Pendiente negativa: por cada unidad positiva que se tome sobre el eje x, la recta bajara m unidades sobre el eje y.

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Pendiente negativa: por cada unidad positiva que se tome sobre el eje x, la recta bajara m unidades sobre el eje y."

Susana Olivares Vázquez
hace 5 años
Vistas:

Función lineal: Un taxista platense cobra por cada viaje un total de $3 por cuadra recorrida más un costo fijo de $23. Tenemos dos variables, las cuadras recorridas y el costo del viaje.

1 Función lineal: Un taxista platense cobra por cada viaje un total de $3 por cuadra recorrida más un costo fijo de $23. Tenemos dos variables, las cuadras recorridas y el costo del viaje. Como este costo depende de la cantidad de cuadras recorridas, se deduce que las cuadras serán la variable independiente (x) y el costo la variable dependiente (y). Podemos entonces relacionar estas dos variables mediante una fórmula y obtener así una función, que nos exprese el costo del viaje según las cuadras recorridas. Si llamamos x a la cantidad de cuadras e y al costo del viaje, y teniendo en cuenta que por cada cuadra se cobra $3 y sin olvidar el costo fijo de $23, nuestra función quedara definida por la formula y=3x+23. Las funciones de la forma y=mx+b, se definen como funciones lineales. Son aquellas que al ser representadas en un eje cartesiano se obtiene una recta. m y b son dos números reales, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen. La pendiente de una función es la variación de la variable dependiente en una unidad de la variable independiente. Indica que inclinación tiene la recta con respecto al eje x. La característica principal de este tipo de funciones es que dicha variación es constante. Pendiente positiva: por cada unidad positiva que se toma sobre el eje x, la recta subirá m unidades sobre el eje y. Pendiente negativa: por cada unidad positiva que se tome sobre el eje x, la recta bajara m unidades sobre el eje y. Qué sucederá si la pendiente es nula, es decir, m=o? Ordenada al origen: indica el punto en donde la función interseca al eje y, es decir, la imagen de la función cuando x=0. Si la ordenada es positiva, b indica cuantas unidades por encima del par ordenado (0,0) también llamado origen, pasara la recta. Si por el 1

2 contrario, la ordenada es negativa, b indicara cuantas unidades por debajo del origen pasara la recta. Y si b=0? Representación de funciones en un sistema de ejes coordenados: Un forma de graficar funciones es haciendo una tabla de valores, en donde le daremos valores a x, y en función a ellos calcularemos y, obteniendo pares ordenados que representan un punto de la recta, calculando tantos puntos como desee, al unirlos obtendré la grafica de la función. Vamos a ver ahora, una forma más rápida y directa de graficar funciones lineales. Tomaremos como ejemplo a y=2x+3, se procederá a graficarla. Un primer punto conocido de nuestra función es la ordenada al origen, nuestra recta pasara por el punto (0,3), tomaremos este punto como partida para graficar la recta. Otro dato que tenemos es la pendiente m=2, nos indica que por cada unidad que se toma sobre el eje x, la recta subirá 2 unidades sobre el eje y. Luego de obtener el punto resultante, unimos (utilizando regla) y obtenemos así la gráfica de nuestra función. 1) Graficar las siguientes funciones sin utilizar el método de tablas. a) y= 3x+5 b) y=(1/2)x-7 c) y=(-3/4)x d) y=-x+5 2) Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente -7? 3) Cómo es la pendiente de cada una de las rectas del ejercicio anterior, positiva o negativa? 4) Sea f(x)= 5x+6 a) Determinar f(4), f(-1), f(7) 2

