CM2 ENRICH CREUS CARNICERO Nivel 2

Transcripción

1 CM ENRICH CREUS CARNICERO Nivel Unidad Anexo Superficies en 3D 01 Anexo de la Unidad : Superficies en 3D Anexo 1: valor absoluto o módulo El valor absoluto o módulo de un número a, que se anota a, es la distancia de dicho valor hasta 0, en la recta numérica. Las distancias son siempre positivas (o nulas), por lo que tenemos: a si a 0 a = a si a < 0 Dados el valor absoluto de un número a una cualquiera k, se cumple que: 1) Si a a = k a ) Si a < k k < a < k 3) Si a > k k > a ó a > k Ejemplos: 1. Si x = x = - x = ; que es igual a decir: x = ±. Si x 6 = x 6 = - x 6 = x = x 0 3. Si x < 5 5 < x < 5. Si x > 3 3 > x ó x < 3 5. Si x 1 < < x 1< 10 < x < 11 Un caso importante: el valor absoluto aparece en las inecuaciones, al despejar una potencia par. Veamos algunos ejemplos ilustrativos, en los que se desea despejar x. 1. x > 5 x > ± 5 modo incorrecto x > 5 x > 5 x > 5-5 < x ó x > 5 modo correcto. ( x ) < 16 x < ± 16 modo incorrecto ( x ) < 16 x < 16 x < Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 1

2 < x < < x < 6 modo correcto Anexo : estudio geométrico del elipsoide Retomando, para realizar un análisis completo de una superficie tridimensional cualquiera debemos considerar lo siguiente: (1) Determinación de intersecciones con planos coordenados () Determinación de intersecciones con planos paralelos a los planos coordenados (en la región cercana al centro o vértice) (3) Identificación del tipo de superficie de sus elementos (centro o vértice, eje, valor de las s, etc.) ( ) Analicemos, a modo de ejemplo, al elipsoide cua ecuación es: ( ) x 1 z (1) Intersecciones con los planos coordenados Corte con el plano x (Plano z) ( x ) 1 ( z ) Para hallar la intersección, debemos resolver el sistema. Para esto, sencillamente se reemplaza una ecuación en la otra. En este caso se obtiene: ( 1) 0 ( z ) 1 ( z ) ( z ) = 8 Para pasar a la ecuación canónica de esta curva, debemos dividir todo por 8/. Al hacerlo se obtiene: ( ) z 3 / 8 / Esta última ecuación, corresponde a una elipse de eje paralelo al eje, que está contenida en el plano z. Corte con el plano (Plano xz) ( x ) 1 ( z ) Al reemplazar, se obtiene: Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP

3 ( x ) 1 0 ( z ) ( x ) 1 ( z ) Esta es la ecuación de una elipse de eje paralelo al eje x, contenida en el plano xz. En otras palabras: la intersección es una elipse (se muestra en la siguiente figura). Vista de frente al plano xz Corte con el plano z : (Plano x) ( x ) 1 ( z ) Reemplazando, llegamos a: ( x ) (0 ) 1 = 3 Esta última expresión es un absurdo, dado que la suma de dos números positivos (en el miembro de la izquierda), nunca darán como resultado un número negativo. Esto significa que el plano x nunca corta al elipsoide. () Intersecciones con otros planos paralelos cercanos a los anteriores Con planos paralelos al plano z Estos planos, tienen ecuaciones del tipo: x ; k R. Entonces, debemos resolver el sistema: ( x ) 1 ( z ) ; k R Al reemplazar se obtiene: Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 3

4 ( k ) 1 ( z ) ( z ) ( k 1) Cuando la del miembro de la derecha es un número positivo, la última expresión representa a una elipse. Es decir, la intersección entre los planos la superficie es una elipse si: ( 1) 1 k > 0 Despejemos k: ( ) 1 k > 1 que es igual a: k 1 < 3 1 ( k ) 1 < 1 que es igual a: 3 < k 1 < 3 < k < ó ( k 1) < Este resultado obtenido se interpreta como sigue: Si - < k < entonces - < x < ( 1) entonces la 1 es positiva entonces la ecuación ( k 1) ( z ) corresponde a una elipse entonces la intersección entre el elipsoide los planos del tipo x (con - < k < ), corresponde siempre a elipses En resumen: cuando - < x < se obtienen elipses como intersección Si mirás la gráfica del elipsoide, podés ver que cuando x < - cuando x >, no ha intersección entre la superficie los planos. Pero: qué ocurre cuando x = - cuando x =? Si x = - la ( 1) 1 k es igual a 0 es decir que: ( z ) La única forma de que esta última expresión (compuesta por la suma de dos términos positivos) sea nula, es que sus dos términos sean nulos. Para esto, debe ocurrir que: ; z = -. Y como x = -, en este caso, la intersección es el punto (-;0;-). 1 Si no recordás cómo trabajar con el valor absoluto, volvé al Anexo 1. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP

