EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIÓN DE LA RECTA. 1. Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos A 4,3
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- Cristóbal Quintero Toledo
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1 EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUCIÓN DE L RECT Resuelva los siguientes ejercicios justificando su respuesta. 1. Encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos 4,3 y 2, Calcule la pendiente de la recta L: 5x 3y 7 0 y 3. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos 3, 2 2,5. 4. Indique cuál de los siguientes puntos: 2,2 ; 8,0 ; C 1,3 ; 7, 5 NO pertenece a la recta L: x 3y 8 0. D, 5. Encuentre las coordenadas del punto de corte de las rectas L 1: 2x 5y 9 0 y L 2: 3x 2y Dada la recta L: 4x 3y 12 0 a) Encuentre la abscisa en el origen. b) Indique el punto de corte de la recta L con el eje horizontal. c) Encuentre la ordenada en el origen. d) Indique el punto de corte de la recta L con el eje vertical. e) Grafique la recta L en un plano cartesiano.
2 Resolución 1 Cuando se conocen dos puntos de una recta no vertical y queremos calcular su pendiente, utilizamos la siguiente fórmula: Diferencia de ordenadas m Diferencia de abscisas En este caso se conocen los puntos 4,3 y 2, 1, por lo que podemos plantear: y m x y x m m m 6 2 m Respuesta 3 Resolución 2 Cuando se conoce la ecuación general de la recta y queremos calcular su pendiente, debemos transformar la ecuación a su forma pendiente-ordenada en el origen. Para ello de la ecuación general dada despejamos la variable y. Tenemos: 5x 3y 7 0 3y 5x 7 y 5x y x 3 7 3
3 Esta última es la forma pendiente-ordenada en el origen de la ecuación de la recta. Recibe este nombre porque podemos leer directamente la pendiente y la ordenada en el origen. La pendiente es el número (coeficiente) que acompaña a la variable x. La ordenada en el origen es el término independiente. En este caso, la pendiente es 5 m Respuesta 3 Observación En general, dada la ecuación general de una recta L : x y C 0, con 0, la pendiente de L está dada por m y su ordenada en el origen por C b. Resolución 3 Recordemos que para hallar la ecuación de una recta necesitamos conocer: i) La pendiente de la recta ii) Un punto de paso de la recta En este caso tenemos por dato dos puntos por donde pasa la recta buscada: 3, 2 y 2,5. Podemos tomar a cualquiera de los dos como punto de paso. Tomaremos el punto 2,5 como punto de paso. Dado que tenemos dos puntos de la recta, la pendiente se puede calcular a partir de: m y x (véase pregunta 1) y x m 7 m 5 Conocida la pendiente y el punto de paso, podemos plantear la ecuación de la recta según: Donde x o e punto 2,5 y y m x o x o y o son la abscisa y la ordenada del punto de paso, en este caso del, por lo que: x 2 e y 5. o o
4 7 5 Reemplazando: y 5 x 2 y 5 7x 2 5 5y 25 7x 14 7x 5y x 5y 11 0 Respuesta Resolución 4 Decimos que un punto P pertenece a una recta L si las coordenadas del punto P verifican la ecuación de la recta L. Decimos que el punto x, P verifica la ecuación de la recta L : x y C 0 o y o si al remplazar sus coordenadas en la ecuación obtenemos una verdad x y C 0 o, es decir 0 0. o Tenemos la recta L: x 3y 8 0 Punto 2,2 : Punto 8,0 : Verifica. Luego 2,2 pertenece a la recta L Punto C 1,3 : Verifica. Luego 8,0 pertenece a la recta L Verifica. Luego C 1,3 pertenece a la recta L
5 Punto D 7, 5: Luego 7, No verifica. D NO pertenece a L Respuesta Resolución 5 Las graficas de dos rectas no paralelas en el plano se cortan en un punto. Si se conocen las ecuaciones de las dos rectas L 1 y L 2, para encontrar las coordenadas del punto de corte de ellas, debemos resolver el sistema formado por sus respectivas ecuaciones. En este caso tenemos las rectas L 1: 2x 5y 9 0 y L 2: 3x 2y 4 0 Por lo que deberemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones: L 1: 2x 5y 9 (1) L 2: 3x 2y 4 (2) Si bien podemos utilizar cualquier otro, utilizaremos el método de reducción (eliminación) para resolver el sistema anterior. uscaremos eliminar la variable y por lo que debemos lograr que los coeficientes de y en ambas ecuaciones sean de igual valor absoluto pero de signos contrarios. Para ello multiplicamos ambas ecuaciones por números convenientes de manera que, después de dicha multiplicación, los coeficientes resulten opuestos. Multiplicamos 2 la ecuación (1): 4x 10y 18 Multiplicamos 5 la ecuación (2): 15x 10y 20 Sumamos las ecuaciones obtenidas: 19x 38
6 Despejamos x : 38 x 19 x 2 Reemplazamos en (1): 42 10y 18 10y 10 y 1 Luego, las coordenadas del punto de corte de L 1 y L 2 serán P 2,1. Respuesta Resolución 6 Tenemos L: 4x 3y 12 0 Para encontrar la abscisa en el origen tabulamos con y 0 en la ecuación de la recta. Con y 0 : 4x 3(0) x 12 x 3 Luego, la abscisa en el origen es x 3. Respuesta a) La abscisa en el origen x 3, es la abscisa del punto de la recta que se encuentra a la altura del origen. Se corresponde con y 0, por lo que tenemos un punto de la recta, el punto 3, 0, el cuál es el punto donde la recta corta al eje horizontal. Luego, el punto 3, 0 es el punto de corte de la recta L con el eje horizontal. Respuesta b) Para encontrar la ordenada en el origen tabulamos con x 0 en la ecuación de la recta. x : 40 3y 12 0 Con 0 3y 12 y 4
7 Luego, la ordenada en el origen es y 4. Respuesta c) La ordenada en el origen y 4, es la ordenada del punto de la recta que se encuentra a la altura del origen. Se corresponde con x 0, por lo que tenemos un punto de la recta, el punto 0, 4, el cuál es el punto donde la recta corta al eje vertical. Luego, el punto 0, 4 es el punto de corte de la recta L con el eje vertical. Respuesta d) Estos puntos de corte con los ejes facilitan hacer el grafico de la recta L. Ubicamos los puntos 3, 0 y 0, 4 en un plano cartesiano. La línea recta que pasa por los puntos de coordenadas 0 3, y 0 4, será la grafica de la recta L. (3, 0) (0, -4) Observaciones 1) Para graficar una recta basta con unir dos puntos contenidos en la recta. 2) Para encontrar un punto contenido en la recta podemos tabular, en la ecuación de dicha recta, con cualquier valor de x (o de y ) y obtener su correspondiente para y (o para x ). 3) Por comodidad se recomienda tabular con x 0 e y 0, pero bien se puede tabular con cualquier otro valor.
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