos a descubrir las fórmulas que nos servirán para el resto del curso.

8 44 Sistemas de ejes coordenados Formulario Unidad Uno Distancia entre dos puntos: La longitud D del segmento PQ siendo P(x p,y p ) y Q(x q,y q ), es: D = (x q x p ) 2 + (y q y p ) 2 Punto de división: Las coordenadas del punto M (x m,y m ) que divide al segmento PQ con P(x p,y p ) y Q(x q,y q ), en la razón r son: x m = r x q + x p 1 + r y m = r y q + y p 1 + r Punto medio: Las coordenadas del punto medio M ( x,ȳ ) del segmento PQ con P(x p,y p ) y Q(x q,y q ), son: x = x q + x p 2 ȳ = y q + y p 2 Pendiente: La pendiente m de la recta pasa por los puntos P(x 1,y 1 ) y Q(x 2,y 2 ), es: m = y 2 y 1 x 2 x 1 Condición de paralelismo: Si m 1 y m 2 son las pendientes de las rectas l 1 y l 2, entonces, m 1 = m 2 implica que l 1 l 2. Condición de perpendicularidad: Si m 1 y m 2 son las pendientes de dos rectas l 1 y l 2 perpendiculares (l 1 l 2 ), entonces, m 1 = 1 m 2 Ángulo entre dos rectas: Si φ es el ángulo entre las rectas l 1,l 2, con pendientes m 1 y m 2 respectivamente, entonces: tanφ = m 2 m m 1 m 2 Fórmula de Herón: El área del triángulo con lados de longitud a,b, c, respectivamente y semiperímetro p es: A = p (p a )(p b)(p c) Nota: El semiperímetro es igual a la mitad del perímetro: p = a + b + c Efraín Soto A. Matemáticas III

9 Dos La línea recta Por aprender Ecuaciones y propiedades de la recta Forma punto-pendiente Forma pendiente-ordenada al origen Forma simétrica Forma general de la ecuación de la recta Forma normal de la ecuación de la recta Distancia entre un punto y una recta 2.2. Ecuaciones de rectas notables en un triángulo Medianas Alturas Mediatrices Bisectrices Por qué es importante... En la construcción de planos arquitectónicos, en el diseño de nuevas máquinas, etc., siempre encontramos ecuaciones que deben pasar por dos puntos o que deben tener una cierta inclinación, además, las ecuaciones de rectas sirven para modelar algunas aplicaciones que ya hemos estudiado previamente y muchas más que estudiaremos más adelante.

10 116 La línea recta Formulario Unidad Dos Ec. Recta F. Punto-pendiente: La recta pasa por el punto P(x 1,y 1 ) con pendiente m : y y 1 = m (x x 1 ) Ec. Recta F. Dos puntos: La recta pasa por los puntos P(x 1,y 1 ) y Q(x 2,y 2 ): y2 y 1 y y 1 = (x x 1 ) x 2 x 1 Ec. Recta F. Pendiente-ordenada al origen: La recta tiene pendiente m y corta al eje y en el punto B(0,b): y = m x + b Ec. Recta F. Simétrica: Las intersecciones con los ejes son A(a, 0) y B(0,b): x a + y b = 1 Ec. Recta F. General: La ecuación de cualquier recta se puede escribir con: A x + B y + C = 0 donde A y B no son simultáneamente cero. Ec. Recta F. Normal: Útil para calcular la distancia de un punto a una recta: A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C A 2 + B 2 = 0 Distancia de un punto a una recta: La distancia del punto P(x 1,y 1 ) a la recta l : A x + B y + C = 0, es: D Pl = A x 1 + B y 1 + C A 2 + B Efraín Soto A. Matemáticas III

11 Tres La circunferencia Por aprender Caracterización geométrica 3.2. Ecuaciones ordinarias de la circunferencia Circunferencia con centro en el origen Circunferencia con centro fuera del origen 3.3. Ecuación general de la circunferencia Conversión de forma ordinaria a forma general Conversión de forma general a forma ordinaria 3.4. Circunferencia que pasa por tres puntos Condiciones analíticas y geométricas Obtención de la ecuación dados tres puntos 3.5. Circunferencia y otras secciones cónicas Por qué es importante... En la naturaleza, cuando lanzas una piedra en el agua, las ondas viajan en formas de circunferencias, además, las circunferencias tienen amplias aplicaciones: discos, bocinas, llantas, rodamientos (baleros), etc., por eso la circunferencia representa el modelo de muchas situaciones que estudiremos en semestres posteriores.