5 Análogamente, si x = ( 1) 1 k ( z ) La intersección es, ahora, el punto (;0;-). En resumen: Los resultados obtenidos al cortar al elipsoide con planos paralelos al plano z son elipses - < x < puntos x = - x = intersección vacía x < - x > Con planos paralelos al plano (es decir, paralelos al plano xz) Estos planos, tienen ecuaciones del tipo: ; k R. Entonces, debemos resolver el sistema: ( x ) 1 ( z ) ; k R Al reemplazar se obtiene: ( x ) k 1 ( z ) ( z ) k Cuando la del miembro de la derecha es un número positivo, la última expresión representa a una elipse: 1 k > 0 Despejemos k: 1 k k > 0 que es igual a: < 1 k < que es igual a: < k < ó k < De modo análogo a lo analizado antes, esto significa que cuando - < <, se obtienen elipses como intersección. Audándote con la gráfica del elipsoide, podrás ver que si < - ó >, no ha intersección entre el mismo los planos. Por último, analicemos los casos en que = - = Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 5

6 Si = - 1 k ( x ) 1 ( z ) Esta última expresión vale 0 si sus dos términos valen 0. Es decir, si x z = -. La intersección es, entonces, el punto (1;-;-) Si = 1 k ( x ) 1 ( z ) La intersección es el punto (1;-;) en este caso. En resumen: Los resultados obtenidos al cortar al elipsoide con planos paralelos al plano z son: elipses - < < puntos = - = intersección vacía < - > Con planos paralelos al plano z (es decir, paralelos al plano x) Estos planos, tienen ecuaciones del tipo: z ; k R. Entonces, debemos resolver el sistema: ( x ) 1 ( z ) ; k R Al reemplazar se obtiene: ( x ) 1 ( k ) ( k ) La última expresión representa a una elipse si la del miembro de la derecha es un número positivo: 1 ( k ) > 0 Despejando: 1 ( k ) > 0 que es igual a: ( k ) < 1 k < 1 que es igual a: 1 < k < 1 3 < k < 1 Esto es: cuando -3 < z < -1, se obtienen elipses como intersección. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 6

7 Cuando z < -3 ó z > -1, no ha intersección entre el mismo los planos. Por último, analicemos los casos en que z = -3 z = -1 Si z = -3 1 ( k ) Esta última expresión vale 0 si sus dos términos valen 0. Es decir, si x. La intersección es, entonces, el punto (1;0;-3). Si z = -1 1 ( k ) La intersección es el punto (1;0;-1) en este caso. En resumen: Los resultados obtenidos al cortar al elipsoide con planos paralelos al plano z son: elipses -3 < z < -1 puntos z = -3 z = -1 intersección vacía z < -3 z > -1 (3) Los elementos del elipsoide son: C(1;0;-) a = 3 b = el eje principal es paralelo al eje x (pues a > b a > c) c Con toda esta información, a es posible graficar el elipsoide. El mismo se muestra a la derecha: Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 7

8 Anexo 3: hiperboloides Tomemos una hipérbola representada en un sistema de coordenadas, con su centro ubicado en el origen del sistema: qué ocurre si hacemos rotar esta curva alrededor de sus ejes de simetría? Rotación alrededor del eje Rotación alrededor del eje x La traza que va dejando la hipérbola en su movimiento, forma una superficie tridimensional. Como la hipérbola tiene dos ejes de simetría, pueden generarse entonces dos tipos diferentes de superficies. La rotación o revolución de la hipérbola alrededor del eje genera una superficie conexa, llamada hiperboloide de una hoja; mientras que la revolución alrededor del eje x (que corta dos veces a la hipérbola), da como resultado un hiperboloide de dos hojas, graficado abajo: Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas Una superficie conexa en 3D es toda superficie que divide al espacio en dos regiones disjuntas. Por ejemplo: una esfera, un hiperboloide de una hoja, etc. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 8

9 Anexo : Análisis del paraboloide elíptico Tomemos como ejemplo para este análisis, al paraboloide de ecuación: ( x 1) (1) Intersecciones con los planos coordenados = z Corte con el plano x (Plano z) = z Al resolver el sistema se obtiene: ( 0 1) = z = z = z Esta última ecuación, corresponde a una parábola de eje paralelo al eje z con ramas hacia arriba, contenida en el plano z. Corte con el plano (Plano xz) = z Al resolver: 0 = z ( x 1 ) ( x 1 ) = z = z La última ecuación también corresponde a una parábola de eje paralelo al eje z con ramas hacia arriba, ahora contenida en el plano xz. A continuación se muestra la intersección: Visto de frente Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP

