Lugares geométricos y cónicas

Transcripción

1 Lugares geométricos y cónicas E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Lugar geométrico página 6.. Definición página 6. Circunferencia página 6.. Ecuación página 6.. Casos particulares página 67. Elipse página 68.. Definición página 68.. Ecuación página 68.. Definición página 7. Hipérbola página 7.. Casos particulares página 69.. Ecentricidad de la elipse página 7.. Ecuación página 7.. Casos particulares página 7.. Ecentricidad de la hipérbola página 7.. Asíntotas de la hipérbola página 7.6. Hipérbola equilátera página 76. Parábola página 78.. Definición página 78.. Ecuación página 78.. Casos particulares página Lugares geométricos y cónicas 9

2 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO Cuestiones previas (página 6). Determina la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos: a) P(, ) y Q(, ) b) P(0, 0) y Q(, ) c) P(, ) y Q(, ) a) d(p, Q) ( ) ( ) b) d(p, Q) ( ) 0 ( 0) c) d(p, Q) ( ) ( ). Calcula la distancia entre el punto (, ) y cada una de las siguientes rectas: a) y 0 0 b) y 0 c) y () 0 6 a) d(p, r) () b) d(p, r) 0, P pertenece a la recta. ) ( c) d(p, r) 6. En qué putno cortará su mediatriz al segmento que une los puntos P(, ) y Q(6, 0)? En el punto medio del segmento: M 6, 0 (, ) Actividades (páginas 6/79) Halla la mediatriz del segmento cuyos etremos son los puntos A(, ) y B(, ). ( ) (y ) ( ) (y ) 8 0y 0 Calcula la bisectriz del ángulo formado por las rectas r: y 0 0 y s: y 0. y 0 y ( ) ( y 0) ( y ) Las ecuaciones de las bisectrices son: 8y 0 0 y 8 y 0 Determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen es el triple que la distancia a la recta 6 y 0. 6 y y ( 6 ) 87 8y 7y 08y 0 Dada la recta de ecuación r: 7 y 0 y el punto P(, ), determina las coordenadas de un punto Q sabiendo que la recta r es la mediatriz del segmento PQ. El segmento PQ, debe ser perpendicular a la recta r, por tanto PQ k(7, ). Además, d(p, r) d(q, r). Sean (a, b) las coordenadas del punto Q, Q(a, b) (a, b ) k(7, ) a 7k b k 7() d(p, r) 7 ) ( d(q, r) 7 a b 7a b ( 7 ) Así, 7a b Resolviendo el sistema: a 7k b k 7a b Se obtiene: k ; a y b 90. Las coordenadas de Q son: Q, 90 Sabiendo que el punto de intersección de dos rectas r y s es P(9, ) y una de sus bisectrices es la recta de ecuación y 8 0, halla la ecuación de la otra bisectriz. La otra bisectriz será perpendicular a la conocida, por tanto su ecuación será de la forma y C 0, sustituyendo el punto P(9, ), tenemos: 9 () C 0 C 9, la ecuación pedida es y 9 0. Determina la ecuación que cumplen los puntos del plano cuya distancia a P(, ) es. ( ) (y ) 6 9 y 0y 6 y 6 0y 8 0 Calcula la ecuación de una circunferencia de centro C(, ) y radio 7. ( ) (y ) 9 y 0y 0 Calcula las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: y 8y 6 0. m a a a n b 8 b b p a b R 6 6 R R 6 C(, ) y R 6 Dada la circunferencia y 0 6y 7 0, calcula la ecuación de otra concéntrica con respecto a ella que: a) Tenga radio. b) Pase por el punto (, 7). a) m a 0 a a n b 6 b b p a b R p 9 0 R 6 La ecuación de la circunferencia es: y 0 6y 0 0 b) La ecuación será de la forma: y 0 6y p 0, imponemos que la circunferencia pase por el punto (, 7) y tenemos: 9 0 p 0 p 8 La ecuación de la circunferencia es: y 0 6y Geometría

