PREPARACIÓN PRUEBA DE ACCESO A CICLOS DE GRADO SUPERIOR

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1 MATEMÁTICAS - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA PREPARACIÓN PRUEBA DE ACCESO A CICLOS DE GRADO SUPERIOR SOLUCIONES Resuelve las siguientes preguntas: a) Indique cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que distan 5 unidades del punto A (, 3). b) Calcule su ecuación. c) Determine cuáles de los siguientes puntos pertenecen al lugar geométrico: D (6, 6); E (, 7). En caso de no pertenecer a la circunferencia determine si se encuentra dentro o fuera de la circunferencia. d) Determine la posición relativa del lugar geométrico y la recta r: 3x y+=0 a) Se trata de la circunferencia formada por todos esos puntos, cuyo centro se encuentra en el punto (, 3) y está trazada con un radio de 5 unidades. b) La ecuación de una circunferencia depende de las coordenadas del centro (a, b) y del valor del radio r. La ecuación general es: x + y + mx + ny + p = 0 donde m = a; n = b; p = a + b c Como en este ejercicio a = ; b = 3; r = 5; no tenemos más que sustituir: m = = n = 3 = 6 p = ( ) + ( 3) 5 = = 1 La ecuación es, por tanto: x + y x 6y 1 = 0 c) Para saber si un punto pertenece a un lugar geométrico basta con comprobar que sus coordenadas cumplan la ecuación de dicho lugar geométrico (en este caso una circunferencia). Para el punto D (6, 6), sustituimos en la ecuación x = 6; y = 6: x + y x 6y 1 = = =0 0 = 0 Luego el punto (6, 6) pertenece a la circunferencia pues cumple la ecuación. Para el punto E (, 7), sustituimos en la ecuación x = ; y = 7: x + y x 6y 1 = = =0 5 0 Luego el punto (, 7) no pertenece a la circunferencia pues no cumple la ecuación. Para saber si el punto (, 7) está fuera o dentro de la circunferencia, calculamos la distancia entre el centro (, 3) y dicho punto. Si la distancia es mayor que el valor del radio (5) el punto estará fuera de la circunferencia, si es menor estará dentro. Distancia entre (, 3) y (, 7): (por Pitágoras el cuadrado de la distancia es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, cada uno de los cuales se calcula restando las abscisas de los dos puntos entre sí y restando las ordenadas de los dos puntos entre sí. d ( ) , 7, 7 5 Como la distancia es más pequeña que el valor del radio, el punto se encontrará dentro de la circunferencia. SOLUCIONES 15 - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA SOLUC 15 1

2 d) Hay tres posibles respuestas para la posición relativa de la recta con la circunferencia: - Que sea secante, es decir que la recta corte a la circunferencia en dos puntos. Esto implicaría que habría dos puntos que cumplieran ambas ecuaciones o, lo que es lo mismo, que el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta tenga dos soluciones. - Que sea tangente, es decir que la recta toque a la circunferencia en un solo punto. Habría un solo punto que cumpliera ambas ecuaciones o, lo que es lo mismo, que el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta tenga una sola solución. - Que sea externa, es decir que la recta y la circunferencia no se toquen. No habría ningún punto que cumpliera ambas ecuaciones o, lo que es lo mismo, que el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta no tenga solución. Siempre, al resolver el sistema de ecuaciones, éste se nos va a quedar en una ecuación de segundo grado. Para resolverla calculamos primero el valor del discriminante. Si el discriminante es un número positivo, la ecuación va a tener dos soluciones (secante); si el discriminante vale 0, nos encontraremos con que el sistema tiene una sola solución (tangente); si el discriminante es negativo, al no ser real la raíz cuadrada de un número negativo, el sistema no va a tener soluciones (externa). 3x - y + = 0 x + y - x - 6y - 1 = 0 Despejamos x en la segunda ecuación y sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: x + y - x - 6y - 1 = 0 3x - y + = 0 y - 3x - y + = 0 3x = y - x = x = y - 3 x + y - x - 6y - 1 = 0 y - + y - y - - 6y - 1 = 0 Desarrollamos el primer coeficiente mediante las fórmulas de las identidades notables: a - b = a - ab + b y - = y - y + = y - y Y volviendo a la ecuación: y - + y - y - - 6y - 1 = y - y + + y - y y - 1 = y - y + + y - y y - 1 = y + y - y - y - 6y = y + y - y - y - y = 0 Eliminando los denominadores: 16y + 9y - 3y - 8y - 5y = 0 5y - 13y - = 0 SOLUCIONES 15 - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA SOLUC 15