10 Corte con el plano z (Plano x) = z Al sustituir el valor de z en la primera ecuación se obtiene: Hemos llegado a una suma de dos términos positivos. La única posibilidad de que dos números positivos sumen 0, es que ambos sean 0. Entonces, debe ocurrir que x (para que el primer término de la suma se anule) que (para que se anule el segundo término). Es decir, que hemos obtenido valores s para las tres variables: x ; ; z. Esto significa que la intersección entre el plano x la superficie es el punto (1;0;0), que coincide con el centro de la misma. () Intersecciones con planos paralelos a los planos coordenados Con planos paralelos al plano z Estos planos, tienen ecuaciones del tipo: x ; k R. Entonces, debemos resolver el sistema: = z ; k R Al reemplazar se obtiene: ( k 1) = z = z ( k 1) ( ) k 1 = z Esta última ecuación corresponde a una parábola de eje paralelo al eje z (con ramas hacia arriba siempre), independientemente del valor de la (a que al cambiar los valores de la sólo se modifica la posición del vértice de la misma). Con planos paralelos al plano xz Estos planos, tienen ecuaciones del tipo: ; k R. Entonces, debemos resolver el sistema: = z ; k R Ocurre algo similar a lo que ocurre en el caso anterior, a que al resolver el sistema se llega a: Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 10

11 k = z k = z = z k Nuevamente, la última ecuación corresponde a una parábola de eje paralelo al eje z (con ramas hacia arriba siempre), independientemente del valor de la. Con planos paralelos al plano x Estos planos, tienen ecuaciones del tipo: z ; k R. Entonces, debemos resolver el sistema: = z ; k R Al reemplazar se obtiene: Esta será la ecuación de una elipse cuando k sea posible. Cuando k es 0, como a vimos, la intersección es el punto (1;0;0). Por último, cuando k es negativo la expresión es un absurdo, es decir, no ha intersección. En resumen: al cortar al paraboloide con planos horizontales, las intersecciones resultan ser elipses si z > 0 un punto si z intersección vacía si z < 0 Entonces, la superficie corresponde a un paraboloide elíptico, cuos elementos son: - el eje de la superficie es paralelo al eje z - el vértice es el punto V(1;0;0) - las s son: a = 3 ; b = ; c (3) Los elementos del paraboloide elíptico son: Centro: C(1;0;0) Valores de las s: a = 3 ; b = ; c El eje principal es paralelo al eje z porque es la variable lineal. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 11

12 Anexo 5: cálculos correspondientes a la intersección entre el paraboloide hiperbólico tomado como ejemplo el plano x En la página, se da la intersección entre la superficie en estudio el plano x: x = 16 z z 1 Al resolver, se obtiene: x 0 = 16 1 x = 16 0 x 16 = x = 16 Para sacar los cuadrados, es posible aplicar raíces cuadradas a ambos lados de la igualdad porque ambos miembros son positivos: 16 x = Dado que el valor absoluto de un número a, que se escribe a, es igual a a escribir la expresión anterior como: 3 x =, podemos Y, retomando lo visto en el Anexo 1, esto último también es igual a la siguiente expresión, que quizás te resulte más conocida: ± 3 x = La misma representa al par de rectas: x = 3 3 x = Anexo 6: soluciones de los problemas propuestos Problema1 a) La gráfica del cilindro z = x (cua ecuación canónica es: x = (z )), es la siguiente: Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 1

13 Como podés ver, es un cilindro de sección parabólica, cuo eje es paralelo al eje b) Estudio del cilindro: (1) Intersecciones con los planos coordenados Corte con el plano x (Plano z) Al resolver el sistema se obtiene: z = x z = 0 z = Esta última expresión corresponde a una recta paralela al eje, contenida en el plano z. Corte con el plano (Plano xz) z = x En este caso, las intersección será la parábola de ecuación z = x, contenida en el plano xz. A continuación, se grafica la curva: Corte con el plano z (Plano x) z = x Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 13

14 Al resolver: 0 = x x = x = ± Esta última expresión corresponde a un par de rectas paralelas al eje, contenidas en el plano x. () Intersecciones con los planos paralelos a los planos coordenados Corte con planos paralelos al plano z Al resolver el sistema se obtiene: z = k z = x Para cualquier valor de k (es decir, para cualquier valor de x), esta última expresión corresponde a una recta paralela al eje, contenida en el plano z. Corte con planos paralelos al plano xz z = x En este caso, las intersecciones serán siempre parábolas, de ecuación z = x, contenidas en los distintos planos del tipo. Corte con planos paralelos al plano x z = x Al resolver: k = x x = k x = ± k son dos s reales cuando k Esto último indica que: cuando k < (z < ) la intersección es un par de rectas paralelas al eje, cada una de ellas de ecuaciones x = k x = k. cuando k = (z = ) la intersección es una recta paralela al eje, de ecuación x. Problema a) La gráfica del cilindro cua ecuación está dada por = x, es la siguiente: Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 1