3 0 Calcula las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuación y 0 y 0. En primer lugar se debe dividir toda la ecuación entre : Calcula el eje mayor, el eje menor, las coordenadas de los vértices y de los focos y la ecentricidad de la elipse de ecuación: y y m a a a n b b b 8 8 C, 8 y R 8 R R 8 Calcula la ecuación de una circunferencia cuyo centro esté sobre el eje de abscisas, y la de una circunferencia que tenga su centro sobre el eje de ordenadas. Si la circunferencia tiene su centro sobre el eje de abscisas las coordenadas de éste serán de la forma C(a, 0) y su ecuación: y a a R 0 Si la circunferencia tiene su centro sobre el eje de ordenadas las coordenadas de dicho centro serán de la forma C(0, b) y su ecuación: y by b R 0 Calcula la ecuación de una elipse centrada en el origen, de semieje mayor 0 y distancia focal. Sabemos que en una elipse se cumple: a b c 00 b 6 b 8 La ecuación de la elipse es: 00 6 Calcula la ecuación de una elipse de ecentricidad 0, y semidistancia focal. Dado que e a c 0, a a Como a b c b b La ecuación de la elipse es: Calcula la ecentricidad de cada una de las elipses cuyas ecuaciones son las siguientes: a) b) 8 y 9 c) 9 a) Como a b c 80 0 c c 60 e b) Como a b c 8 9 c c 9 9 e 8 c) Esta elipse tiene el eje mayor vertical, como a b c 9 c c e c Teniendo en cuenta que a b c y que e entonces, a 6 c c. Obtenemos: Eje mayor 0, eje menor 8, A(, 0), A (, 0), B(0, ), B (0, ), F(, 0) y F (, 0), e 0,6. Calcula la ecuación de una hipérbola centrada en el origen cuyo eje real es 0 cm y cuya distancia focal es cm. Como c a b 6 0 b b Determina la ecuación de una hipérbola de ecentricidad, y semidistancia focal 7. c Dado que e a ; c a b 9 b a b Calcula la ecentricidad de la hipérbola cuya ecuación es la siguiente: c a b c c 0 0 e 80 Calcula el eje real, el eje imaginario, las coordenadas de los vértices y de los focos, y la ecentricidad de la hipérbola de ecuación: 6 c Dado que c a b y que e,tenemos: a Eje real a 0, eje imaginario b 8, A(, 0), A (, 0), F, 0 y F, 0, e Calcula las asíntotas de la hipérbola de ecuación: 6 9 Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola son: y b, en nuestro caso b 7 y a 6, por tanto: a y 7 6 y 7 6 Dada la hipérbola cuyo semieje real es 0 y cuya distancia focal es 0, puedes decir si es o no equilátera? Todas las hipérbolas equiláteras tienen e, determinaremos la ecentricidad de la que dice el enunciado: e 0, podemos afirmar que esta hipérbola es 0 equilátera. Calcula el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta y del punto P(, 0). ( ) y y Lugares geométricos y cónicas 9