12 172 La circunferencia Formulario Unidad Tres Ec. Circunferencia F. ordinaria: Centro en el origen y radio r : x 2 + y 2 = r 2 Ec. Circunferencia F. ordinaria: Centro en el punto C (h,k ) y radio r : (x h) 2 + (y k ) 2 = r 2 Ec. Circunferencia: Forma general: x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 Si el centro de la circunferencia es el punto C (h,k ) y su radio es r se cumple: D = 2h E = 2k F = h 2 + k 2 r Efraín Soto A. Matemáticas III

13 Cuatro La parábola Por aprender Caracterización geométrica La parábola como lugar geométrico Elementos asociados con una parábola Formas de trazo a partir de la definición 4.2. Ecuaciones ordinarias de la parábola Parábolas horizontales y verticales con centro en el origen Parábolas horizontales y verticales con centro fuera del origen 4.3. Ecuación general de la parábola Conversión de forma ordinaria a forma general Conversión de forma general a forma ordinaria Por qué es importante... En la naturaleza encuentras parábolas cuando lanzas una piedra por el aire (su trayectoria es una parábola), también se aplican para la construcción de puentes, antenas de recepción de señales satelitales, generadores de energía solar por medio de la concentración de los rayos del sol, etc., por eso, muchos problemas prácticos se modelan con ecuaciones de parábolas.

14 4.3 Ecuación General de la Parábola 215 Formulario Unidad Cuatro Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el origen: x 2 = 4py Si p > 0 la parábola abre hacia arriba. Si p < 0 abre hacia abajo. Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el punto V (h,k ): (x h) 2 = 4p (y k ) Si p > 0 la parábola abre hacia arriba. Si p < 0 abre hacia abajo. Ec. Parábola horizontal F. ordinaria: Vértice en el origen : y 2 = 4px Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha. Si p < 0 abre hacia la izquierda. Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el punto V (h,k ): (y k ) 2 = 4p (x h) Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha. Si p < 0 abre hacia la izquierda. Otras fórmulas: Parábola con vértice en el punto V (h,k ): Parábola Vertical Horizontal Lado Recto 4 p 4 p Foco F (h,k + p) F (h + p,k ) Directriz y = k p x = h p Ec. General x 2 + D x + E y + F = 0 y 2 + D x + E y + F = 0 D 2 h 4p E 4p 2k F h 2 + 4pk k 2 + 4ph Matemáticas III Efraín Soto A.

15 Cinco La elipse Por aprender Caracterización geométrica La elipse como lugar geométrico Elementos asociados con una elipse 5.2. Ecuaciones ordinarias de la Elipse Elipses horizontales y verticales con centro en el origen Elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen 5.3. Ecuación general de la elipse Conversión de forma ordinaria a forma general Conversión de forma general a forma ordinaria Por qué es importante... En la naturaleza encuentras Elipses en las trayectorias que siguen los planetas alrededor del Sol.

16 5.3 Ecuación general de la elipse 253 Formulario Unidad Cinco Ec. Elipse F. ordinaria: Horizontal con centro en el origen: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Ec. Elipse F. ordinaria: Vertical con centro en el origen: x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 Ec. Elipse F. ordinaria: Horizontal con centro en el punto C (h,k ): (x h) 2 (y k )2 + = 1 a 2 b 2 Ec. Elipse F. ordinaria: Vertical con centro en el punto C (h,k ): (x h) 2 (y k )2 + = 1 b 2 a 2 Otras fórmulas: Elipse con centro en el punto C (h,k ): Longitud del eje mayor: 2 a. Longitud del eje menor: 2b. Distancia entre los focos: 2 c. Relación entre a,b y c : a 2 = b 2 + c 2. Excentricidad: e = c/a < 1 Elipse Vertical Horizontal Lado Recto 2b 2 /a 2b 2 /a Focos F (h,k ± c) F (h ± c,k ) Vértices V (h,k ± a ) F (h ± a,k ) Ec. General A x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 A a 2 b 2 B b 2 a 2 D 2a 2 h 2b 2 h E 2b 2 k 2a 2 k F a 2 h 2 + b 2 k 2 a 2 b 2 b 2 h 2 + a 2 k 2 a 2 b Matemáticas III Efraín Soto A.