3 b) Hallar el valor donde la recta corta al eje y y el valor donde corta al eje x c) Determinar el valor de x para el cual f(x)=-14. y para cual f(x)=16? d) Graficar. Ecuación de la recta. Hay dos maneras de deducir la ecuación de una recta: Ecuacion de la recta que pasa por un punto (x,y) y tiene pendiente dada: Ejemplo: Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (1,3) y tiene pendiente 4. La ecuacion de la recta es de la forma y=mx+b, donde m es la pendiente y b la ordenada al origen, conociendo esos dos puntos ya podriamos obtener la formula. La pendiente es un dato que ya conocemos, lo reemplazamos en la formula y obtenemos y=4x+b. Luego, la recta pasa por el punto (1,3), es decir que dicho punto cumple con la formula. Reempalzo x e y por dicho punto y despejo b: Y=4x+b 3=4.1+b b=3-4 b=-1 Resultando nuestra formula: y=4x-1. Conociendo dos puntos pertenecientes a la recta. Ejemplo: hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,-2) y (2,3) Como vimos en el caso anterior, cada uno de los puntos dados pertenecen a la recta por lo tanto, cumplen con la ecuación y=mx+b. Reemplazando (1,-2) obtenemos -2=m.1+b y de igual modo 3=m.2+b.Trabajando sobre ambas ecuaciones obtenemos por un lado m+b=-2 y 2m+b=3. Faltaría obtener m y b, ya quedaría definida la ecuación de la recta. Para obtener las incógnitas procederemos de la siguiente manera: 1º Despejamos una de las dos incógnitas (m o b) de alguna de las dos ecuaciones, por ejemplo m de la primera ecuación, obtenemos m=-2-b 2º Reemplazamos el resultado obtenido, en la ecuación restante 2(-2-b)+b=3 3º Despejamos b b=-7 4º Volviendo al paso 1, reemplazamos b en la ecuación m=-2-b m=-2-(-7) m=5 Ya conociendo ambos valores podemos definir la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados y=5x-7 3

4 Ejercicios: a) Hallar la ecuación de la recta que pase por los puntos (-2,4) y (-4,5) b) Hallar la ecuación de la recta que pase por (1,3) y (2,5) c) Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto (-4,-3) y su ordenada al origen sea -1/3. d) Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto (3,0) y tenga pendiente 2. Rectas paralelas y perpendiculares. Representa en un mismo sistema de ejes cartesianos las siguientes rectas. Y=2x+5 y=2x-3 Tienen la misma pendiente, Qué conclusión podemos sacar? En un nuevo sistema de ejes cartesianos, representa las siguientes rectas y=3/5x-2 y=-5/3+1 Qué puedes decir de las rectas que representan estas funciones? Alguna conclusión? Dos rectas son paralelas si tienen igual pendiente. Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son opuestas e inversas. El producto entre sus pendientes deberá dar como resultado -1. 1) Graficar las siguientes funciones. a) Y=3x+5 b) Y= 1 2 x 2 c) Y=-2x-5 d) Y=x-5 e) Y=3x f) Y=-x+1 Cuáles son paralelas y cuales son perpendiculares? Justifica. 2) Obtener la fórmula de cada una de las siguientes funciones sabiendo; a) Tiene pendiente igual a ½ y corta al eje de las ordenadas en -3 b) Es paralela a la recta anterior y pasa por el punto (0,2) c) Es perpendicular a la recta anterior y pasa por el origen de coordenadas. 3) Hallar el valor de a para que los siguientes pares de rectas sean paralelas. a) y=2x+1 y=ax+3 b) y=x-1 y=2ax+1 c) y=(a 1 2 ) x+1 y= 1 2 ax + 5 4) Marca con una x la opción correcta. a) Recta perpendicular a y=2x+3 con ordenada al origen igual a 6 i. Y=-2x-6 4

5 ii. Y= 1 2 x+6 iii. iv. Y= 1 2 x+6 Y= b) Recta perpendicular a y=-x+2 i. Y=-x+3 ii. Y=x-2 iii. Y=x iv. Y=x 5 2 c) Dos rectas son perpendiculares y comparten la ordenada. i. Y=2x-6 Y= 1 2 x-6 ii. Y=3x+5 y=- 1 3 x+5 iii. Y=5x+3 y=-5x+3 iv. Y=4x y= 1 4 x v. Y=2x-8 y= 1 2 x-8 5) Dado el cuadrilátero formado por los puntos a (-3,3); b (4,2); c (-5,-2) y d (2,-3), hallar las ecuaciones de las rectas que incluyen a las diagonales del cuadrilátero. Son perpendiculares? 6) Hallar la ecuación de la recta que corta al eje x en x=3 y tiene pendiente 2 7) Demostrar que el triángulo formado por los puntos (0,4) (-2,-4) y (5,1) es un triángulo rectángulo 5

Documentos relacionados

La raíz es el valor donde la función vale cero, y donde la recta corta al eje x. f(x) = 0

La raíz es el valor donde la función vale cero, y donde la recta corta al eje x. f(x) = 0 1 INSTITUTO FRAY M. ESQUIÚ MATEMÁTICA A E.S.B. PROF. VIRGINIA PENEDO UNIDAD IV: FUNCIÓN LINEAL Toda función cuya fórmula es y = ax + b se denomina función lineal y su representación gráfica es una recta.