4 Calcula la ecuación de una parábola de foco F(, ) y directriz el eje de abscisas. Observa que esta parábola tiene a) La ecuación de otra circunferencia concéntrica a ella de 8 Dada la circunferencia y 0y 0 0, halla: el eje paralelo al eje de ordenadas, es decir, es una parábola vertical. radio 8. b) La ecuación de otra circunferencia concéntrica a ella que ( ) (y ) y y 6 0 pase por el punto (, ). a) y 0y 0 Calcula el parámetro p de una parábola de ecuación b) y 0y 0 0 y p con foco en el punto (, 0). 9 Calcula la ecuación de una circunferencia que pasa por los p puntos A(0, ), B(, ) y C(, ). Se deberá resolver el sistema: Ejercicios y problemas (páginas 80/8) m n p 0 m n p 0 9 m n p 0 Lugares geométricos Se obtiene: m, n, p Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos La ecuación de la circunferencia buscada es: del plano que equidistan de A(, ) y B(7, ). y y 0 Es una mediatriz de ecuación: y 0 0 Determina la ecuación de una circunferencia de centro Calcula la ecuación del lugar geométrico de los puntos del C(, ) y que es tangente a la recta y 0 0. plano cuya distancia al eje de abscisas sea el doble que su El radio de la circunferencia será la distancia desde el centro distancia al punto (, ). hasta la recta tangente: y () (y) y 88y80 Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a la recta y sea el cuadrado de la distancia a la recta y 0. y y y y 0 y y y yy70 Calcula el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas y 0 y 6 8y 0. Son las bisectrices de ecuaciones: 6y 7 0, 0 Determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los ejes de coordenadas es igual a 6. y 6 Circunferencia 6 Calcula la ecuación de una circunferencia: a) De centro el punto C(, 0) y radio. b) De centro el punto C(, ) y radio. c) De centro el punto C(, ) y radio. d) De centro el punto C(0, 0) y radio. a) y 8 0 c) y 8 8y 6 0 b) y y 0 0 d) y 0 7 Halla las coordenadas del centro y el radio de las siguientes circunferencias: a) y b) y 6 y 0 0 c) y 0y 0 d) y 8 y 0 a) C (9, 0) y r 0 b) C (, ) y r c) Esta ecuación no corresponde a una circunferencia, ya que no hay ningún punto que cumpla sus condiciones. d) C, y r 9 En consecuencia, la ecuación de la circunferencia será: ( ) (y ) y y 0 Sean la circunferencia y y una recta secante, 7 y 0. Calcula la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por la circunferencia y la recta. En primer lugar, se deberán calcular los puntos de intersección de la circunferencia y la recta secante, resolviendo el siguiente sistema: y 7 y 0 Se obtienen los puntos (, ) y (, ). La ecuación es: () 0 r () ( ) (y ) ( ) (y ) Elevando al cuadrado, y agrupando, nos queda: 7y 0 Halla la ecuación de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene radio y su centro está situado en la bisectriz del segundo cuadrante. Si el centro se encuentra en la bisectriz del segundo cuadrante, las coordenadas de este serán de la forma (a, a); como pasa por el origen de coordenadas: (a) a 6 a 6 a Las coordenadas del centro serán (,). La ecuación de la circunferencia es: y y 0 Calcula la ecuación de una circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en la bisectriz del primer cuadrante y cuyo diámetro es. Las tres condiciones nos permiten escribir: pasa por el origen p 0 centro en la bisectriz a b radio a b () 0 a b Como el centro está en el primer cuadrante, sus coordenadas son (, ), y la ecuación de la circunferencia: y y 0 9 Geometría

5 Halla la ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos A(, ) y B(, ) y tiene su centro sobre la recta de ecuación y 0. Se deberá resolver el sistema: 8 Halla la ecuación de una circunferencia de centro C(, ) tangente a la recta y 6 0. La distancia entre el centro de la circunferencia y la recta será el radio de aquella: ( a) ( b) r ( a) ( b) r r 6 ( ) a b La ecuación de la circunferencia pedida es: Se obtiene: a b ( ) (y ) y 6y Dada la circunferencia y 6, calcula la ecuación de r la recta tangente a ella paralela a y Si la recta ha de ser paralela a y 0, deberá tener una ecuación de la forma: Para la circunferencia, se obtiene: 0 0y y C y 6 0 Además, esta recta deberá distar del centro de la circunferencia una longitud igual al radio: 6 7 Calcula la longitud de la cuerda común a las circunferencias y 0 y y 0 0. Los puntos de corte de las dos circunferencias se obtienen resolviendo el sistema: y 0 y 0 0 Se obtiene (, ) y (, ). La longitud de la cuerda es: ( ) [()] 6 Los etremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(, ) y A (0, 9). Calcula la ecuación de esa circunferencia. El centro de la circunferencia es el punto C(, 7), y el radio, la distancia de este a uno cualquiera de los etremos del diámetro: r ( ) (7 ) 9 ( ) (y 7) y 6 y 0 Dada la circunferencia y, determina las ecuaciones de las rectas tangentes a esta que pasan por: a) El punto P(, ). b) El punto Q(0, 6). a) El sistema y deberá tener una solución. y m( ) [m( ) ] ( m ) ( 6m 8m) 9m m 9 0 Imponemos que el discriminante de la ecuación de segundo grado anterior sea 0. 6m 96m 6 0 m La ecuación de la recta tangente es: y ( ) y = 0 b) El punto Q no pertenece a la circunferencia. El sistema y deberá tener una única solución. y 6 m Sustituyendo la segunda ecuación en la primera: (m ) m 0 m Las dos rectas tangentes son: y 6 y C C Eisten dos rectas tangentes a la circunferencia: r : y 0 y r : y 0 0 Halla las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia y 6y 0 que sean: a) Paralelas a la recta y 0 0. b) Perpendiculares a la recta y 0 0. a) La circunferencia tiene de centro el punto C (, ), y de radio,. La nueva recta debe ser paralela a y 0 0, y deberá distar del centro. ( ) C 6 C ( ) C y C Eisten dos rectas paralelas a y 0 0 tangentes a la circunferencia: y 0 y y 0 b) La nueva recta debe ser perpendicular a y 0 0, y debe distar del centro una unidad; es por tanto de la forma: y C 0 () C 8 9 C C 6 y C Eisten dos rectas perpendiculares a y 0 0 y tangentes a la circunferencia: y 6 0 y y 0 Elipse Calcula las ecuaciones de las elipses de las que se conoce: a) b y c b) c 9 y e 0, c) c 0 y a 0 d) b y pasa por P(, ). a) 6 y b) 0 9 c) y d) Lugares geométricos y cónicas 9