17 Seis La hipérbola Por aprender Caracterización geométrica La hipérbola como lugar geométrico Elementos asociados con una hipérbola 6.2. Ecuaciones ordinarias de la hipérbola Hipérbolas horizontales y verticales con centro en el origen Hipérbolas horizontales y verticales con centro fuera del origen 6.3. Ecuación general de la hipérbola Conversión de forma ordinaria a forma general Conversión de forma general a forma ordinaria En la naturaleza encuentras Hipérbolas en Por qué es importante...

18 298 La hipérbola Formulario Unidad Seis Ec. Hipérbola F. ordinaria: Horizontal con centro en el origen: x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 Ec. Hipérbola F. ordinaria: Vertical con centro en el origen: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Ec. Hipérbola F. ordinaria: Horizontal con centro en el punto C (h,k ): (x h) 2 (y k )2 = 1 a 2 b 2 Ec. Hipérbola F. ordinaria: Vertical con centro en el punto C (h,k ): (x h)2 (y k )2 + = 1 a 2 b 2 Otras fórmulas: Hipérbola con centro en el punto C (h,k ): Longitud del eje transverso: 2 a. Longitud del eje conjugado: 2b. Distancia entre los focos: 2 c. Relación entre a,b y c : a 2 = c 2 b 2. Excentricidad: e = c/a > 1. Hipérbola Vertical Horizontal Lado Recto 2b 2 /a 2b 2 /a Focos F (h,k ± c) F (h ± c,k ) Vértices V (h,k ± a ) F (h ± a,k ) Ec. General Ax 2 + By 2 + D x + E y + F = 0 A b 2 b 2 B a 2 a 2 D 2b 2 h 2b 2 h E 2a 2 k 2a 2 k F b 2 h 2 a 2 k 2 a 2 b 2 b 2 h 2 + a 2 k 2 a 2 b Efraín Soto A. Matemáticas III

19 Bibliografía [1] Briggs, George R. The Elements of Plane Analytic Geometry. New York, U.S.A. Robert Drumond & Company [2] Freund, John E. College Mathematics with Business Applications. Ed. Prentice Hall, Inc EE.UU. [3] Fuller, Gordon. Analytic Geometry Ed. Addison Wesley Publishing Co EE.UU. [4] Larson, Roland E.; Hostetler, Robert P. Intermediate Algebra. Ed. D.I. Heath and Company EE.UU. [5] Longley W. R., Smith P. F., Wallace A. W. Geometría Analítica y cálculo infinitesimal. Ed. Reverté. México, [6] Smith, P. F.; Sullivan Gale, M. The Elements of Analytic Geometry Ed. Ginn and Company EEE.UU. [7] Soto Apolinar, Efraín. Enseñanza Efectiva de las Matemáticas. (visitado el 26 de julio de 2009) 1ra Edición [Versión electrónica] México. [8] Yefimov, N. A brief course in analytic geometry. Peace publishers. Moscow, Russia. Matemáticas III Efraín Soto A.

20 Indice alfabético Ecuación Hipérbola Forma ordinaria, 14 Hipérbola Definición, 13 Efraín Soto A. Matemáticas III

21 CRÉDITOS Autor: Efraín Soto Apolinar. Modelo educativo: Efraín Soto Apolinar. Diseño de portada: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Revisión técnica: Pendiente Año de edición: 2008 Año de publicación: Pendiente Última revisión: 26 de julio de 2009 Total de ejemplos: 153 Créditos Software Utilizado: En la edición y composición tipográfica de este material se han utilizado los siguientes programas: 1 L A TEX 2ɛ Tipografía del texto y ecuaciones. 2 TikZ Diseño de encabezados y diagramas. 3 TEXnicCenter Edición del código L A TEX 2ɛ. Apreciado lector, agradezco tus sugerencias y comentarios a la cuenta de correo electrónico: efra.soto.a@gmail.com