15 El cilindro tiene eje paralelo al eje z. Es importante recordar que, para la expresión representativa de esta superficie, x puede tomar únicamente valores maores o iguales a cero, es decir: x 0. b) Realicemos su estudio. (1) Intersecciones con los planos coordenados Corte con el plano x (Plano z) = x Al sustituir se obtiene: = 0 Esta última ecuación corresponde a una recta, que es el eje z, dado que x =. Corte con el plano x (Plano xz) = x Al resolver el sistema: 0 = x 0 = x Nuevamente, la intersección es el eje z. Corte con el plano x (Plano x) = x La intersección es la curva de ecuación = x, que se muestra a la derecha: Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 15

16 () Intersecciones con los planos paralelos a los planos coordenados Corte con planos paralelos al plano z = x Al resolver el sistema se obtiene: = k es una real cuando k 0 Esto último indica que: cuando k > 0 (x > 0) la intersección es una recta paralela al eje z. cuando k (x ) la intersección es el eje z, dado que x =. Corte con planos paralelos al plano xz = x Al resolver el sistema se obtiene: k = x k = x ( ) ( ) k = x k = x Esta última expresión, representa la ecuación de una recta paralela al eje z. Corte con planos paralelos al plano x = x La intersección es la curva de ecuación = x, como a vimos para el caso z. Problema 3 a) La gráfica del cilindro ( x 3) es: El cilindro es de sección hiperbólica, cuo eje es paralelo al eje z. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 16

17 b) Estudio del cilindro. (1) Intersecciones con los planos coordenados Corte con el plano x (Plano z) ( x 3) Al sustituir se obtiene: (0 3) 8 = 3 = ± 3 = La intersección es, entonces, un par de rectas paralelas al eje z. Corte con el plano x (Plano xz) ( x 3) Al sustituir se obtiene: 0 ( x 3) ( x 3) x 3 = ± 1 x = 3 ± 1 x = - ó x = - La intersección es, otra vez, un par de rectas paralelas al eje z. Corte con el plano x (Plano x) ( x 3) En este caso, la intersección es la hipérbola de ecuación ( x 3), de eje x, que se grafica a continuación: () Intersecciones con los planos paralelos a los planos coordenados Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 17

18 Corte con planos paralelos al plano z ( x 3) Al sustituir: ( k 3) ( k 3) 1 = ( ) ( k 3) 1 = ± ( k 3) 1) = ± ( k 3) 1 = La última expresión tiene sentido solamente si el radicando es maor o igual que cero. Es decir, cuando (k 3) 1 0, ó bien cuando (k 3) 1. Despejemos k, pero dado que el caso (k 3) a lo hemos estudiado antes, sólo usaremos la desigualdad: (k 3) > 1 k 3 > 1 k 3 > 1 Se tienen, entonces, las siguientes dos posibilidades 3 : k 3 < 1 k < k 3 > 1 k > Esto significa que cuando k es menor que cuando k es maor que, la expresión ± ( k 3) 1 = representa un par de rectas. Corte con planos paralelos al plano xz ( x 3) Al resolver, se llega a: k ( x 3) k ( x 3) k x 3 = ± 1 k x 3 = 1 ó k x = 3 1 ó k x 3 x = 3 1 k Ambas expresiones están definidas para cualquier valor de k (porque el radicando es siempre positivo), corresponden a las ecuaciones de dos rectas, paralelas al eje z. Corte con planos paralelos al plano x ( x 3) 3 Si no recordás cómo trabajar con el valor absoluto, volvé al Anexo 1. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 18

19 Para cualquier z, la intersección representa una hipérbola. Problema Realicemos el estudio del cilindro = 5. Su gráfica es: (1) Intersecciones con los planos coordenados Corte con el plano x (Plano z) = 5 Dado que x e toman un valor fijo (como indica la llave) que z es un número real cualquiera, la intersección es una recta paralela al eje z. Corte con el plano x (Plano xz) = 5 No es posible que cumpla al mismo tiempo con las dos condiciones que aparecen en la llave, por lo que no existe intersección en este caso. Corte con el plano x (Plano x) = 5 Dado que z e toman un valor fijo (como indica la llave) que x puede tomar cualquier valor real, la intersección es una recta paralela al eje x. () Intersecciones con los planos paralelos a los planos coordenados Corte con planos paralelos al plano z = 5 Para cada valor de k (es decir, para cada valor de x), la intersección es una recta paralela al eje z. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 1

20 Corte con planos paralelos al plano xz = 5 Solamente existe intersección cuando k = = 5, la misma es el plano = 5. Corte con planos paralelos al plano x = 5 Para cualquier valor de k (es decir, para cualquier valor de k), la intersección es una recta paralela al eje x. Cátedra de Matemática Nº Enrich-Creus-Carnicero FAU UNLP 0