6 Determina los ejes, focos, vértices y ecentricidad de las elipses: a) y b) 6y 6 a) y 6 a 6, b Los vértices son: A6, 0, A 6, 0, B0,, B 0, c a b 6, c Los focos son: F(, 0) y F (, 0) El eje mayor es: a 6 El eje menor es: b c La ecentricidad es: e 6 a 6 b) 6y La elipse deberá escribirse de la forma siguiente: y a y b Los vértices son: A(, 0), A (, 0), B0,, B 0, c a b c Los focos son: F, 0 y F, 0 El eje mayor es: a El eje menor es: b c La ecentricidad: e a Calcula la ecuación de una elipse centrada en el origen que pasa por los puntos A(, ) y B(0, ). Imponemos que la elipse pase por estos puntos: A(, ) y B(0, ). a b b, a 6 6 b Por consiguiente, la ecuación de la elipse será: 6 / 6 Comprueba si el punto P, pertenece a la elipse. 0 El punto pertenece a la elipse, ya que sustituyendo el punto en la ecuación de la misma: 0 Dada la elipse, calcula las coordenadas de 0 un punto de dicha elipse cuya ordenada es el triple que la abscisa. Imponiendo y, se obtiene: Los puntos que cumplen la condición pedida son: P, 7 y P 7, Calcula la ecuación de una elipse cuyos focos son F(, ) y F (, ), sabiendo, además, que a. ( ) (y ) ( ) (y ) 0 ( ) (y ) 0 ( ) (y ) Elevando al cuadrado se obtiene: ( ) (y ) 900 ( ) (y ) 60 ( ) (y ) 8y ( ) (y ) Elevando de nuevo al cuadrado y agrupando: 00 6y 600 6y Determina las ecuaciones de las tangentes a la elipse de ecuación y en el punto P(0, 6). 6 El punto no pertenece a la elipse. 8 9 El sistema 6 y deberá tener una única solución. y 6 m (6 m) m 6 Las ecuaciones de las rectas tangentes son: y 6, y = 6 Calcula la ecuación de las rectas tangente y normal a la elipse y 0 en el punto de abscisa y ordenada negativa. Se calcula, en primer lugar, la recta tangente. El punto de tangencia cuya abscisa vale es: y 0 y. Al imponerse que la ordenada sea negativa, tenemos para el punto de tangencia las coordenadas (, ). El sistema y 0 [m( ) ] 0 y m( ) [ m ] (m 8m) m 8m 0 Imponemos que el discriminante se anule: m m 0 m La ecuación de la recta tangente es de la forma: (y ) () y 0 La ecuación de la recta normal tiene la forma: y C 0. Como sabemos que pasa por (, ), se tiene C 0 C. La ecuación de la recta normal es la siguiente: y 0 Calcula la ecuación de la recta tangente a la elipse, cuya ecuación es y, por el punto P(6, 0). 8 9 El punto P(6, 0) no pertenece a la elipse. La recta tangente a la elipse por el punto P(6, 0) será de la forma: y m( 6), y únicamente deberá tener con ésta un punto en común. Planteamos el sistema: y [m( 6)] 8 9 sustituyendo: y m( 6) 8 9 se obtiene: ( m ) m 7m 8 0 Para que el discriminante sea 0, m /. Las dos rectas tangentes son: y ( 6), y ( 6) 96 Geometría

