1. x = 2. Solución : x = 2 o x = x = 2. Solución x = 2 o x= x = 0. Solución: x = 0

Transcripción

1 Problemas que involucran igualdades con valor absoluto. x =. Solución : x = o x = -. x =. Solución x = o x= -.. x = 0. Solución: x = 0. x =. No hay solución posible. No existen valores absolutos negativos. 5. x =. Solución: x = o x = x = o x = x = o x =. Problemas que involucran desigualdades con valor absoluto.. x < 5. Esta expresión es equivalente a: -5 < x < 5. O sea que el conjunto solución es el intervalo abierto ( 5,5). 7. x. Esta expresión o condición es equivalente a x. Luego x. El conjunto solución es el intervalo cerrado [,9] + + x x > 5. Esta expresión es equivalente a x <- 5 o x > 5. El conjunto solución es la unión de dos intervalos disjuntos: ( 5) ( 5, ), U. 9. x >. A diferencia del ejercicio 7 ( x ), y tal como se sugiere en el ejercicio 8, esta expresión es equivalente a: x < o x > x < o x > 9. El conjunto solución, como en el ejercicio 8, es la unión de dos intervalos disjuntos: (-, -) U (9, ).

2 0. x +. Esta expresión es equivalente a: x + o x + x o x x o x. El conjunto solución es el conjunto (-, -) U,. Tenga en cuenta que los ejercicios en los que aparecen los símbolos < o > implican conjuntos solución con intervalos abiertos tales como (-5, 5) en el ejercicio, o (-, -5) U (5, ) en el ejercicio 8 o (-, -) U (9, ) como en el ejercicio 9. Los ejercicios con o tales como [,9] en el ejercicio 0. implican conjuntos solución con intervalos cerrados en el ejercicio 7, o semi-cerrados como (-, -) U, como Nota: Infinito, denotado por, o menos infinito denotado por -, no es un número si no un concepto, por ello los intervalos siempre estarán abiertos en y -.. x < o + x,etc., no tienen solución o su solución es el conjunto vacío (Ø) ya que el valor absoluto de toda expresión es siempre no negativo (no puede ser negativo). Problemas que involucran ecuaciones de segundo grado b ± b ac. x x + = 0. Solución. x = a ( ) ± ( ) ± ± Por consiguiente: x = = =. Por lo tanto x = y x = =. Este resultado puede utilizarce para factorizar a x x +. Por ello : x x + = ( x )( x ).

3 . Hallar los ceros o raíces de x + x y factorizar. ± ( )( ) ± Solución: x = =. Por lo tanto x = y x =. Por lo tanto x y x son factores de x + x. Luego x + x = ( x )( x ). Es necesario involucrar el coeficiente - de x en la factorización. Por lo tanto x + x = ( x + )( x ).. Hallar los ceros o raíces de x + x + y factorizar. ± ()( ) ± ± Solución: x = = =. Luego: x = y x = -. Luego x + x + = x + ( x + ) = (x + )( x + ). Ejercicios ios que involucran inecuaciones con polinomios de segundo grado. 5. Halle el conjunto solución de: a) x x + 0 b) x x + < 0 c) x x + 0 d) x + x + 0 e) x + x + 0 f) x + x >0 g) x + x < 0 h) x + x 0. Soluciones: a), b), c): del ejercicio, sabemos que las raíces de x x + son x = y x =

4 Por lo tanto la parábola y = x x +, que abre hacia arriba, ya que el coeficiente de x es positivo, corta al eje X, (y=0), en los puntos que se marcan en el gráfico: y = x x + > 0 y = x x + < 0 U Luego, las soluciones son: a) (, ] [, ) b) (,) c) [,] Soluciones de d) y e) Por el ejercicio sabemos que las raíces de Por lo tanto la parábola y = x + x + x + x + son x = y x = -, que abre hacia arriba ya que el coeficiente de x es positivo, corta al eje X en los puntos donde y = 0, señalados en el gráfico.,, y = x + x + ¼ > 0 0,8 0, y = x + x + ¼ > 0 x = ½ 0, 0, -,5 - -0,5 0,5-0, y = x + x + ¼ < 0 x =

5 Problema Solución d) x + x + 0, U, Lo que indica que las soluciones x iguales a. son menores o iguales a o mayores o e) Problema x + x + 0 Solución, El símbolo implica que la respuesta es un conjunto cerrado con extremos en y (En consecuencia incluye los valores x = y x = ). f) x + x >0 g) x + x < 0 h) x + x 0. Soluciones. Del ejercicio sabemos que las raíces o ceros de x + x son x = y x =. Luego la parábola y = x + x, que abre hacia abajo, ya que el coeficiente - de x es negativo, corta al eje X en los puntos x = y x =. 0, y = -x + x > 0-0,5 0,5,5-0, -0, -0, x = x = -0,8 y = -x + x < 0 - y = -x + x < 0 -, -, 5

