unidad 11 Transformaciones geométricas

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1 unidad 11 Transformaciones geométricas Cómo dibujar ángulos de 60 con regla y compás Página 1 La cuerda de un arco de 60 (apertura del compás) es igual al radio con que se ha trazado. Veamos el proceso: Así se traza un ángulo de 60 de vértice V y lado l. l l l V V V 60 actividades 1 Dibuja en tu cuaderno, ayudándote del compás, algunos ángulos de 60.

2 unidad 11 Transformaciones geométricas Cómo trazar ángulos rectos sobre papel cuadriculado (con los lados no paralelos a las líneas de la cuadrícula) Página 2 Observa cómo se traza, en cada caso, un ángulo recto de vértice V y lado l : a c l b l l V 90 V V El caso a) es muy fácil. Para los casos b) y c), conviene tener en cuenta la igualdad de los triángulos señalados que, como es natural, en la práctica no hace falta señalar expresamente. actividades 2 Dibuja en tu cuaderno, apoyándote en la cuadrícula, varios ángulos de 90.

3 unidad 11 Transformaciones geométricas Cómo representar puntos y rectas en un sistema de ejes cartesianos Página 3 Las expresiones analíticas de las rectas son ecuaciones de primer grado en x e y. Por ejemplo: y = 2x 3, y = x, y = 5, x = 0, y = 0 Para representar una recta, basta con obtener dos de sus puntos. y = 2x + 3 x = 0 8 y = 3 x = 2 8 y = 7. La recta pasa por (0, 3) y (2, 7) Hay algunas rectas muy sencillas que deberías ser capaz de reconocer de un solo golpe de vista. y = x y = 2 x = 0 es el eje Y y = 0 es el eje X actividades 3 Representa: a) y = x 4 b) y = 5x 10 c) y = 4 d) x = 3 e) y = x

4 unidad 11 Transformaciones geométricas Figuras simétricas. Ejes de simetría Página 4 En la naturaleza, en la técnica, en el arte, en nuestro mundo cotidiano estamos rodeados de figuras simétricas. Su estudio es interesante. E J E D E S I M E T R Í A D E U N A F I G U R A Una figura plana es simétrica respecto a una recta si al doblarla por dicha recta las dos mitades coinciden. e B A A' B' En una simetría respecto a un eje o simetría axial: La recta e se llama eje de simetría. A y A' son simétricos respecto a e, porque e es la mediatriz del segmento AA'. Lo mismo ocurre con B y B'. Cada punto del eje es simétrico de sí mismo: C = C'. C = C' La simetría de las figuras planas se aprecia a simple vista y suele ser sencillo identificar su eje de simetría. No obstante, puede ser de gran ayuda valerse de un espejo para comprobar si una cierta recta es o no eje de simetría de una figura. Las siguientes figuras tienen dos, tres y cinco ejes de simetría, respectivamente: Si una figura tiene n ejes de simetría, estos se cortan en un punto, y cada dos ejes contiguos forman un ángulo de 180 n. actividades 1 Señala todos los ejes de simetría de cada una de las siguientes figuras. a) b) c) d) e)

5 UNIDAD 11 Transformaciones geométricas 2. Iniciación: traslaciones Pág. 1 de 1 1 Aplica a la figura F y a la recta r una traslación de vector t 8 (8, 4). Qué le sucede a r? 2 Aplica a la circunferencia C una traslación de vector t 8 (5, 1). 3 Escribe las coordenadas del vector que corresponde a la traslación que transforma F en F. 8 t (, )

6 UNIDAD 11 Transformaciones geométricas 3. Iniciación: giros Pág. 1 de 1 1 Aplica un giro de centro O y ángulo a = 90 al triángulo ABC. 2 Aplica un giro de centro O y ángulo a = 90 a la circunferencia de centro (3, 0) y radio 2 y a la circunferencia de centro O y radio 5. Qué le ocurre a esta última? 3 Hemos aplicado al triángulo ABC un giro de centro O y ángulo a y hemos obtenido la figura A'B'C'. Cuál es el ángulo de giro? a =

7 UNIDAD 11 Transformaciones geométricas 4. Ampliación: ejes de simetría y centro de giro en las figuras planas Pág. 1 de 3 En la naturaleza, en la técnica, en el arte, en nuestro mundo cotidiano, estamos rodeados de figuras simétricas. Su estudio es interesante. Simetría respecto a un eje (simetría axial) Si se pliega una hoja de papel, se recorta cualquier motivo y se despliega, aparece una figura simétrica respecto a un eje. Cada mitad es como la imagen en un espejo de la otra mitad. En una simetría respecto a un eje o simetría axial: La recta e se llama eje de simetría. A y A' son simétricos respecto a e, porque e es la mediatriz del segmento AA'. Lo mismo ocurre con B y B'. Cada punto del eje es simétrico de sí mismo: C = C'. La simetría de las figuras planas se aprecia a simple vista y suele ser sencillo identificar su eje de simetría. No obstante, puede ser de gran ayuda valerse de un espejo para comprobar si una cierta recta es o no eje de simetría de una figura.