7 Hipérbola 0 Halla los ejes, focos, vértices y ecentricidad de las siguientes hipérbolas: a) 9 b) y 8 c) y a) Ejes: a a a 0 b 9 b b 6 Focos: c a b 9 c Focos: F(, 0) y F (, 0) Vértices: A(, 0), A (, 0) Ecentricidad: e b) Ejes: a 8 a 8 a 6 Ejes: b 6 b 6 b 6 Focos: c a b 8 6 c Focos: F(,0) y F (,0) Vértices: A(, 0), A (, 0) Ecentricidad: e c) Ejes: a a a 0 b b b 0 Focos: c a b 0 Focos: c0 F(,0)yF (,0). Vértices: A(, 0), A (, 0) Ecentricidad: e 0 La ecentricidad es, ya que la hipérbola es equilátera. La hipérbola pasa por,. Halla su b ecuación. Sustituimos el punto, en la ecuación de la hipérbola para obtener el valor de b: b 0b 00 b La ecuación de la hipérbola es: y Halla la ecuación de una hipérbola equilátera cuya distancia focal dé 8. Calcula sus ejes, focos, vértices y ecentricidad. a b dado que a b a a 6 La ecuación de la hipérbola es: 6 6 Ejes: a 6 a a 8 b 6 b b 8 Focos: c a b 6 6 c Focos: F(, 0) yf, 0 Vértices: A(, 0) y A (, 0) c Ecentricidad: e a Determina el ángulo que forman las asíntotas de la hipérbola de ecuación 7y 77. a 7 a 7 b b Las ecuaciones de las asíntotas son: y 7 7 El vector director de la primera asíntota es, 7 segunda,, 7. El ángulo que forman las rectas es: /7 cos 9 /7 /7 arc cos 9 77, y el de la El eje imaginario de una hipérbola mide 6 cm, y sus asíntotas son y e y. Calcula la ecuación de la hi- pérbola, sus ejes, focos, vértices y ecentricidad. b a 8 a 0 a La ecuación de la hipérbola es: 00 6 Ejes: a 0, b 6 Focos: c a b 6 c 6 F (, 0) y F (, 0) Vértices: A(0, 0), A (0, 0) c Ecentricidad: e a 0 Dada la hipérbola 0y, calcula las coordenadas de un punto del tercer cuadrante cuya abscisa sea el doble que la ordenada. Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a dicha hipérbola que pasan por este punto. Las coordenadas del punto cumplirán: y. Sustituyendo en la ecuación de la hipérbola: 6y 0y 6y y, y El punto del tercer cuadrante, siendo la abscisa el doble que la ordenada es, P(, ). El sistema: 0y y m( ) deberá tener solución única. 0[m( ) ] 0 [ 0m ] (80m 0m) (60m 60m 6) 0 La ecuación deberá tener discriminante cero. 600m 60m 0 0 m La ecuación de la recta tangente: y ( ) y 6 0 La recta normal tendrá de pendiente y,y su ecuación es: y ( ) y Lugares geométricos y cónicas 97