3 Es una ecuación de segundo grado: 5y - 13y - = 0 a = 5 -b ± b - ac y = y que b = -13 a c= - b - ac = = = 356 b - ac = 756 = 19,5 El discriminante es positivo, por lo que la recta y la circunferencia son secantes..- Sea c la circunferencia con centro en C (3, ) que pasa por el punto (, ): a) Halla la ecuación de c. 1 b) Halla la posición relativa de c y la recta r de ecuación y x 1 c) Halla el punto de la circunferencia alineado con P y C. a) La ecuación de la circunferencia depende de las coordenadas del centro (a, b) y del valor del radio r. En este caso conocemos el centro y para calcular el radio con el que está trazada nos basta con calcular la distancia entre los dos puntos dados (el centro C (3, ) y el punto de la circunferencia (, )). La distancia entre (3, ) y (, ) la calculamos aplicando el teorema de Pitágoras: el cuadrado de la distancia es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, cada uno de los cuales se calcula restando las abscisas de los dos puntos entre sí y restando las ordenadas de los dos puntos entre sí. r ( 3) La ecuación general es: x + y + mx + ny + p = 0 donde m = a; n = b; p = a + b c Como en este ejercicio a = 3; b = ; r = 5 ; no tenemos más que sustituir: m = 3 = 6 n = = 8 p = ( 3) + ( ) 5 = = 0 La ecuación es, por tanto: x + y 6x 8y + 0 = 0 b) Se trata de saber si son secantes (dos soluciones para el sistema de ecuaciones: valor del discriminante positivo); tangentes (una solución para el sistema de ecuaciones: valor del discriminante cero); externas (sin solución el sistema de ecuaciones: valor del discriminante negativo). 1 y x 1 x + y - 6x - 8y + 0 = 0 Como y ya se encuentra despejada, sustituimos su valor en la primera ecuación: SOLUCIONES 15 - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA SOLUC 15 3

4 1 1 x + x 1-6x - 8 x = 0 x+1 = x + x = x + x Por tanto: x + x + x + 1-6x - x = x + x + x + 1-6x - x = x - x + 13 = 0 16 Multiplicando todo por 16 para eliminar denominadores: 17x - 10x + 08 = 0 a = 17 -b ± b - ac x = y que b = -10 a c= 08 b - ac = = = 56 b - ac = 56 = 16 El discriminante es positivo, por lo que la recta y la circunferencia son secantes. c) Las coordenadas del nuevo punto S son (e, f). Es un punto que se encuentra en la recta formada por C (3, ) y por P (, ), y también en la circunferencia dada. Calculamos primero la pendiente (m) de la recta que pasa por los puntos indicados: C (3, ) y P (, ). Y a continuación la ecuación de la recta donde estará el punto buscado (e, f). y = mx + n - - m = = = y = -x + n Para calcular n sustituimos x e y por las coordenadas (3, ): x=3; y= y = -x + n = n = -6 + n + 6 = n n = 10 y = -x + 10 Luego las coordenadas e y f tienen que cumplir la ecuación de la recta y la de la circunferencia. Será uno de los puntos de corte (el otro evidentemente es el punto P). y x 10 x + y - 6x - 8y + 0 = 0 Como y ya se encuentra despejada, sustituimos su valor en la primera ecuación: x + x 10-6x - 8 x = 0 x + x + x x + 8 x = 0 x + x - 0x x + 16x = 0 5x - 30x + 0 = 0 Simplificando entre 5: x - 6x + 8 = 0 SOLUCIONES 15 - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA SOLUC 15

5 a = 1 -b ± b - ac x = y que b = -6 a c= 8 b - ac = = 36-3 = b - ac = = -b ± b - ac - -6 ± x = = a x 1 x La abscisa es la abscisa del punto P; luego la abscisa buscada es x =. El valor de la ordenada de ese punto lo calculamos a partir de la ecuación de la recta: y = x + 10 y = + 10 = 6 Luego el punto buscado es (, 6) 3.- Desde la antigüedad aparece con frecuencia el número de oro en proporciones de la naturaleza y en obras de arte: 1 5 1, Escribe la aproximación por redondeo a las centésimas del número de oro y halla el error absoluto y relativo de esta aproximación. Aproximación por redondeo a las centésimas: 1,5 (la primera cifra que no escribimos, la correspondiente a las milésimas es 6, que es mayor que 5, por lo que a la cifra correspondiente a las centésimas hay que añadirle una unidad). Error absoluto: E a = 1, ,5 =0, Error relativo: E r = 0,003197: 1, =0,001.- Racionaliza la expresión: SOLUCIONES 15 - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA SOLUC 15 5