Función lineal Ecuación de la recta

Transcripción

1 Función lineal Ecuación de la recta Función constante Una función constante toma siempre el mismo valor. Su fórmula tiene la forma f()=c donde c es un número dado. El valor de f() en este caso no depende de ; es decir, para distintos la función devuelve siempre el mismo resultado c. Se debe recordar que la gráfica de y=c es una recta horizontal, de altura c. Ejemplo: Si f() = 5, la gráfica será Función lineal Dados dos números reales m y b, con m 0, una función lineal tiene la fórmula general l()= m+b Su gráfica siempre es una recta. El dominio natural está formado por todo R, al igual que su imagen. Ejemplo: La gráfica de la función l()= es: Los coeficientes m y b caracterizan la gráfica de la función lineal. Conociendo el valor de m y de b podemos reconocer y graficar la recta descripta por la función lineal l()= m+b, sin necesidad de una tabla de valores. El siguiente ejemplo sirve para recordar el significado de m y de b.

2 Ejemplo: Dada la función y=l()=3+5: completar la tabla de valores de dos puntos y=l() 0 1 Para poder completarla debemos evaluar la función l en los valores de dados: l(0)=3.0+5= 5 l(0)=3.1+5= 8 y=l() Graficar los dos puntos, y la recta que pasa por ellos (notar que, siendo una recta, dos puntos son suficiente). Dónde corta la recta al eje y (eje de ordenadas)? Para determinar ese valor, denominado ordenada al origen, se debe evaluar la función en =0. Ya lo calculamos y es y =5. También se lo puede determinar mirando la gráfica de la función. Cuánto se desplaza el valor de y cuando cambia de 0 a 1? Debemos comparar l(1) con l(0). Vemos que cuando cambia de 0 a 1, y cambia de 5 a 8. Es decir, ante un incremento de 1 unidad en, y se incrementó en 3 unidades. Cuánto vale la tangente del ángulo que la recta forma con el eje? Si dibujamos un triángulo rectángulo usando los puntos de la tabla como dos de los vértices), vemos que tg(α) = 3/1 = 3 El valor de la tangente de α coincide con el número que acompaña a la en la fórmula de l().

3 Este trabajo se puede repetir con cualquier función lineal y = l()=m+b. Encontrarán que (0, b) y (1, b+m) son dos puntos de la recta que grafica a la función. que la recta pase por ( 0, b ) indica que corta al eje de ordenadas con altura b. Por eso b se llama ordenada al origen. que también pase por ( 1, b+m ) indica que, cuando se incrementa en una unidad, y se incrementa m. Por eso m se llama pendiente de la recta. Si la pendiente m es positiva, la recta está inclinada hacia arriba; y cuanto mayor sea m, mayor es su inclinación. En cambio, si la pendiente m es negativa, la recta está inclinada hacia abajo; y cuanto mayor sea el valor absoluto m, mayor es su inclinación. usando trigonometría, el triángulo rectángulo de vértices ( 0,b ), ( 1,b ) y ( 1,b+m ) permite decir que la recta forma un ángulo con el eje horizontal cuya tangente es m. Si llamamos α a ese ángulo, recuerden que m=tan α. Si encontramos m=0, queda l()=b. No es una función lineal, sino constante. Su gráfica es una recta horizontal, se dice que es una recta de pendiente cero. Ecuación de la recta Las gráficas de funciones lineales y constantes, como vimos, son rectas. Conviene mencionar que, en Geometría, se describen las rectas usando ecuaciones en dos incógnitas e y. Y no debemos confundir funciones con ecuaciones. La ecuación general de una recta tiene la forma A+By+C=0 Si B 0, se puede despejar y. Se obtiene una ecuación eplícita que siempre tiene la forma y=m+b (es decir, llamamos m y b a los números que aparezcan en los respectivos lugares). Esta forma eplícita y=m+b se puede entender como una función, que a cada le asigna un y. Obviamente la gráfica de la ecuación y=m+b (en Geometría) y la gráfica de la función l()=m+b (en Análisis Matemático) son el mismo objeto: una recta en el plano. Vamos a aprovechar las técnicas de Geometría para reconocer las gráficas de funciones lineales y constantes. Para construir la ecuación de una recta (no vertical) a partir de información geométrica, basta proponer la forma y=m+b y encontrar los valores apropiados de m y b. Según los datos disponibles, conviene distinguir dos casos: si se conoce que la recta pasa por un punto ( 0, y 0 ) y se conoce su pendiente m, se calcula b a partir de y 0 =m 0 +b, de donde b= y 0 m. 0. Reemplazando en y =m +b y sacando m de factor común, resulta y= m( - 0 )+ y 0 Conviene recordar esta forma para reemplazar directamente ( 0, y 0 ) y m. si se conocen dos puntos ( 0, y 0 ) y ( 1, y 1 ) que pertenezcan a la recta, con 0 1, se calculan m y b a partir de las ecuaciones : y y 0 1 m. m. 0 1 b b Despejando y 1 y0 y 1 y0 m y b, y reemplazando, resulta y y0.( 0 )