8 UNIDAD 11 Transformaciones geométricas 4. Ampliación: ejes de simetría y centro de giro en las figuras planas Pág. 2 de 3 Simetría respecto a un punto (simetría central) La figura de la derecha es simétrica. Sin embargo, no tiene ningún eje de simetría (se puede comprobar viendo que no es posible reproducir una mitad mirando con un espejo la otra mitad). Se trata de una simetría respecto a un punto o simetría central. En una simetría respecto a un punto o simetría central: O se llama centro de simetría. A y A' son simétricos respecto de O, porque O es el punto medio del segmento AA'. Lo mismo ocurre con B y B'. Una simetría central es un giro de 180. Figuras con varios ejes de simetría Las figuras de la derecha tienen más de un eje de simetría. La primera figura tiene dos ejes de simetría. La segunda tiene tres. La tercera, cuatro. Figuras con centro de giro Si se calca la figura de la derecha (sin colorearla) en papel transparente, se re c o rta, se superpone a esta misma, se pincha con un alfiler en O y se hace girar, se podrían o b s e rvar tres posiciones distintas en las que las dos figuras (la original y la copia) coinciden. Por eso se dice que esta figura tiene un c e n t ro de giro, O, de orden 3. Se comprueba, siguiendo el mismo procedimiento de arriba, que esta otra figura tiene un centro de giro de orden 4. Esta figura se puede construir copiando cuatro veces el m ó d u l o de la dere c h a, girándolo cada vez 90 respecto de la posición anterior. Una figura plana se dice que tiene un centro de giro, O, de orden n cuando, al girarla alrededor de O, coincide consigo misma n veces, contando la posición inicial. En tal caso, la figura puede descomponerse en n trozos idénticos (módulos), cada uno correspondiente a un ángulo de 360 : n.

9 UNIDAD 11 Transformaciones geométricas 4. Ampliación: ejes de simetría y centro de giro en las figuras planas Pág. 3 de 3 Relación de los giros con las simetrías centrales Estas figuras tienen, todas ellas, centro de giro. Sus órdenes son, respectivamente, 2, 3, 4 y 6. La segunda no tiene centro de simetría, las restantes, sí. Se comprueba, reflexionando sobre estas figuras y sobre otras con centro de giro, que las figuras con centro de giro tienen centro de simetría si el orden del giro es par. Relación de los giros con las simetrías axiales Observando estas figuras se razona la siguiente afirmación: 1 eje de simetría 2 ejes de simetría 3 ejes de simetría 4 ejes de simetría 5 ejes de simetría 6 ejes de simetría Las figuras con un único eje de simetría no tienen centro de giro. Si una figura tiene n ejes de simetría, estos se cortan en un punto que es centro de giro de orden n.

10 UNIDAD 11 Transformaciones geométricas 5. Iniciación: simetrías Pág. 1 de 1 1 Aplica al triángulo ABC y a la recta r una simetría cuyo eje sea el eje Y. Qué para con r? 2 Aplica a la figura F una simetría de eje e. 3 Escribe SÍ o NO para indicar si las siguientes figuras permanecen o no invariantes al aplicarles una simetría cuyo eje sea el eje Y. Circunferencia de centro (0, 2) y radio 1. 8 Triángulo de vértices (0, 0), (2, 0) y (1, 2). 8 Triángulo de vértices ( 1, 0), (0, 2) y (1, 0). 8

11 UNIDAD 11 Transformación de movimientos 6. Iniciación: composición de movimientos Pág. 1 de 1 1 Llamamos T a la traslación de vector t 8 (5, 2) y S a la simetría de eje e. Obtén la transformada de la figura F mediante T seguido de S. 2 Llamamos T a la traslación de vector t 8 (2, 3) y G al giro de centro O(0, 0) y ángulo a = 90. Obtén la transformada de la figura F mediante T seguido de G. 3 Llamamos S 1 a la simetría de eje e 1 y S 2 a la simetría de eje e 2. Obtén la transformada de la figura F mediante S 1 seguido de S 2.

12 UNIDAD 11 Transformación de movimientos 7. Ampliación: composición de movimientos Pág. 1 de 3 Se llama composición de dos transformaciones, T 1 y T 2, a una nueva transformación, que se designa T 2 T 1, que transforma cada punto del siguiente modo: T 1 T 2 P Ä Ä8 P' Ä Ä8 P'' T 2 T 1 Es decir, para transformar un punto P o una figura F mediante T 2 T 1, lo transformamos mediante T 1, y el resultado, mediante T 2. (T 2 T 1 )(P) = T 2 (P' ) = P'' Para componer T 1 con T 2 ponemos T 2 T 1. Es decir, T 2 T 1 se lee de derecha a izquierd a. Veamos sobre un ejemplo cómo se componen movimientos. Definimos un giro G de centro O(0, 0) y ángulo a = 90 y una traslación T de vector t 8 (4, 2). Veamos qué resulta al transformar un triángulo F de vértices A(0, 2), B(4, 1) y C(2, 5) mediante la transformación G T. Primeramente se aplica T y, sobre la figura obtenida, se aplica G. Veamos ahora qué resulta al transformar la misma figura F mediante T G. Primeramente se aplica G y, sobre la figura obtenida, se aplica T. Se puede observar que en ambos procesos el triángulo F se transforma en otro triángulo con la misma forma. Sin embargo, los triángulos F'' y F 2 están situados en lugares distintos, es decir, no es lo mismo G T que T G.