8 6 Si la ecuación de una hipérbola es y, cuáles son las Parábola ecuaciones de sus asíntotas? Y la ecuación de su eje focal? 9 Calcula la ecuación de las parábolas que tienen las siguientes características: Cuánto vale el eje real? Cuáles son las coordenadas de los focos? Y las coordenadas de los vértices? a) La directriz es la recta, y el foco, el punto F(, 0). Esta hipérbola es equilátera referida a sus asíntotas; por tanto, estas son: 0 e y 0. b) El vértice está en el origen de coordenadas, pasa por el punto (, ) y su eje es el de abscisas. El eje focal coincide con la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, y su ecuación es: y. c) El vértice está en el origen de coordenadas, pasa por el punto (, ) y su eje es el de ordenadas. La hipérbola referida a sus asíntotas tiene como ecuación y a, en nuestro caso, a d) El vértice está en el punto V(, ) y la directriz es la recta a, luego el eje real 0. vale. Teniendo en cuenta que deben tener la ordenada igual que la abscisa, las coordenadas de los vértices serán: a) Puesto que el foco está sobre el eje de abscisas, y el origen equidista del foco y de la directriz, se trata de una parábola de la forma: y p. El parámetro es 0, y la ecuación A(, ) y A (, ) de la parábola: y 0 b) La parábola será de la forma: y p Dado que la hipérbola es equilátera, c a ; las coordenadas del foco serán (, y), con y: Si pasa por (, ), entonces: p 8/ c Las coordenadas de los focos son, F, y F,. La ecuación de la parábola es: y 6/ c) La parábola será de la forma: py 7 Dada la ecuación de la hipérbola: 6y calcula n para que y n sea una de sus tangentes. El sistema: 6y y n deberá tener solución única. 6(n) 6n ( 6n )0 El discriminante de esta ecuación deberá ser 0: 96n ( 6n ) 0 n 8 Determina la ecuación de la recta tangente a la hipérbola de ecuación y en el punto P(6, 0). El punto P(6, 0) no pertenece a la hipérbola. La recta tangente a la hipérbola por P(6, 0) será de la forma: y m( 6), y únicamente deberá tener con ésta un punto en común. Planteamos el sistema: y y m( 6) Sustituyendo: [m( 6)] Se obtiene: ( m ) m 7m 0 Imponiendo que el discriminante sea 0, se obtiene: 6m 6 En conclusión, observamos que no es posible trazar una recta tangente a la hipérbola por el punto P(6, 0). Y O P X 0 Si pasa por (, ), entonces: p /8 La ecuación de la parábola es: y/ d) La ecuación será de la forma: (y y 0 ) p( 0 ) (y ) p( ) Como la distancia del vértice a la directriz es p/ p 0, obtenemos: (y ) 0 ( ) Halla la ecuación de una parábola cuyo foco es el punto (, ) y su directriz, la recta y. y ( ) (y ) ( ) y 0 0y y 0 0 Calcula la ecuación de la tangente a la parábola y 6 en el punto de coordenadas P(6, 6). El sistema y 6 deberá tener una única solución y 6 m( 6) y y 6 6m 6 my 6y 6( m) 0 m Para que el discriminante sea 0, m.luego,la ecuación de la recta tangente es: y 6 ( 6) y 6 0 Calcula la ecuación de la tangente a la parábola y 00 en el punto P(, 0). El punto (, 0) no pertenece a la parábola. La recta y m( ) que pasa por el punto (, 0) solo deberá tener un punto en común con la parábola. y 0 0 [m( )] 0 0 y m( ) m (m 0) (m 0) 0 El discriminante deberá ser cero: 80m 00 0 m Las ecuaciones de las tangentes son: y ( ), y ( ) 98 Geometría

9 Ejercicios de aplicación Determina la posición relativa de la elipse de ecuación y y la recta y 0. Resolviendo el sistema: y y 0 se obtiene: ( y) y y y 0 y, y La recta y la elipse son secantes; los puntos de corte son: P (, ) y P, Halla la posición relativa de la elipse 9y 6 y la circunferencia y. Resolviendo el sistema: 9y 6 y ( y ) 9y 6 00 y 9y 6 y 6 La circunferencia y la elipse no se cortan. Es conveniente refleionar sobre el hecho de que comparando el eje mayor de la elipse y el radio de la circunferencia se puede llegar a la conclusión de que la elipse es interior a la circunferencia. Calcula la posición relativa de la circunferencia de ecuación y y la recta + y 9 0. Se plantea el sistema: y y 9 0 y se observa que no tiene solución, luego la recta y la circunferencia son eteriores. 6 7 Halla la posición relativa de la recta y 0 y la elipse y. 6 Se plantea el sistema: y 6 y 0 Se obtiene la ecuación: y y0 que tiene una única solución: y luego la recta y la elipse son tangentes en el punto P(, ). Dadas las siguientes ecuaciones, identifica de qué cónica se trata e indica sus elementos característicos: a) y 0 6y 0 0 b) y 0 6y 0 c) ( ) (y ) d) (y 7) 0 e) y 0 8 f) (y ) 6( ) a) Circunferencia de centro C(, ) y radio. b) No es una circunferencia. c) Elipse centrada en el punto (, ) con el eje mayor vertical y el menor. d) Hipérbola centrada en el punto (0, 7) con distancia focal igual a 0 y la distancia entre los vértices. e) Hipérbola centrada en el origen con distancia focal igual a 0 y la distancia entre los vértices f) Parábola con vértice en el punto (, ) de parámetro. 7. Lugares geométricos y cónicas 99

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