La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Transcripción

1 La Parábola La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Características geométricas. a) Vértice. Es el punto donde la parábola corta a su eje focal. b) Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz. c) Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parábola. d) La directriz es una línea paralela al lado recto, a una distancia al vértice igual a la que hay del foco al vértice. e) Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz. f) Parámetro p. Distancia del foco al vértice Parábola con vértice en el origen. Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y = ax 2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola abre hacia arriba y cuando es negativo abre hacia abajo. Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio. Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0, p). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (0, p). A la distancia entre el vértice y el foco se le 1

2 llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene: En resumen, si la parábola abre hacia el foco por lo que si el foco tiene coordenadas negativas; o bien, abre abajo o a la izquierda, sin embargo si el foco es positivo puede abrir hacia arriba o hacia la derecha. Ejemplo. Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y contiene al punto B(3,4), además su eje focal es paralelo al eje X. Solución, y 2 = 4px sustituimos las coordenadas de B 16 = 4p(3) despejamos el foco p = = 4 3 y 2 = 16 3 x Foco: F( 4 3, 0) Directriz: x = 4 3 Parábola con traslado del eje Una Parábola con Vértice V(h, k) fuera del origen, eje de simetría paralelo al de coordenadas y, con un foco a una distancia p del vértice, como la siguiente gráfica, Elevando al cuadrado ambos miembros: (x h) 2 + [y (k + p)] 2 = [y + (p k)] 2 Al factorizar tenemos, 2

3 (x h) 2 + y 2 2(k + p)y + (k + p) 2 = y 2 + 2(p k)y + (p k) 2 Así, (x h) 2 2ky 2py + k 2 + 2kp + p 2 = 2py 2ky + p 2 2kp + x 2 (x h) 2 = 4py 4kp (x h) 2 = 4p(y k) Esta última es la ecuación general de una parábola de vértice V(h, k), que abre hacia arriba, con un foco a una distancia p del vértice Se podría demostrar que si la pendiente es negativa, la gráfica abre hacia abajo y la ecuación general sería, (x h) 2 = 4p(y k) De manera similar podríamos encontrar las ecuaciones de la parábola que abren a la derecha o a la izquierda del eje que tienen la siguiente ecuación (y k) 2 = 4p(x h) abre a la derecha (y k) 2 = 4p(x h) abre a la izquierda Regresamos a la ecuación (x h) 2 = 4p(y k), desarrollamos el binomio, y al simplificar nos queda, x 2 2xh + h 2 = 4py 4kp o bien x 2 2xh + h 2 4py + 4kp = 0 Finalmente si sustituimos por D = 2h, E = 4p y F = 4kp + h2, obtenemos; x 2 + Dx + Ey + F = 0 De acuerdo a la forma de la parábola tenemos en resumen, Forma de la parábola Ecuación Foco Vértice Directriz Abre hacia arriba (x h) 2 = 4p(y k) F (h, k + p) V (h, k) y = p k Abre hacia abajo (x h) 2 = 4p(y k) F (h, k p) V (h, k) y = p + k Abre a la derecha (y k) 2 = 4p(x h) F (h + p, k) V (h, k) x = h p Abre a la izquierda (y k) 2 = 4p(x h) F (h p, k) V (h, k) x = h + p Ecuación de la circunferencia Sea (a, b) un punto en el plano, se llama circunferencia de radio r con centro en (a, b) al lugar geométrico de los puntos (x, y) del plano cuya distancia al centro es r. 3

4 Su ecuación es de la forma r = (x a) 2 + (y b) 2 O bien, r 2 = (x a) 2 + (y b) 2 Si desarrollamos los binomios tendremos x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0 y hacemos las siguientes sustituciones Se puede reescribir la ecuación como, A = 2a; B = 2b; y C = a 2 + b 2 r 2 x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Donde el centro es: C( A 2, B 2 ) y el radio cumple con la relación, r2 = ( A B )2 ( B 2 )2 C y Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a: x 2 + y 2 = r 2 Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2. (x 3) 2 + (y 4) 2 = 4 x 2 6x y 2 8y + 16 = 4 x 2 + y 2 6x 8y + 21 = 0 Dada la circunferencia de ecuación x 2 + y 2-2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio. 2 = 2a a = 1 C(1, 2 ) 4 = 2b b = 2 4 = r 2 r = 3 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3). Si sustituimos x e y en la ecuación x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema: A C = A + 3B + C = A + 3B + C = 0 C = 4 2A 3B = A 9 4 2A = 0 C = 2 B = 3 A = 3 La ecuación de la circunferencia es entonces x 2 + y 2 3x 3y + 2 = 0 De esta manera, para que una expresión del tipo: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 sea una circunferencia debe cumplir que: 4

5 1. Los coeficientes de x 2 e y 2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación. 2. No tenga término en xy. 3. ( A 2 )2 + ( B 2 )2 C > 0 Ejemplo, Indicar si la ecuación: 4x 2 + 4y 2-4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio. 1. Como los coeficientes de x 2 e y 2 son distintos a la unidad, dividimos por 4: 2. Cumple, no tiene termino en xy 3. ( 1 2 )2 + ( 2 2 )2 ( 11 3 ) > 0 x 2 + y 2 x 2y 11 4 = 0 Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones. El centro y el foco son, 1 = 2a a = 1 2 C ( 1 2, 1 ) 2 = 2b b = = r2 r = 2 Ecuación de la elipse Se denomina elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano en los que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante. Tiene la forma de un círculo achatado con dos ejes perpendiculares achatados Las elipses geométricamente se caracterizan porque; la suma de las distancias de cada punto P(x, y) hasta dos puntos denominados focos (F y F ) es siempre la misma. Características geométricas de una elipse. Si observamos la figura anterior podemos distinguir los siguientes elementos dentro 5