6 Luego las soluciones son: Problema Solución f) x + x >0 (, ) x < 0, (, ) g) + x h) x + x 0,, U. U[ ) El símbolo > del problema f excluye los valores x = y x = y el símbolo < los mismos valores en el problema g), mientras que el símbolo los incluye tal como se señala con los corchetes [ y ]. Ejercicios que involucran gráficos de parábolas Los gráficos de las funciones polinómicas de segundo grado son parábolas. Las siguientes funciones son polinómicas de segundo grado: y = x ; y = x ; y = -x ; y = x + ; y = -x + x +. Dada la función y = ax + bx + c, el vértice de la parábola es el punto de máximo o mínimo valor de la función. Algunas parábolas serían:,5 0,5 - -0,5 y = x Vértice en (0,0) x = 0, y = 0 Abre hacia arriba ya que el coeficiente de x es positivo. Corta al eje X cuando y = 0, en un solo punto (0, 0). El eje de simetría es el eje Y (Simétrica respecto al eje Y. ( o sea simétrica respecto a la recta x = 0.

7 8 7 5 (0, ) - Y = x + Vértice en (0, ) ( x = 0, y = ) Abre hacia arriba ya que el coeficiente () de x es positivo. No corta o no tiene puntos comunes con el eje X. Es simétrica respecto al eje Y (o sea al eje x = 0) (0, -) Simetría y = -x Vértice en x = 0, y = -: V(0, -) Abre hacia abajo puesto que el coeficiente - de x es negativo. No corta al eje X. Es simétrica respecto al eje Y -0 Y = x - Vértice en x = 0, y = -. V(0, - ) Abre hacia arriba puesto que el coeficiente de x es positivo. Corta al eje X en los puntos donde y = 0 O sea en x = - y x =. - (0, -) Su eje de simetría es el eje Y ( o sea la recta x = 0 ) Determinación del vértice de una parábola y sus cortes con los ejes X e Y. 7

8 Dada la parábola y = ax b + bx + c, el vértice es el punto V(x,y), donde x = a ac b e y =. El valor de y en el vértice podría también hallarse reemplazando a b el valor de donde x = en la ecuación original y = ax + bx + c. a. Parábola x (en el vértice) y (en el vértice) Vertice y = x + x = b = a 0 = 0 y = 0 + = V(0, ) y = x - x + x = = = y = ( ) 5 V(, ) 7. Efectuar el gráfico de y = x x +, determinando: a) Coordenadas del vértice b) Cortes con el eje Y c) Cortes con el eje X d) Si abre hacia arriba o hacia abajo Solución: 5 a) Según 7 el vértice es V(, ) b) El valor de y en el corte con el eje Y es se obtiene dando a la variable x el valor x = 0. Es por lo tanto y =. c) El valor de la variable x en el corte con el eje X, se obtiene dando a la variable y el valor y = 0. y = 0 Como y = x x +, debe resolverse la ecuación x x + = 0 ± ± 0 Utilizando la fórmula de segundo grado obtenemos x = =. Como 0 es un número complejo, no existe solución en los números reales. 8

9 Por lo tanto la parábola no corta al eje X. x = 0 En todo punto de corte con el eje Y, x = 0 y = 0 En todo punto de corte con el eje X, y = 0 d) Como y = x x +, la parábola abre hacia arriba, por ser positivo el coeficiente de x. En consecuencia el gráfico es: Simetría 5 V, y = x x + La parábola es simétrica respecto a la recta x = 8. Calcule los datos pertinentes (Vértices, cortes con el eje Y, cortes con el eje X, sentido de abertura, simetría) y grafique. y = -x + x + 5 Solución. Vértice: x = b = x = a = y = ac b a = 0 9 = Luego las coordenadas del vértice son V(, ) 8 Corte con el eje Y, x = 0, entonces y = 5. Tal corte se da en el punto P(0,5). Corte con el eje X, y = 0, entonces debemos resolver 0 = -x + x

10 Utilizando la fórmula para resolver la ecuación de segundo grado, encontramos las raíces: x = -, x = 5. Luego los cortes con el eje X son: (-, 0) y ( 5, 0) Además la parábola abre hacia abajo, puesto que el coeficiente - de x es negativo. La gráfica es similar a la siguiente: 0