37 EJERCICIOS de FUNCIONES

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1 7 EJERCICIOS de FUNCIONES Concepto de función:. Dada f () =, se pide: Razonar que se trata de una función. Calcular f(4), f(), f(0), f(-9), f(/4), f() f( ). Ídem para f()=+ c) Hallar la antiimagen de, de 5 de -4 d) Razonar cuál es su Dom(f) e Im(f). Cuáles de estas representaciones corresponden a la gráfica de una función? (Razonar la respuest: c) d) 4. Cuál es el Dom(f) e Im(f) de cada una de estas funciones?: c) - - Ejercicio libro: pág. 67: 4 5. De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuos lados iguales miden. Escribir el área del octógono que resulta, en función de Cuál es el dominio de esa función? Y su recorrido? Ejercicio libro: pág. 67: 6 4 cm Gráfica de una función: 6. Para cada una de las funciones que figuran a continuación se pide: i) Tabla de valores apropiada representación gráfica. ii) Dom(f) e Im(f) a la vista de la gráfica. iii) lim f() lim f() f()=+5 f()= -4+ vértice? c) f()= d) f()= 4

2 e) f()= f) f() = 9 g) f() = asíntotas? lim f() lim f()? f() = asíntotas? lim f() lim f()? - + i) f() = asíntotas? + Ejercicios libro: pág. 68: 9 (parábolas), (hipérbolas), 4 (irracionales) Cálculo del Dom(f): 7. Obtener analíticamente, de forma razonada, el Dom(f) de las funciones del ejercicio anterior, comprobando que se obtiene el mismo resultado que gráficamente. 8. Sin necesidad de representarlas, hallar analíticamente el Dom(f) de las siguientes funciones: c) f() = + + f() = f() = 8 d) f() = 4 e) f() = 6 f) f() = +6 g) f() = + 5 f() = + 5 i) f() = 5 j) f() = 4 k) f() = 9 l) f() = + 8 m) f() = n) f() = 6 o) + f() = ( ) p) f() = + 6 q) f() = r) s) t) u) f() = + 4 f() = f() = + + f() = v) f() = + + Ejercicios libro: pág. 48: ; pág. 67:,, ; pág. 7: 58 (Soluc: IR; IR-[-5}; c) IR-{-,4}; d) IR-{0,4}; e) IR-[±4}; f) IR; g) [-5, ); (-5, ); i) [5/, ); j) (-,4]; k) (-,-]U[, ); l) (-,-4]U[, ); m) (-,-4]U[-, ); n) (-4,0]U(4, ); o) IR-{/}; p) [-,-)U(, ); q) (4, ); r) IR; s) (-,)U(, ); t) IR-{-}; u) IR; v) IR) Propiedades que se deducen de la gráfica de una función: 9. A la vista de sus gráficas, indicar la continuidad de las funciones del ejercicio A la vista de sus gráficas, indicar los intervalos de crecimiento los posibles M m de las funciones del ejercicio 6.. Hallar analíticamente los posibles puntos de corte con los ejes de las funciones del ejercicio 6, comprobar que lo obtenido coincide con la gráfica.. Hallar los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones (en el caso de las cuatro primeras, dibujar además, únicamente con esa información, la gráfic: 6 f() = + c) f() = + + d) f() = e) 4 + f) f() = + 4 g) f() = + 4 i) = j) f() = + k) + 9 l) f() = 6 + 6