4 Conviene recordar esta forma para reemplazar directamente los datos ( 0, y 0 ) y ( 1, y 1 ). Las rectas verticales son aquellas que tienen constante su primera coordenada; por lo tanto su ecuación es del tipo =a. No son funciones. Las rectas horizontales son de la forma y=c, donde c es un número real fijo; su ecuación es y=c. Su pendiente es 0 y la razón de cambio promedio también es 0. No son funciones lineales, en realidad son funciones constantes. Rectas paralelas y Perpendiculares Se asume que: Dos rectas l 1 y l 2 son paralelas si y solo si no se cortan o no tienen puntos en común por lo tanto, rectos). Dos rectas l 1 y l 2 son perpendiculares si y solo si se cortan formando cuatro ángulos iguales (y Rectas paralelas: Si las rectas paralelas no se cortan significa que tienen la misma inclinación, en consecuencia tendrán la misma pendiente. Y como, además, no tienen ningún punto en común, se puede decir que : Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y distinta ordenada al origen En el caso de que dos rectas tengan la misma pendiente y misma ordenada al origen se dice que son coincidentes. Rectas perpendiculares: Teniendo en cuenta que dos rectas son perpendiculares sí se cortan, determinando 4 ángulos rectos, y usando el concepto de distancia entre dos puntos se llega a la siguiente conclusión: Dos rectas, de pendientes m 1 y m 2, son perpendiculares si y sólo si m 1 m 2 = 1 ó m 1 = -1/m 2

5 Fuentes: Unidades temáticas del Curso de Ingreso, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de La Plata, Argentina Análisis Matemático I - CIBEX, Facultad de Ciencias Eactas, Universidad Nacional de La Plata, Argentina Ejercitación 1. Graficar algunas funciones constantes, con distintos valores de c=1, 2.5, -3, etc. Cuál es el dominio de una función constante? Cuál es la imagen de una función constante? 2. Graficar las siguientes funciones, lineales o constantes: a. l()= -3+2 b. l()= - c. l()= 6 d. l()= 5+3 Hacerlo de tres maneras: primero interpretando los coeficientes (pendiente y ordenada al origen), luego con una tabla de valores de dos puntos y por último verificarlo con GeoGebra. 3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 3) y tiene pendiente 4. Es cierto que el punto (1, 11) pertenece a esa recta? 4. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, 3) Es cierto que el punto (3, 0) pertenece a esa recta? 5. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4, 3) Cuál es la pendiente de esa recta? Graficarla. 6. Cuál es la pendiente de la recta de ecuación y 1 = 3( + 4)? Decidir si esta recta pasa por el punto (1, 4). 7. Hallar la ecuación de la recta que corta al eje en -2 y al eje y en -1.

6 8. Relacionar la información de la columna derecha con la de la izquierda: La recta pasa por el origen y su pendiente es negativa y = 1 La recta pasa por el punto (3, 2) y + 2 = 2( 3) La ordenada al origen de la recta es negativa y = La recta pasa por el punto (2,6) y 1 = 2( + 1/ 2) 9. Hallar la ecuación eplícita de la recta representada: A) B) 10. Construir una función lineal cuya gráfica: a. pase por ( -2,3 ) y por ( 7,-6 ) b. pase por ( 0,3 ) y forme un ángulo de 60º con el eje c. tenga pendiente m= -1/3 y pase por ( 1,5 ) 11. Determinar si las siguientes rectas son paralelas: A) y+8= - 6 ; -2+y=5 B) 2-7=y ; y-2=8 12. Escribir la ecuación de la recta que pase por el punto dado y sea paralela a la recta dada: A) (3,7) ; +2y=6 B) (0,3) ; 3-y=7 13. Determinar si las siguientes rectas son perpendiculares: A) 2-5y= - 3 ; 2+5y=4 B) -2y=5 ; 2y+4=8 14. Escribir la ecuación de la recta que pase por el punto dado y sea perpendicular a la recta dada: A) (3,-2) ; 3+4y=5 B) (-3,-4) ; -3+6y=2 15. Escribir la ecuación de la recta que pasa por (4,-2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-1,9) y (2,-3). 16. Escribir la ecuación de la recta que pasa por (-1,3) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (3,-5) y (-3,7).