13 UNIDAD 11 Transformación de movimientos 7. Ampliación: composición de movimientos Pág. 2 de 3 Resultados interesantes al componer movimientos COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES Al componer dos traslaciones de vectores 8 t 1 y 8 t 2, el resultado es otra traslación cuyo vector es la suma 8 t t 2. COMPOSICIÓN DE GIROS DEL MISMO CENTRO COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS AXIALES CON EJES PARALELOS El resultado de componer dos giros con el mismo centro, O, y ángulos a y b, es un nuevo giro de centro O y ángulo a + b. Si a y b son de sentidos opuestos, la amplitud de a + b es la diferencia de sus amplitudes. El resultado de componer dos simetrías, S 1 y S 2, de ejes e 1 y e 2 paralelos, es una traslación T, cuyo vector t 8 es perpendicular a los ejes y cuya longitud es el doble de la distancia que los separa, 2d. (El sentido de 8 t es el que va de e 1 a e 2.) COMPOSICIÓN DE SIMETRÍAS AXIALES CON EJES QUE SE CORTAN El resultado de componer dos simetrías, S 1 y S 2, de ejes e 1 y e 2 que se cortan bajo un ángulo a, es un giro de ángulo 2a y centro el punto de corte de los dos ejes. El ángulo a que forman los ejes es un ángulo orientado. e (a = ` 1 e 2 es el menor de los ángulos que forman los ejes al cortarse y tiene el sentido de e 1 a e 2.) En general, el resultado de componer dos movimientos es otro mov i m i e n t o : Si ambos son deslizamientos, el resultado es un deslizamiento. Si ambos son movimientos inversos, el resultado es un deslizamiento. Si uno es directo y el otro inverso, el resultado es un movimiento inve r s o.

14 UNIDAD 11 Transformación de movimientos 7. Ampliación: composición de movimientos Pág. 3 de 3 Veamos dos ejemplos de composición de movimientos. Ejemplo 1 T 1 y T 2 son traslaciones de vectores respectivos 8 t 1 (6, 4) y 8 t 2 ( 5, 5). F es un triángulo de vértices A(7, 0), B(9, 4) y C(12, 2). Hemos pasado del triángulo ABC al A'B'C' por la traslación T 1. Y del A'B'C' al A''B''C'' mediante la traslación T 2. Pero podríamos haber pasado directamente de ABC a A''B''C'' mediante la traslación T 2 T 1, cuyo vector es 8 t t 2 (1, 9). Ejemplo 2 Se consideran las simetrías S 1 y S 2 cuyos ejes e 1 y e 2 son las rectas e 1 : y = 4 y e 2 : y = x. F es un triángulo de vértices A(8, 0), B(12, 0) y C(11, 2). En la siguiente gráfica se puede observar cómo se transforma F mediante S 2 S 1. El resultado final (paso del triángulo negro al rojo) es un giro de centro O'(4, 4) y ángulo 90 (positivo, pues es contrario al sentido de las agujas del reloj). Y en esta otra cómo se transforma F mediante S 1 S 2. El resultado final, en este otro caso, es un giro de centro O' y ángulo 90.

15 UNIDAD 11 Transformaciones geométricas 8. Ampliación: mosaicos Pág. 1 de 4 1 Este mosaico, formado por hexágonos, cuadrados y triángulos equiláteros, se puede construir uniendo balsodas iguales a la que tienes a la derecha. Complétalo. 2 También puedes construirlo uniendo piezas más pequeñas, como las que aquí tienes. Inténtalo.

16 UNIDAD 11 Transformaciones geométricas 8. Ampliación: mosaicos Pág. 2 de 4 3 Este mismo mosaico puede construirse utilizando piezas rectangulares. Inténtalo con esta. 4 Hay muchas traslaciones que hacen coincidir el mosaico consigo mismo. Aquí te hemos propuesto algunas de ellas. Colorea algunas piezas del mosaico siguiendo las traslaciones indicadas.

17 UNIDAD 11 Transformaciones geométricas 8. Ampliación: mosaicos Pág. 3 de 4 5 También hay muchos giros que hacen coincidir el mosaioco consigo mismo. Por ejemplo: Giros de centro A y ángulos de: 60 ó 120 ó 180 ó 240 ó 300. Giro de centro B y ángulo de 180. Giros de centro C y ángulos de 120 ó 240. Colorea algunas piezas del mosaico siguiendo los giros de centro y ángulos indicados.

18 UNIDAD 11 Transformaciones geométricas 8. Ampliación: mosaicos Pág. 4 de 4 6 Hay muchas simetrías que hacen que el mosaico coincida consigo mismo. Aquí te señalamos tres de ellas y, en el siguiente gráfico, otras tres. Colorea algunas piezas del mosaico según los ejes de simetría marcados.

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