3 m) + 4 n) + 4 o) f() = f() = 4 4 (Soluc: (,0),(0,-6); (-,0),(,0),(0,-); c) (0,); d) (0,0),(,0); e) (-,0),(,0),(0,-); f) (-,0),(0,); g) (0,4); (-4,0),(0,); i) (,0),(-,0),(0,); j) (-,0),(,0); k) (0,); l) (,0),(,0),(,0),(0,-6); m) (0,); n) (0,-); o) (-,0),(,0),(0,-)). Hallar analíticamente la posible simetría de las funciones del ejercicio 6, comprobar que lo obtenido coincide con la gráfica. 4. Hallar la posible simetría de las siguientes funciones: 4 f() = f() = c) f() = 4 d) f() = e) f() = 5 f) f() = g) i) + f() = + = + j) k) l) f() = + 6 f() = 5 m) n) o) 5 + f() = (Soluc: par; impar; c) par; d) no simétrica; e) no simétrica; f) impar; g) par; impar; i) impar; j) par; k) impar; l) no simétrica; m) no simétrica; n) no simétrica; o) no simétric 5. Una función puede ser simétrica par e impar al mismo tiempo? Razonar la respuesta. Demostrar que toda función impar definida en el origen necesariamente pasa por éste 6. Estudiar los puntos de corte con los ejes la simetría de las siguientes funciones: 4 f() = + + c) + 4 d) 9 = e) + f() = Estudio completo de una función (I): 7. Dada f()= - se pide: i) Dom(f) ii) Posible simetría. iii) Posibles cortes con los ejes. iv) Tabla de valores apropiada representación gráfica. v) Intervalos de crecimiento. Posibles M m. vi) Es continua? vii) A la vista de la gráfica, indicar su Im(f) viii) Ecuación de las posibles asíntotas. i) lim f() lim f() ) Hallar la antiimagen de = Ídem para: f()= - Antiimagen de = + Antiimagen de = c) = 4 - Antiimagen de =-/ d) + Antiimagen de =4/5 e) f()= - Antiimagen de =- f) f() = + Antiimagen de = g) =- + Antiimagen de =- i) j) k) l) 9 f() = Antiimagen de =-/ f() = Antiimagen de =- = Antiimagen de =-/ + + = Antiimagen de =-/ + 4 ( ) m)

4 Transformaciones de funciones: 9. Completar la siguiente tabla (véase el primer ejemplo): FUNCIÓN ORIGINAL TIPO DE TRANSFORMACIÓN FUNCIÓN TRANSFORMADA RESULTADO TRASLACIÓN hacia ARRIBA f()±k = +4 TRASLACIONES = - TRASLACIÓN hacia ABAJO TRASLACIÓN hacia la DERECHA f(±k) =(-) TRASLACIÓN hacia la IZQUIERDA = =(+) CONTRACCIONES o EXPANSIONES = CONTRACCIÓN EXPANSIÓN (Refleión +) CONTRACCIÓN =- REFLEXIÓN respecto al EJE X 4 = -4+4 REFLEXIONES =-( -4+4)= REFLEXIÓN respecto al EJE Y =(-) -4(-)+4= +4+4

5 0. A partir de la gráfica de f() =, representar las gráficas de f() = +, ( ) f() = +, f() = ( ) f() = (cada una en distintos ejes), indicando el nombre de la transformación obtenida. Ídem con f() = + las funciones f() = +, f() = ( + ) f() = + c) Ídem con f() = las funciones f() = f() =. A partir de la gráfica de la hipérbola f() =, representar sucesivamente (cada una en distintos ejes) las hipérbolas f() = + f() = = Representar gráficamente la hipérbola f() = + partiendo de la gráfica de f() = Ídem con f() = +, partiendo de f() = Ejercicios libro: pág. 5: ; pág. 5: 4; pág. 54: 5 6; pág. 55: 8; pág. 68: a 5. Representar la función f()=ent() Estudio completo de una función (II): 4. Dadas las siguientes funciones definidas a trozos se pide: i) Gráfica. ii) Dom(f) e Im(f) iii) Posibles cortes con los ejes. iv) Intervalos de crecimiento. Posibles M m. v) Continuidad. vi) Ecuación de las posibles asíntotas. vii) lim f() lim f() viii) Responder, además, a las preguntas particulares de cada - apartado: f() = si [, ) si (,) f(), f() f()? Antiimagen de =? f(), f(/), f() f(-)? Antiimagen de =? Antiimagen de =? Antiimagen de =8? 5 si (4, ) 4 si (-,) f() = si [,4] c) d) Hallar la antiimagen de =6 Hallar la antiimagen de = si < f() = si < si f() f(-)? Antiimagen de =? Antiimagen de =-? 5 si f() = si = / si > si 5 < 0 e) f() = si 0 < + si f) g) ( ] / si, f() = si (, ) - si < 0 f() = si = 0 4 si > 0 si (,] f() = 4 si (, ) f(-6), f(0)?