6 Focos. Puntos (F y F ) cuya suma de sus distancias a cada uno de los puntos P(x, y) de la elipse es siempre la misma. Distancia Focal. Se trata de la distancia entre los dos focos, o lo que es lo mismo la longitud del segmento FF. Eje focal. Recta que pasa por los dos focos F y F de la elipse. Vértices. Puntos de corte de la elipse con el eje focal V y V. Eje mayor. Segmento que une V y V' y cuya longitud es 2a. Se denomina semieje mayor a los segmentos OV o OV' cuya longitud es a. Eje menor. Segmento que une B y B' y cuya longitud es 2b. Se denomina semieje menor a los segmentos OB o OB' cuya longitud es b. Formas de la Elipse La ecuación de la elipse se puede representar de cuatro formas distintas dependiendo de: Si se encuentra centrada en el origen del sistema de coordenadas, también conocida como ecuación reducida, o si se haya centrada en otro punto distinto. Y si su semieje mayor está en las abscisas o en las ordenadas. A continuación vamos a determinar cada una de ellas. Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor en las abscisas Con el fin de determinar la ecuación de la elipse, es posible considerar un sistema de referencia en el que el eje de abscisas sea el eje focal y el eje de ordenadas sea el eje secundario. A la ecuación de este tipo de elipses centradas en el origen de coordenadas se les denomina ecuación reducida de la elipse. La figura muestra una elipse centrada en el origen con semieje mayor horizontal en la que se representa el valor de sus puntos principales expresados en función de la semidistancia focal c y la longitud de los semiejes mayor y menor (a y b). Comprueba como en este tipo de elipses el eje focal se sitúa sobre el eje de las x s y el secundario sobre el eje de la y s. Así, partimos de la definición de elipse, la longitud de las distancias a un punto P(x, y) es igual, 2a. (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 = (2a (x c) 2 + y 2 ) 2 6

7 (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 x 2 + 2cx + c 2 = 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 + x 2 2cx + c 2 4cx 4a 2 = 4a (x c) 2 + y 2 4cx + 4a 2 = 4a (x c) 2 + y 2 a 2 cx a = (x c) 2 + y 2 (a c a x) 2 = (x c) 2 + y 2 a 2 2a( c a )x + c2 a 2 x 2 = x 2 2cx + c 2 + y 2 a 2 c 2 = x 2 c2 a 2 x 2 + y 2 a 2 c 2 = a2 x 2 c 2 x 2 a 2 + y 2 a 2 c 2 = x2 (a 2 c 2 ) a 2 + y 2 1 = x2 (a 2 c 2 ) a 2 (a 2 c 2 ) + 1 = x2 a 2 + y2 a 2 c 2 si a2 = b 2 + c 2 y2 a 2 c 2 (x + c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 La ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor en las abscisas tiene la forma: x 2 Donde: a es la longitud de su semieje mayor. b es la longitud de su semieje menor. a 2 + y2 b 2 = 1 Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor en las ordenadas La figura muestra una elipse centrada en el origen con semieje mayor vertical en la que se representa el valor de sus puntos principales expresados en función de la semidistancia focal (c) y la longitud de los semiejes mayor y menor (a y b). Observa que en este caso el eje focal se sitúa sobre el eje OY y el secundario sobre el eje OX La ecuación reducida de una elipse cuyo semieje mayor se encuentra situado de forma vertical tiene la forma: Donde: a es la longitud de su semieje mayor. b es la longitud de su semieje menor. x 2 b 2 + y2 a 2 = 1 7

8 Ecuación de la elipse no centrada en el origen con semieje mayor horizontal La figura muestra una elipse no centrada en el origen con el valor de sus puntos principales expresados en función de la semidistancia focal (c) y la longitud de los semiejes mayor y menor (a y b). (x h) 2 + a 2 (y k)2 b 2 = 1 Donde: a es la longitud de su semieje mayor. b es la longitud de su semieje menor. (h, k) son las coordenadas del centro de la elipse. Los vértices son V(h a, k) y V(h + a, k) los focos F(h c, k) y F(h + c, k) Cuando la elipse no centrada en el origen con eje mayor paralelo a las ordenadas, tiene la forma, y su ecuación es, Donde: (x h) 2 + b 2 (y k)2 a 2 = 1 a es la longitud de su semieje mayor. b es la longitud de su semieje menor. (x 0, y 0 ) son las coordenadas del centro de la elipse. Los vértices son V(h, k + a) y V(h, k a) los focos F(h, k c) y F(h, k + c) Excentricidad de una elipse Existe una relación entre la semidistancia focal y el semieje mayor de cualquier elipse que nos permite determinar como de "achatada" es. Dicha relación recibe el nombre de excentricidad de una elipse. La excentricidad de una elipse se define como el cociente entre la distancia focal 2c y la longitud del eje mayor de dicha elipse 2a. 8

9 e = 2c 2a = c a En cualquier elipse la excentricidad es un valor que oscila entre 0 y 1; 0 e 1. De hecho, si e = 0, la elipse en realidad, se trataría de una circunferencia. A medida que tomamos valores de e más cercanos a 1 mayor será el grado de "achatamiento" o "aplastamiento" que experimentará la elipse, hasta el punto de que si e = 1 la elipse se trata en realidad de una recta. 9