6 i) j) k) 5 si 0 5 f() = + si 0 < 0 si > + f(0) f()? Qué tiene por imagen =0? Qué tiene por imagen =/? Qué tiene por imagen =/? 0 si < 0 si 0 < f() = 4 si < 6 0 si > 6 Vértice de la parábola? si f() = + si < 5-8 si > 8 Hallar la antiimagen de si < l) f() = si < 0 si > Hallar la antiimagen de = + 5 si m) f() = 4 + si < si > 4 Hallar la antiimagen de =6 + 0 si 4 n) f() = + si 4 < / si > Hallar qué tiene por imagen si 0 o) f() = si 0 < < 4 si 4 Hallar la antiimagen de =4 + 4 si p) f() = 6 si < 6 4 si > 6 Hallar la antiimagen de =4 4 si (,) q) f() = si [,5] + 6 si (5, ) Cuáles son las antiimágenes de 6? si < r) f() = 5 si < si Hallar la antiimagen de si < s) f() = si < si > si < - t) f() = + si - < 5 si - Hallar la antiimagen de Ejercicios libro: pág. 49: ; págs. 68 ss.:, 5 5. Hallar la epresión analítica es decir, como función definida por ramas de las siguientes funciones: Ejercicios libro: pág. 70: 4 (dada la gráfica, hallar su epresión algebraic

7 6. Dadas las siguientes funciones valor absoluto se pide: i) Definición analítica por ramas. ii) Gráfica. iii) Dom(f) e Im(f) iv) Posibles cortes con los ejes. v) Intervalos de crecimiento. Posibles M m. vi) Continuidad. vii) lim f() lim. f() - f() = f() = + c) f() = + 6 d) f() = e) f() = 4 + f) f() = 4 5 g) f() = 4 f() = 4+ 5 i) f() = - + j) f() = 4 k) f() = l) f() = 9 m) f() = + n) f() = + + o) f() = + 6 p) f() = q) + si < f() = -6 si r) f() = +4+ si < ( ) si 7. A partir de la gráfica de f() =, representar sucesivamente (cada una en distintos ejes) f() = +, f() =, f() =, f() = f() = Ejercicios libro: pág. 5: ; pág. 68: 0 a 4; pág. 7: 59 Composición de funciones. Función inversa: 8. Hallar f g (léase g compuesta con f) g f (f compuesta con g) en los siguientes casos: f() = 5 g() = / c) f() = / g() = e) f() = g() = f() = g() = 5 d) f() = g() = 4 Ejercicios libro: pág. 56: ; pág. 68: Se puede componer una función consigo misma? Qué obtenemos si hacemos (f f)() para f()=+? Hacerlo también para f() = f() = + 0. Comprobar que las siguientes funciones son inversas representarlas gráficamente sobre los mismos ejes: f() = g() = f() = g() = c) f() = + g() = Qué conclusión se obtiene a la vista de sus gráficas? Ejercicios libro: pág. 57:. Hallar la función inversa de: ( ) c) + d) / (Soluc: coincide con f - ) e) f) f() = + g) + + (Soluc: coincide con f - ) Ejercicios libro: pág. 57: ; pág. 68: 9; pág. 7: 54

8 Problemas de aplicación:. Un técnico de una compañía ha calculado que los costes de producción (en ) de un determinado producto vienen dados por la siguiente epresión: C()= donde representa el número de unidades producidas. Por otra parte, cada unidad se vende al público a un precio de 50. Epresar, en función del número de artículos producidos, el beneficio representarlo gráficamente. Cuántas unidades ha que producir para que el beneficio sea máimo? Cuál es ese beneficio? (Sol: 50 unidades; 500 ). La dosis de un fármaco comienza con 0 mg cada día debe aumentar mg hasta llegar a 0 mg. Debe seguir 5 días con esa cantidad a partir de entonces ir disminuendo 4 mg cada día. Representar la función que describe este enunciado determinar su epresión analítica, como función definida por ramas. Indicar cuál es su dominio recorrido. (Sol: Dom(f)=[0,5]; Im(f)=[0,0]) Ejercicios libro: pág. 70: 4 (dada la gráfica, hallar su epresión algebraic; 44 al 5 (planteamiento de funciones optimización gráfic Cónicas: 4. Dadas las siguientes epresiones, razonar en cada caso si corresponden a una circunferencia, en caso afirmativo, dibujar su gráfica e indicar el centro el radio: + +5=0 (Soluc: C(0,0); R=5) =0 (Soluc: C(,-); R=) c) + -+8=0 d) =0 (Soluc: C(5,-); R=7) e) =0 f) + -4+=0 5. Dadas las siguientes epresiones, razonar en cada caso si corresponden a una elipse, en caso afirmativo, obtener su gráfica: + = = 6 4 c) d) e) + = 6 6 = 9 4 f) Hallar la ecuación reducida o canónica de una elipse de semieje maor 4 menor. Comprobarlo gráficamente. 7. Representar las siguientes hipérbolas: c) = 6 9 = = d) 4 = 4 e) f) + = 0